熱統(tǒng)第六章講稿部分

1、第六章第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布近獨(dú)立粒子的最概然分布 統(tǒng)計(jì)力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué) 運(yùn)用力學(xué)定律和統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，以物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和微觀運(yùn)運(yùn)用力學(xué)定律和統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，以物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和微觀運(yùn) 動(dòng)為基礎(chǔ)，研究體系的熱力學(xué)性質(zhì)的一門科學(xué)。動(dòng)為基礎(chǔ)，研究體系的熱力學(xué)性質(zhì)的一門科學(xué)。 統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn)統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn) 物質(zhì)的宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子的集體表現(xiàn)物質(zhì)的宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子的集體表現(xiàn), ,實(shí)際觀察到的實(shí)際觀察到的 宏觀熱力學(xué)量是相應(yīng)微觀力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)平均宏觀熱力學(xué)量是相應(yīng)微觀力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)平均. . 問(wèn)題問(wèn)題 要求微觀力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)平均要求微觀力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)平均, ,必須知道微觀狀態(tài)出現(xiàn)的必須知道微觀狀態(tài)出現(xiàn)的 概

2、率概率 首先要清楚如何描寫系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)首先要清楚如何描寫系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài) ggd “粒子” q “粒子”的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 指粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 設(shè)粒子的自由度為r 第一節(jié)第一節(jié) 粒子粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典經(jīng)典理論理論 宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元. . 氣體的分子氣體的分子. .金屬的離子或金屬的離子或 自由電子自由電子. .輻射場(chǎng)的光子等輻射場(chǎng)的光子等 經(jīng)典經(jīng)典描述中:粒子的位置與動(dòng)量 量子量子描述中:粒子的波函授或量子數(shù) 由經(jīng)典力學(xué)知:粒子任一時(shí)刻的狀態(tài)由粒子的r個(gè)廣義坐標(biāo)( ) 與r個(gè)廣義動(dòng)量 的數(shù)值確定. 12 . r q qq . xyz p p p 12 . r

3、 q qq 例如r=3,則粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由x.y.z, 或 描寫(6個(gè)參量) . . . . r rp pp 粒子能量 1212 ( .,.) rr q qqp pp 的函授 ( .) ii q p q 空間為形象描寫粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而引入 例如r=3, 粒子在某時(shí)刻的狀態(tài)為 有確定值, 空間的一個(gè)點(diǎn)表示, 當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化, 代表點(diǎn)在 空間移動(dòng) 空間中的一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 不可能在圖中畫出 0000 0,0()0() ,1,2.6,1 ijijji qqqpijeij i je ii 或ee 以r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量(2r維)作為直角坐標(biāo)所構(gòu)造的 空間. 空間的維數(shù)為6

4、維, 1212 ( .,.) rr q qqp pp 稱為代表點(diǎn) 畫出一條軌道 幾個(gè)例子 1.當(dāng)粒子在三維空間中運(yùn)動(dòng)時(shí), 空間的維數(shù)是6維, 2.當(dāng)粒子在一維空間中運(yùn)動(dòng)時(shí), 空間的維數(shù)是2維. (一)自由粒子不受力作用的粒子 2 22 222222 222 11 ()()()(6.1.3) 222 y xz xyzxyz p ppm m vvvppp mmmm 微觀粒子能量=動(dòng)能+勢(shì)能 為直角坐標(biāo)構(gòu)成 . x x p x p x x L 設(shè)一維容器的長(zhǎng)度為L(zhǎng), 則 0XL X P 當(dāng)粒子以一定的動(dòng)量在容器中運(yùn)動(dòng)時(shí). 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)軌跡為平行于x的直線 對(duì)r=3, 空間的維數(shù)是6維,可分解

5、為三個(gè)二維子空間 (二)線性諧振子 質(zhì)量為m的粒子在彈性力f=-Ax的作用下,在原點(diǎn)附近作一維簡(jiǎn)諧振動(dòng). 空間 代表點(diǎn)的軌跡為橢圓 能量 可取任意值, 不同,橢圓大小不同. r=1, A m 222 2 2 2 2 1(6 .1 .4 ) 22(2)2 () pApx x mm m q p 2 2 m 2m 6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 由原子力學(xué)或光學(xué)知,微觀粒子具有波粒二象性. 1.德布羅意波假設(shè) 能量為 ,動(dòng)量為p的自由粒子聯(lián)系著園頻率為 ,波矢量為 的平面波 一.波粒二象性 k pk 粒子性 波動(dòng)性 該式將波粒二象性有機(jī)結(jié)合起來(lái) (6.2.1) 2.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 波粒二象性導(dǎo)致的重要結(jié)果

6、是微觀粒子不能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和確定的坐標(biāo) 以 q-粒子坐標(biāo)的不確定性， p-粒子動(dòng)量的不確定性 由量子力學(xué)知(6.2.2)qph 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 0,qq 則 P；或 P0，則 不能用經(jīng)典的方法描寫粒子的狀態(tài) 用量子描寫 即一組量子數(shù)描寫.如(n.L.m.S) 二.例子 q (一)自旋狀態(tài) 設(shè)一粒子,質(zhì)量為m,電荷切-e,粒子的自旋磁矩為 ,自旋角動(dòng)量S之比 由原子物理知,如加上沿Z方向的位磁場(chǎng)B,則粒子自旋角動(dòng)量在Z方向 的投影Sz有兩個(gè)可能值 e sm 2 z s 自旋磁矩在外磁場(chǎng)方向的投影相應(yīng)為: () 22 zz eee s mmm 粒子在外磁場(chǎng)中的勢(shì)能: (6.2.3) 2 e BB

7、 m 描寫粒子自旋狀態(tài)只要一個(gè)量子數(shù)Sz,它只能取兩個(gè)分立值. (二)線性諧振子 由原子物理知,園頻率為 的線性諧振子,能量的可能值為 1 ()0,1,2.(6.2.4) 2 n nn n可以確定振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能量. 能量是分立的,分立的能量稱為能級(jí). n=0稱為零點(diǎn)能 1 11 ()(1) 22 nnn nn 任意兩相鄰能級(jí)是等間距的 (三)自由粒子 1.一維自由粒子 設(shè)粒子處在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維容器中,根據(jù)原 子物理,必須滿足周期性邊界條件或駐波 條件. (a)周期性邊界條件 容器的長(zhǎng)度L為德布羅意波的整數(shù)倍 0,1,2. xx Lnn 2 k 代入上式 22 xx x kn L L n 即

8、 波矢為矢量,在一維空間中波可以沿兩 個(gè)方向傳播 波矢 的可能值為 X k 2 0,1,2. xxx knn L (b)動(dòng)量的可能值 將上式代入(6.2.1),可得動(dòng)量的可能值 2 0, 1, 2.(6.2.5) xxx pknn L x n 就是表征一維自由粒子狀態(tài)的量子數(shù) (c)能量的可能值 222222 2 22 1 42 0, 1, 2.(6.2.6) 22 xx xx pn nn mmLmL x n 不同,一維自由粒子的動(dòng)量.能量不同 2.三維自由粒子 設(shè)粒子處在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的立方容器中,由前知,粒子的三個(gè)動(dòng)量分量為: (a)動(dòng)量的可能值 2 0,1,2 2 0,1,2(6.2.7 )

9、2 0,1,2 xxx yyy zzz Pnn L Pnn L Pnn L 表征三維自由粒子狀態(tài)的量子數(shù) xyz nnn (b)能量的可能值 222 22 222 2 12 ()()(6.2.8) 2 xyz xyz nnn ppp mmL 222 xyz nnn 不同,能量不同,存在簡(jiǎn)并 22 222 2 2 1 xyz nnn mL 既時(shí) 簡(jiǎn)并度為6 222 1,01,01,01 xyzyxzzyxxyz nnnnnnnnnnnn都對(duì)應(yīng) 2222222 222 222 ()() 211010021 n xxx n pnn LLL mLLmL 又由于 當(dāng)L很小時(shí),動(dòng)量.能量 的分立性明顯 (

10、c)粒子處于宏觀大小的容器中,動(dòng)量在一定范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)目 .Lp連續(xù)變化往往考慮在體積V內(nèi),動(dòng)量在 的 量子態(tài)數(shù)目 xxx yyy zzz ppd p ppd p ppd p 由(6.2.7)式可知 , 222 xxyyzz LLL dndpdndpdndp 在V內(nèi),動(dòng)量在 內(nèi),自由粒子的量子態(tài) 數(shù)目: , xxxyyyzzz ppdpppdpppdp 3 3 ()(6.2.9) 2222 xyzxyzxyzxyz LLLLV dn dn dndpdpdpdp dp dpdp dp dp h 理解: 如果用x.p描寫粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),則一個(gè)狀態(tài)必對(duì)應(yīng) 空間的一 個(gè)體元. 對(duì)一個(gè)自由度的粒子,相

11、格的大小為h 相體積 有多少可能的狀態(tài) 2.動(dòng)量空間在球極坐標(biāo)下的量子態(tài)數(shù)目 qph 由不確定關(guān)系 稱為相格 如粒子的自由度為r,相格的大小為 1212 (6.2.10) r rr qqqppph 式(6.2.9)(r=3) 可理解為 將 空間的相體積 除以相格的大小 xyz Vdp dp dp xyz Vdp dp dp . .P sincos sinsin cos x y z pp pp pp 2 sindpdpd d 在體積V內(nèi),動(dòng)量空間體元 中可能的狀態(tài)數(shù)為 d 2 3 sinVpdpd d h ,dd 2 3 sin (6.2.11) Vpdpd d h 2 00 sin4dd 2

12、2 2 0 0 33 sin 4 (6.2.12) Vpdpd d V p dp hh 2 2 p m d 2 22pmpm 22pdpmdpdpmd 311 2 222 (2)2p dpp pdpmmdmd 2 3311 2222 333 442 ( )2(2)(6.2.13) Vp dpVV Ddmdmd hhh 其中 為單位能量間隔內(nèi)的可能狀態(tài)數(shù)態(tài)密度 注意上述計(jì)算沒有考慮自旋. 第三節(jié) 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描寫 ( )D 系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須同時(shí)確定系統(tǒng)中所以粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 本章討論全同和近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng) 一.全同和近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng) 1. 全同粒子組成的系統(tǒng) 全同子具有完全

13、相同的屬性(相同的質(zhì)量.電荷.自旋.內(nèi)稟磁矩等) 2. 近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng) 近獨(dú)立粒子粒子之間的相互作用很弱,相互作用的能量1 證明 把 ln2 看成1ln2,等式右邊等于圖中一系 列矩形面積之和 當(dāng)m1時(shí),矩形面積之和近似等于曲邊梯形 的面積. 二.茲曼系統(tǒng)中粒子的最概然分布 ln( !)(ln1)6.6.1)mmm ln!ln1 ln2ln3.lnmm 茲曼分布 1 11 1 ln !ln( ln )(ln ) 1 lnln(1)(ln1) 1(ln1) mm m m mxdxx xxdx mx dx m m mm mm m x 證 畢 (6.5.2) ! (6.6.2) ! l a l

14、 l l l N a 最大的分布 lnln!ln!lnln!ln!ln ll aa llll llll NaNa ln 根據(jù)等概率原理,要求最概然分布,實(shí)際上就是要求 最大的分布 (6.6.2)式取對(duì)數(shù) 為找 為最大值必須使 討論 最大的分布 ln (6.6.1)(ln1)(ln1)ln(1) lllll ll NNaaaa lnlnln lllll lll NNNaaaa lnlnln(6.6.4) llll ll NNaaa ln ln0 在 中,只有 可變. . ll N a l a 1 lnlnln llllll lll l aaaaa a ln()0 l ll ll l a aa 注

15、意: 不完全獨(dú)立 l a 它們滿足條件 0 l l Na （總粒子數(shù)不變） 0( ll l Ea 總能量不變） 上式寫成 lnln()06.6.5) l l l l a a 它必須滿足附加條件 我們考慮的是條件極值問(wèn)題 采用拉格朗日乘子法考慮未定乘子 上式要成立必須每個(gè) 的系數(shù)等于零 茲曼系統(tǒng)中粒子的最概然分布茲曼分布,或茲曼分布 在許多實(shí)際問(wèn)題中,往往將 看成由實(shí)驗(yàn)確定的已知參量而由(6.6.8)求系統(tǒng)的內(nèi)能 乘子 和 由(6.5.1)確定,即 由于 不獨(dú)立, 三.能量為 的量子態(tài)上的平均粒子數(shù) (6.6.6)給出最概然分布下處在能級(jí) 上的粒子數(shù) l a . lnln0 l ll l l a

16、 NEa l a ln0 l l l a l l l a e 即 (6.6.6) l ll ae (6.6.7) l ll ll Nae (6.6.8) l llll ll Eae s l 能級(jí) 有 個(gè)量子態(tài),而處在其中任何一個(gè)量子態(tài)的平均粒子數(shù)應(yīng)該是相同的 處于能量為 的量子態(tài)S上的平均粒子數(shù)為 (6.6.7).(6.6.8)表為 l s l a 注意:是對(duì)量子態(tài)求和 四.幾點(diǎn)說(shuō)明 1.上面只證明了茲曼分布使 的一級(jí)微分等于零 ,既 取極值,還 可證明 ,茲曼分布是使 為極大的分布 由(6.6.5) 2.茲曼分布可近似看為平衡態(tài)下的實(shí)際分布 證明 l l l (6.6.9) l l s l

17、a fe (6.6.10) s s ss Nfe (6.6.11) s sss ss Efe lnln0ln 2ln 0ln lnln() l l l a a 2 2 () lnln()0(6.6.12) ll l l ll aa a a 原則上講,滿足給定宏觀條件N.V.E時(shí)的所有分布都可能出現(xiàn) 但是,由于茲曼分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)非常陡,其它分布的 與茲曼 分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù) 相比幾乎趨于0 由等概論原理知,非茲曼分布出現(xiàn)的概論與茲曼分布 出現(xiàn)的概論相比趨于0 系統(tǒng)處于其它狀態(tài)的情況可以忽略 近似認(rèn)為茲曼分布實(shí)際上就是 實(shí)際分布 3.注意,在推導(dǎo)中用了 ,這一條件實(shí)際并不滿足推導(dǎo)的嚴(yán)重缺點(diǎn)

18、(后面的推 導(dǎo)可不用該條件) 4.討論中假設(shè)系統(tǒng)只含有一種粒子,這個(gè)限制不是原則性的,可將其推廣到含有 多種組元的情況 5.由(6.5.2) 和(6.5.8) 的相似性 可直接給出經(jīng)典統(tǒng)計(jì)下茲曼分布的表達(dá)式 其中 滿足 0 玻爾 即 1 l a . ! ! l a MBl l l l N a 0 ! () ! l a l r l l l N ah 0 (6.6.13) l l l r ae h . 0 0 (6.6.14) (6.615) l l l r l l l r l Ne h Ee h 其中 為 空間中的體元l 第七節(jié) 玻色分布和費(fèi)米分布 導(dǎo)出玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中粒子的最概然分布(做法

19、與前面相似) 考慮一個(gè)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)具有確定的N.V.E 以 表示粒子的能級(jí), 表示能級(jí)的簡(jiǎn)并度, 表示處在各能級(jí)上的粒子數(shù). 顯然 由第五節(jié)給出了一個(gè)分布對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù) 為極大的分布,出現(xiàn)的概論為最大 由等概率原理知 l l l a 6.7.1) lll ll NaEa . . (1)! (6.7.2) !(1)! ! (6.7.3) !()! ll B E l ll l F D l lll a a aa 最概然分布 一.最概然分布 1.玻色分布 與茲曼分布類似,找出 為極大的分布.(6.7.2)取對(duì)數(shù)ln lnln(1)! ln!(1)! ln(1)!ln!ln(1)! lll

20、l ll llll lll aa aa 假設(shè) 1,1 ll a 1,1 llllll aa 利用斯特令公式,有 必須滿足宏觀條件 為使 為極大,兩邊取變分并令其等于零 不是任意的 拉氏乘子由(6.7.1)確定 ln()ln() 1ln1ln1 ()ln()lnln ()ln()lnln(6.7.4) llllllll lll llllllllllll l llllllll l aaaa aaaaaa aaaa lnln()()ln () ln()ln0 ll llllllll l lll llll l aa aaaaaa aa aaa 令 l a 00 lll ll NaEa lnln()ln0 lllll l NEaaa ln()ln0 llll aa ln(1) l l l a (1)1 ll ll ll ee aa (6.7.5) 1 l l l a e 二.費(fèi)米系統(tǒng) 假設(shè) , ,利用斯特令公式 類似于玻色分布的推導(dǎo),利用拉氏乘子法,可得 費(fèi)米-狄拉克分布同樣,乘子的確定 在一些實(shí)際問(wèn)題中,往往將 當(dāng)作由實(shí)驗(yàn)確定的已知參量 由(6.7.6)或(6.7.9)確定系統(tǒng)的能量 求解的做法和前面完全相同,(6.7.3)取對(duì)數(shù) ,(6.7.6) 11 ll lll lll llll aNaE ee lnl