高考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練 數(shù)列的概念與簡單表示法教案

1、第1講數(shù)列的概念與簡單表示法【2013年高考會這樣考】1以數(shù)列的前幾項為背景，考查“歸納推理”思想2考查已知數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系，求數(shù)列的某項3考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，已知sn與an的關(guān)系求an等【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項公式的求法為主2對于歸納通項公式的題目，歸納出通項后要進行驗證3熟練掌握求解數(shù)列通項公式的基本方法，尤其是已知遞推關(guān)系求通項這種基本的方法，另外注意累加法、累積法的靈活應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項

2、間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nn遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)m，使|an|m擺動數(shù)列an的符號正負相間，如1，1,1，1，3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法4數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式5sn與an的關(guān)系已知sn，則an在數(shù)列an中，若an最大，則若an最小，則 一個聯(lián)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列因此，在研究函數(shù)問題時既要注意

3、函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性 兩個區(qū)別(1)若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列，這有別于集合中元素的無序性(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)三種方法由遞推式求通項an的方法：(1)an1anf(n)型，采用疊加法；(2)f(n)型，采用疊乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決雙基自測1(人教a版教材習(xí)題改編)已知數(shù)列an的前4項分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列an的通項公式的一項是()aan1(1)n1 ban2sincan1cos n dan解析根據(jù)數(shù)列的前4項驗證答案b

4、2在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()a30 b31 c32 d33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案b3已知an1an30，則數(shù)列an是()a遞增數(shù)列 b遞減數(shù)列c常數(shù)列 d不確定解析an1an30，an1an30，an1an.故數(shù)列an為遞增數(shù)列答案a4設(shè)數(shù)列an的前n項和snn2，則a8的值為()a15 b16 c49 d64解析由于snn2，a1s11.當(dāng)n2時，ansnsn1n2(n1)22n1，又a11適合上式an2n1，a828115.答案a5(2012泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,

5、55，中x的值為_解析觀察數(shù)列中項的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項開始每一項都是其前兩項的和答案21考向一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項【例1】寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.審題視點 先觀察各項的特點，然后歸納出其通項公式，要注意項與項之間的關(guān)系，項與前后項之間的關(guān)系解(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23，24，所以an.(3)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇

6、數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為21，偶數(shù)項為21，所以an(1)n.也可寫為an(4)將數(shù)列各項改寫為：，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031，1041，所以an(10n1) 根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后的特征：把數(shù)列的項分成變化的部分和不變的部分；(4)各項符號特征若關(guān)系不明顯時，應(yīng)將部分項作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來【訓(xùn)練1】 已知數(shù)列an的前四項分別為1,0,1,0，給出下列各式：an；an；ansin2；an；an；an(n1)(n2)其中可以作為

7、數(shù)列an的通項公式的有_(填序號)答案考向二由an與sn的關(guān)系求通項an【例2】已知數(shù)列an的前n項和為sn3n1，則它的通項公式為an_.審題視點 利用ansnsn1(n2)求解解析當(dāng)n2時，ansnsn13n1(3n11)23n1；當(dāng)n1時，a1s12也滿足an23n1.故數(shù)列an的通項公式為an23n1.答案23n1 數(shù)列的通項an與前n項和sn的關(guān)系是an當(dāng)n1時，a1若適合snsn1，則n1的情況可并入n2時的通項an；當(dāng)n1時，a1若不適合snsn1，則用分段函數(shù)的形式表示【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列an的前n項和sn3n22n1，則其通項公式為_解析當(dāng)n1時，a1s13122112；當(dāng)n

8、2時，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時，不滿足上式故數(shù)列的通項公式為an答案an考向三由數(shù)列的遞推公式求通項【例3】根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；(3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an.審題視點 (1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解(2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得

9、ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時，a1(311)2符合公式，ann2. 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解【訓(xùn)練3】 根據(jù)下列各個數(shù)列an的首項和基本關(guān)系式，求其通項公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以

10、上(n1)個式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)個式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.考向四數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例4】已知數(shù)列an的通項an(n1)n(nn)，試問該數(shù)列an有沒有最大項？若有，求最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由審題視點 作差：an1an，再分情況討論解an1an(n2)n1(n1)nn.當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；故a1a2a3a9a10a11a12，所以數(shù)

11、列中有最大項為第9,10項 (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決(2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用作差法，作商法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法【訓(xùn)練4】 已知數(shù)列an的前n項和snn224n(nn*)(1)求an的通項公式；(2)當(dāng)n為何值時，sn達到最大？最大值是多少？解(1)n1時，a1s123.n2時，ansnsn1n224n(n1)224(n1)2n25.經(jīng)驗證，a123符合an2n25，an2n25(nn*)(2)法一snn224n，n12時，sn最大且sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故s12最大，最大值為144.難點突破13數(shù)列中最值問題的求解從近幾年新課標(biāo)高考可以看出，對求數(shù)列中的最大項是高考的熱點，一般難度較大