2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2. 逆變換與逆矩陣 2..1 逆矩陣的概念教學(xué)案選修-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精24。1逆矩陣的概念1逆矩陣的定義對于二階矩陣a、b，若有abbae，則稱a是可逆的，b稱為a的逆矩陣，記為a1.2逆矩陣的性質(zhì)（1）若二階矩陣a、b均可逆,則ab也可逆，且（ab)1b1a1。(2）已知a、b、c為二階矩陣且abac，若a存在逆矩陣，則bc。3逆矩陣的求法(1）公式法：對于二階矩陣a，若adbc0，則a必可逆，且a1。（2）待定系數(shù)法(3）逆變換法逆矩陣的求法例1求矩陣a的逆矩陣思路點(diǎn)撥設(shè)出逆矩陣，利用待定系數(shù)法求解或直接利用公式法求解精解詳析法一：待定系數(shù)法：設(shè)a1,則 .即，故解得x1,z2，y2,w3，從而a的逆矩陣為a1。法二：公式法：adb

2、c312210,a1。用待定系數(shù)法求逆矩陣時(shí)，先設(shè)出矩陣a的逆矩陣a1，再由aa1e得相等矩陣,最后利用相等矩陣的概念求出a1。1(江蘇高考）已知矩陣a，b，求矩陣a1b.解:設(shè)矩陣a的逆矩陣為，則 ，即故a1，b0，c0，d,從而a的逆矩陣為a1,所以a1b .2已知矩陣m所對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)a(x，y)變成點(diǎn)a(13，5），試求m的逆矩陣及點(diǎn)a的坐標(biāo)解：由m,得2(1)(3）110，故m 1.從而由 得 ，故即a(2，3)為所求例2用幾何變換的觀點(diǎn)求下列矩陣的逆矩陣（1)a；（2)b。思路點(diǎn)撥a為伸壓變換矩陣，b為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，只需找到它們的逆變換，再寫出逆變換對應(yīng)的矩陣即為所求精解詳析(

3、1）矩陣a為伸壓變換矩陣，它對應(yīng)的幾何變換為平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)沿x軸方向拉伸為原來2倍的伸縮變換，因此它存在逆變換ta1：將平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)沿x軸方向壓縮為原來的，所對應(yīng)的變換矩陣為a1。(2)矩陣b為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它對應(yīng)的幾何變換為將平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90.它存在逆變換tb1:將平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，所對應(yīng)的變換矩陣為b1。從幾何角度考慮矩陣對應(yīng)的變換是否存在逆變換,就是觀察在變換下是否能“走過去又能走回來，即對應(yīng)的變換是一一映射關(guān)鍵是熟練掌握反射變換、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換、切變變換等常用變換對應(yīng)的矩陣，根據(jù)矩陣對應(yīng)的幾何變換找出其逆變換，再寫出

4、逆變換對應(yīng)的矩陣，即為所求逆矩陣3已知矩陣a，求a1.解：矩陣a對應(yīng)的變換是旋轉(zhuǎn)變換r240，它的逆變換是r240a1.4已知矩陣a，求a1.解：因矩陣a所對應(yīng)的變換為伸縮變換，所以a1.逆矩陣的概念與性質(zhì)的應(yīng)用例3若矩陣a,b，求矩陣ab的逆矩陣思路點(diǎn)撥根據(jù)公式(ab）1b1a1，先求出b1、a1，再利用矩陣乘法求解精解詳析因?yàn)榫仃嘺所對應(yīng)的變換為伸縮變換，所以a1.而矩陣b對應(yīng)的變換為切變變換,其逆矩陣b1，（ab）1b1a1。(1)要避免犯如下錯(cuò)誤(ab）1a1b1。(2）此題也可以先求出ab再求其逆5已知a ，求a1.解：設(shè)m，n，則amn。110（1）10，m1,同理n1。由逆矩陣的

5、性質(zhì),得a1(mn）1n1m1 。6若矩陣a,b，求曲線x2y21在矩陣(ab）1變換下的曲線方程解:（ab）1b1a1 。設(shè)p(x，y）是圓x2y21上任意一點(diǎn),p點(diǎn)在(ab)1對應(yīng)變換下變成q（x，y)則 。故p（x2y，y)又p點(diǎn)在圓上,（x2y)2（y)21。展開整理為(x)24xy5(y）21.故所求曲線方程為x24xy5y21。例4已知矩陣a，b，c,求滿足axbc的矩陣x.思路點(diǎn)撥由axbc得xa1cb1，從而求解精解詳析a1，b1,xa1cb1 。此種題型要特別注意左乘還是右乘相應(yīng)的逆矩陣，若位置錯(cuò)誤，則得不到正確結(jié)果,原因是矩陣乘法并不滿足交換律7已知矩陣a.若矩陣x滿足ax

6、，試求矩陣x.解：設(shè)a1，則，即，所以解得故所求的逆矩陣a1。因?yàn)閍x，所以a1axa1，所以xa1 。8若點(diǎn)a（2，2）在矩陣m對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為b(2,2)，求矩陣m的逆矩陣解：因?yàn)閙，即，所以解得所以m。法一：由m，知m是繞原點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,于是m1。法二：由m,則adbc10。m1.1求下列矩陣的逆矩陣(1)a；(2)b。解：法一:利用逆矩陣公式（1)注意到132110，故a存在逆矩陣a1,且a1。（2)注意到254320，故b存在逆矩陣b1，且b1。法二：利用待定系數(shù)法(1）設(shè)矩陣a的逆矩陣為，則 ,即.故解得a3,c2,b1，d1.從而a1。(2)設(shè)矩陣b

7、的逆矩陣為，則 ，即。故解得x，z2，y,w1.從而b1。2已知可逆矩陣a的逆矩陣a1，求a，b的值解：根據(jù)題意，得aa1e，所以 ，即，所以解得a5，b3.3已知a，b，求證b是a的逆矩陣證明：因?yàn)閍，b,所以ab ，ba ，所以b是a的逆矩陣4求矩陣乘積ab的逆矩陣（1）a，b；（2)a,b。解：（1）（ab）1b1a1 。（2)(ab)1b1a1 。5已知變換矩陣a把平面上的點(diǎn)p(2，1）,q（1，2)分別變換成點(diǎn)p1（3,4),q1(0，5)（1）求變換矩陣a；（2）判斷變換矩陣a是否可逆，如果可逆,求矩陣a的逆矩陣a1；如果不可逆，請說明理由解:(1）設(shè)a，依題意，得 ， ,即解得所

8、以a。(2）變換矩陣a是可逆的,理由如下：設(shè)矩陣a的逆矩陣為，則由 ，得解得故矩陣a的逆矩陣為a1。6已知矩陣m,n，試求曲線ycos x在矩陣m1n對應(yīng)的線性變換作用下的函數(shù)解析式解：m1，m1n 。 即代入ycos x得ycos 2x故曲線ycos x在矩陣m1n對應(yīng)的變換作用下解析式為y2cos 2x.7已知矩陣a。（1）求矩陣a的逆矩陣b;(2）若直線l經(jīng)過矩陣b變換后的方程為yx，求直線l的方程解：(1）設(shè)矩陣a的逆矩陣為b，則 ，得解得所以b.（2）設(shè)直線l上任一點(diǎn)p（x，y)經(jīng)過b對應(yīng)變換變?yōu)辄c(diǎn)p（x，y)，則 ，即又yx，所以2xyxy,即直線l的方程為7x3y0。8已知曲線c在矩陣對應(yīng)的變換作用下的象為x2y21,求曲線c的方程解：矩陣對應(yīng)的變換為：平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)沿y軸方向縮短為原來的，橫坐標(biāo)沿x軸方向縮短為原來的,其逆變換為：將平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)沿y軸方向拉伸為原來的2倍，橫坐標(biāo)沿x軸方向拉伸為原來的3倍，故1。設(shè)圓x2y21上任一點(diǎn)p(x，y