2021_2022學年新教材高中數(shù)學第3章圓錐曲線的方程3.23.2.1雙曲線及其標準方程學案新人教A版選擇性必修第一冊精品

1、3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標準方程學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程(重點)2掌握雙曲線的標準方程及其求法(重點)3會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題(難點)1.通過雙曲線概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)2通過雙曲線標準方程的求解、與雙曲線有關的軌跡問題的學習，提升數(shù)學運算、邏輯推理及數(shù)學抽象等素養(yǎng).做下面一個實驗(1)取一條拉鏈，拉開一部分(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？知識點1雙曲線的定義文字語言平

2、面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡符號語言|PF1|PF2|常數(shù)(常數(shù)|F1F2|)焦點定點F1，F(xiàn)2焦距兩焦點間的距離1.(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)雙曲線的定義中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，若|MF1|MF2|2a(常數(shù))，且2a0，b0)1(a0，b0)焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系c2a2b22.如何根據(jù)雙曲線的標準方程判斷焦點所在的坐標軸？提示雙曲線的焦點在x軸上標準方

3、程中x2項的系數(shù)為正；雙曲線的焦點在y軸上標準方程中y2項的系數(shù)為正，即“焦點跟著正的跑”這是判斷雙曲線焦點所在坐標軸的重要方法2.(1)若雙曲線方程為1，則其焦點在_軸上，焦點坐標為_(2)已知a5，c10，焦點在y軸上，則雙曲線的標準方程為_(1)x(6,0)和(6,0)(2)1(1)因為方程中x2的系數(shù)0，所以焦點在x軸上，且a216，b220，從而c2162036，c6，故焦點坐標為(6,0)和(6,0)(2)由已知得b2c2a275，于是雙曲線方程為1. 類型1雙曲線定義的應用【例1】若F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個焦點(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于7，求點M到另一個焦點

4、的距離(2)若點P是雙曲線上的一點，且F1PF260，求F1PF2的面積解(1)由雙曲線方程知a29，b216，則c225，a3，b4，c5.設|MF1|7，則根據(jù)雙曲線的定義知|MF2|7|6，即|MF2|76.解得|MF2|13，或|MF2|1，又|MF2|1ca，則|MF1|1不合題意，因此，點M到另一個焦點的距離為13.(2)由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF26416.求雙曲線中焦

5、點PF1F2面積的兩種方法(1)方法一：(先求|PF1|PF2|的值)根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關系式；通過配方，利用整體的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yp|(yp為P點的縱坐標)求得面積提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點有關的問題，一是要注意定義條件|PF1|PF2|2a的變形使用，二是特別注意|PF1|2|PF2|2與|PF1|PF2|的關系跟進訓練1(1)已知雙曲線C的方程是1，其上下焦點分別是F2

6、，F(xiàn)1，點M在雙曲線C上，且|MF1|9則|MF2|等于()A17B1C17或1D16或1(2)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A4B8 C24D48(1)A(2)C(1)由雙曲線方程知a216，b220，則c236，a4，b2，c6.根據(jù)雙曲線的定義得|MF2|9|8，即|MF2|98，解得|MF 2|17或|MF2|1，又|MF2|10)，把點A的坐標代入，得b20)，把A點的坐標代入，得b29.故所求雙曲線的標準方程為1.(2)雙曲線1的焦點在x軸，因此設所求雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，c216

7、420，即a2b220.雙曲線經過點(3，2)，1.由得a212，b28，雙曲線的標準方程為1.(3)設雙曲線的方程為Ax2By21，AB0.點P，Q在雙曲線上，解得雙曲線的標準方程為1.試總結用待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟提示(1)定型：確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸(2)設方程：根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2By21(AB0，b0)，將點(4，2)和(2，2)代入方程得解得a28，b24，所以雙曲線的標準方程為1. 類型3方程表示雙曲線的條件【例3】給出曲線方程1.(1)若該方程表示雙曲線，求實數(shù)k的取值范圍；(2

8、)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，求實數(shù)k的取值范圍解(1)方程表示雙曲線，則有(4k)(1k)0，解得k1或k4，因此實數(shù)k的取值范圍是(，4)(1，)(2)方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則有解得k4，因此實數(shù)k的取值范圍是(，4)方程表示雙曲線的條件(1)對于方程1，當mn0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m0時表示焦點在y軸上的雙曲線(2)對于方程1，當mn0時表示雙曲線，且當m0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m0，n0，即(k1)(k1)0，解得1k0)由橢圓方程，知c24a2，所以a24a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)因此a的值為1. 類型4與雙曲線有關的軌跡問

9、題【例4】如圖所示，在ABC中，已知|AB|4，且三個內角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當?shù)淖鴺讼?，求頂點C的軌跡方程在ABC中，由2sin Asin C2sin B能得到什么結論，由此思考動點C滿足的條件，進而求出軌跡方程.解以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R為ABC的外接圓半徑)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求軌跡方程為1(x)求解與雙曲線有關的點的軌跡

10、問題，常見的方法有兩種(1)列出等量關系，化簡得到方程；(2)尋找?guī)缀侮P系，結合雙曲線的定義，得出對應的方程求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：雙曲線的焦點所在的坐標軸；檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支跟進訓練4.如圖所示，已知定圓F1：x2y210x240，定圓F2：x2y210x90，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程解圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5,0)，半徑r11.圓F2：(x5)2y242，圓心F2(5,0)，半徑r24.設動圓M的半徑為R，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲

11、線的左支，且a，c5，于是b2c2a2.故動圓圓心M的軌跡方程為1.1已知F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)為定點，動點P滿足|PF1|PF2|2a，當a3和a5時，P點的軌跡分別為()A雙曲線和一條直線B雙曲線的一支和一條直線C雙曲線和一條射線D雙曲線的一支和一條射線D因為|F1F2|10，|PF1|PF2|2a，所以當a3時，2a69是方程1表示雙曲線的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件B當k9時，9k0，方程表示雙曲線當k0，k49是方程1表示雙曲線的充分不必要條件4已知雙曲線1(a0)的一個焦點為F1(5,0)，設另一個為F2，點P是雙曲線上的一點，若|P

12、F1|9，則|PF2|_.(用數(shù)值表示)17或1由題意知，雙曲線1(a0)的一個焦點為F1(5,0)，c5，又由a 2c2b225916，所以a4，因為點P為雙曲線上一點，且|PF1|9，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF2|PF1|2a8，所以|PF2|17，或|PF2|1.5設雙曲線與橢圓1有共同的焦點，且與橢圓的一個公共點的縱坐標為4，則雙曲線的標準方程為_1由橢圓方程得焦點坐標為(0，3)，橢圓與雙曲線的一個公共點為(，4)設所求的雙曲線方程為1(a0，b0)，則解得故所求雙曲線的標準方程為1.回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：(1)雙曲線是如何定義的？請寫出它的標準方程提示定義：把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線標準方程：1(a0，b0)和1(a0，b0)(2)方程1表示雙曲線，則m，n滿足的條件是什么？若方程表示焦點在x軸(y軸)上的雙曲線，則m，n滿足什么條件？提示若表示雙曲線，則滿足mn0.若表示焦點在x軸上的雙曲線，則滿足若表示焦點在y軸上的雙曲線，則滿足(3)雙曲線1(a0，b0)的左、右焦