第6章-流體流動(dòng)微分方程-講義

1、 包括：連續(xù)性方程，運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)avier-Stokes方程(N-S方程)； 連續(xù)性方程及N-S方程是粘性流體流動(dòng)質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)， 具有普遍的適應(yīng)性。 流體流動(dòng)連續(xù)性方程：微元質(zhì)量守恒分析連續(xù)性方程 運(yùn)動(dòng)微分方程的建立：微元受力與動(dòng)量分析應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)方程 粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程：流體本構(gòu)方程及討論運(yùn)動(dòng)微分方程(N-S方程) 流動(dòng)微分方程的應(yīng)用：N-S方程應(yīng)用概述與舉例 對(duì)流傳熱N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流時(shí)均化N-S方程(雷諾方程) Sichuan University 微元面微元面法向速度法向速度和和質(zhì)量通量：質(zhì)量通量： 6.

2、1.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程 質(zhì)量守恒方程： , xyzxyz vvvvvv； 連續(xù)性方程：以上結(jié)果代入質(zhì)量守恒方程有以上結(jié)果代入質(zhì)量守恒方程有 微元體輸出 的質(zhì)量流量 - 微元體輸入 的質(zhì)量流量 + 微元體內(nèi)的 質(zhì)量變化率 0 微元體質(zhì)量守恒分析：如圖如圖 ()()() d d d yxz vvv x y z xyz 微元面微元面凈輸出的質(zhì)量流量?jī)糨敵龅馁|(zhì)量流量: 微元體微元體質(zhì)量變化率：質(zhì)量變化率：d d dx y z t ()()() 0()0 yxz vvv xyztt vor y z x y vA x v z v () d x x v vx x () d y y v vy y ()

3、 d z z v vz z dz dx dy 0 y xz xyz v vv vvv txyzxyz 其展開(kāi)形式為：其展開(kāi)形式為： Sichuan University 6.1.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程(續(xù)) 連續(xù)性方程(續(xù))： 連續(xù)性方程連續(xù)性方程可表示為：可表示為： 根據(jù)物理量根據(jù)物理量 的的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)和矢量和矢量v的的散度散度定義定義: 物理意義物理意義: ( ( v) ) 是流體體積變形速率，是流體體積變形速率， v=0表示不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)過(guò)表示不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)過(guò) 程中，不管其形狀怎樣變化，其體積不會(huì)改變。因此，只要是不可壓縮程中，不管其形狀怎樣變化，其體積不會(huì)改變。因此，只要

4、是不可壓縮 流體，無(wú)論穩(wěn)態(tài)流動(dòng)還是非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，其連續(xù)性方程都一樣。流體，無(wú)論穩(wěn)態(tài)流動(dòng)還是非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，其連續(xù)性方程都一樣。 0 y xz xyz v vv vvv txyzxyz , y xz xyz v vDv vvv Dttxyzxyz v ()0 D Dt v 不可壓縮流體的連續(xù)性方程： 0constDDt， 00 y xz v vv xyz ovr Sichuan University 6.1.2柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程 柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系：如圖如圖 球坐標(biāo)系的 連續(xù)性方程： 柱坐標(biāo)系連續(xù)性方程: 對(duì)于不可壓縮流體對(duì)于不可壓縮流體: 11 ()()()0 rz rvvv trrrz

5、 2 2 111 ()(sin )()0 sinsin r r vvv trrrr 1 ()1 0 rz rvvv rrrz cossinrx sinsinry cosrz y z x r r v v v y z x r z v r v v cosrx sinry zz z Sichuan University 6.2.1 作用于流體微元上的力 動(dòng)量守恒方程： 微元體輸出 的動(dòng)量流量 - 微元體輸入 的動(dòng)量流量 + 微元體內(nèi)的 動(dòng)量變化率 F 微元體體積力與表面力(應(yīng)力)：如圖如圖 微元體微元體x、y、z方向的方向的體積力體積力: : d d dd d dd d d xyz fx y zfx

6、y zfx y z， 微元體上的微元體上的表面力表面力: : x 方向方向: : y z x d zx zx z z yz zz xx xy xz yy yx zy zx A d zy zy z z dxdy dz d zz zz z z x f y f z f 單位質(zhì)量 體積力 d xx xx x x dd dd d dd dd d dd dd dd d d xx xxxx yx yxyx yxzxxxzx zxzx xy zy z x yx zx z y zx yx yx y z zxyz y 方向方向: : z 方向方向: : d d d xyyyzy x y z xyz d d d y

7、zxzzz x y z xyz Sichuan University 6.2.2 動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率 微元體凈輸出的x、y、z方向的動(dòng)量流量： 輸入輸入微元面的微元面的 x 方向動(dòng)量流量為方向動(dòng)量流量為: : 微元面上微元面上 x 方向的動(dòng)量通量：方向的動(dòng)量通量：如圖如圖 其中其中箭頭方向僅表示輸入輸出方向。箭頭方向僅表示輸入輸出方向。 y z x A xxv v xyv v dz dx dy xzv v () d yx yx v v v vy y () d zx zx v v v vz z () d xx xx v v v vx x d dd dd d xxyxzx v vy zv vx

8、zv vx y 輸出輸出微元面的微元面的 x 方向動(dòng)量流量為方向動(dòng)量流量為: : (d )d d (d )d d(d )d d xx xx yxzx yxzx v v v vxy z x v vv v v vyx zv vzx y yz 因此因此: 微元體微元體凈輸出的凈輸出的 x 方向動(dòng)量流量：方向動(dòng)量流量： 2 () ()() d d d yx xzx v v vv v x y z xyz 同理同理: 微元體微元體凈輸出的凈輸出的 y 方向動(dòng)量流量：方向動(dòng)量流量： 2 ()()() d d d xyyzy v vvv v x y z xyz 微元體微元體凈輸出的凈輸出的 z 方向動(dòng)量流量：

9、方向動(dòng)量流量： 2 () ()() d d d yz xzz v v v vv x y z xyz :d d d :d d d :d d d x y z v xx y z t v yx y z t v zx y z t 微元體x、y、z方 向動(dòng)量的變化率： Sichuan University 6.2.3 以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程 將微元體將微元體 x 方向動(dòng)量方向動(dòng)量的的凈輸出流量、變化率，凈輸出流量、變化率，以及以及x方向方向的的體積力、表面力體積力、表面力 代入動(dòng)量守恒方程可得：代入動(dòng)量守恒方程可得： 簡(jiǎn)化后得：簡(jiǎn)化后得：以應(yīng)力表示的以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：( ( y、z 方向同理方向

10、同理) ) z 方向：方向： y 方向：方向： 2 ()()() yxyxxzxxxxzx x v vvv vv f xyztxyz ()() yxzxxxx xxyz vvvvvvv vvvv txyztxyz yxxxxxxxzx xyzx yyyyxyyyzy xyzy yzzzzzxzzz xyzz vvvv vvvf txyzxyz vvvv vvvf txyzxyz vvvv vvvf txyzxyz 流體質(zhì)量流體質(zhì)量 ( (單位體積單位體積) ) 流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn) 的加速度的加速度 ii maF , ,i x y z x 方向：方向： 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程+ +連續(xù)連續(xù) 性方程共性方

11、程共4個(gè)方個(gè)方 程，涉及程，涉及9個(gè)變個(gè)變 量：量：3個(gè)速度分個(gè)速度分 量，量，6個(gè)獨(dú)立應(yīng)個(gè)獨(dú)立應(yīng) 力分量：力分量： 為使方程封閉為使方程封閉 尚需補(bǔ)充方程。尚需補(bǔ)充方程。 , , , xyz xxyyzz yxxyzxxz zyyz vvv 體積力體積力+ +表面力表面力 ( (單位體積單位體積) ) Sichuan University 6.3.1 牛頓流體的本構(gòu)方程 斯托克斯(Stokes)基本假設(shè)：為尋求一般條件下流體應(yīng)力與變形速率之間為尋求一般條件下流體應(yīng)力與變形速率之間 的關(guān)系的關(guān)系, Stokes假設(shè)假設(shè): :應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系; ;這種關(guān)系各向同性

12、這種關(guān)系各向同性; ; 靜止流場(chǎng)切應(yīng)力為零且各正應(yīng)力均等于靜壓力。靜止流場(chǎng)切應(yīng)力為零且各正應(yīng)力均等于靜壓力。 2 2 3 2 2 3 2 2 3 y xxz xx yy xz yy y xzz zz y x xyyx y z yzzy xz zxxz v vvv p xxyz vv vv p yxyz v vvv p zxyz v v yx v v zy vv xz 牛頓流體本構(gòu)方程廣義剪切定律廣義剪切定律 () nn p n 0();0, ijnn ijp 0, 3 xxyyzz ii p d d xx xyyx vv yy ( )0 xxyz vvyvv， 本構(gòu)方程討論： 流體表面正應(yīng)力流

13、體表面正應(yīng)力: 附加正應(yīng)力：附加正應(yīng)力： 2 2() 3 n n v n v 自身方向線自身方向線 應(yīng)變率貢獻(xiàn)應(yīng)變率貢獻(xiàn) 其它方向線其它方向線 應(yīng)變率貢獻(xiàn)應(yīng)變率貢獻(xiàn) 理想流體或靜止流體：理想流體或靜止流體： 運(yùn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)流體: 切應(yīng)力切應(yīng)力: 僅與剪切應(yīng)變速率相關(guān)僅與剪切應(yīng)變速率相關(guān) 一維流動(dòng)：一維流動(dòng)： 表面取向無(wú)關(guān)表面取向無(wú)關(guān) 僅與線應(yīng)僅與線應(yīng) 變率有關(guān)變率有關(guān) 0, nn p ； 切應(yīng)力互等定律，牛頓剪切定律切應(yīng)力互等定律，牛頓剪切定律 必然不可壓縮必然不可壓縮 Sichuan University 6.3.2 流體運(yùn)動(dòng)微分方程 將牛頓流體本構(gòu)方程引入應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)方程，可得現(xiàn)代流體力學(xué)

14、主干方將牛頓流體本構(gòu)方程引入應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)方程，可得現(xiàn)代流體力學(xué)主干方 程：程：耐維耐維-斯托克斯方程（斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱N-S方程）：方程）： D2 ()2 D3 D 2 ()2 D3 y xxxxz x yyyy xz y v vvvvvp f txxxxyyxzzx vvvv vvp f tyyxyxyyzzy v v D2 ()2 D3 y xzzzz z v vvvvvp f tzzxzxyzyzz v N-S方程方程是粘性流體流動(dòng)及相關(guān)對(duì)流傳熱傳質(zhì)分析的基本理論工具。是粘性流體流動(dòng)及相關(guān)對(duì)流傳熱傳質(zhì)分析的基本理論工具。 N-S方程

15、方程對(duì)流體對(duì)流體密度與粘度的變化密度與粘度的變化、流體的可壓縮性流體的可壓縮性未作限制未作限制, 實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際應(yīng)用中， 針對(duì)具體問(wèn)題上述三方面特點(diǎn)可對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。針對(duì)具體問(wèn)題上述三方面特點(diǎn)可對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。 N-S方程方程引入了牛頓流體本構(gòu)方引入了牛頓流體本構(gòu)方程程( (基于層流背景建立基于層流背景建立) )，故該方程只，故該方程只適用適用 于牛頓流體，于牛頓流體，且原則上且原則上僅適用于層流流動(dòng)僅適用于層流流動(dòng)。對(duì)于非牛頓流體。對(duì)于非牛頓流體, 可采用以應(yīng)可采用以應(yīng) 力表示的運(yùn)動(dòng)方程。力表示的運(yùn)動(dòng)方程。 Sichuan University 6.3.2 流體運(yùn)動(dòng)微分方程(續(xù)1) 常粘度

16、、不可壓縮流體的N-S方程：=constv=0，且，且= const 2 1 ()p t v vvfv N-S方程矢量形式及方程各項(xiàng)稱呼或意義如下：方程矢量形式及方程各項(xiàng)稱呼或意義如下： 非定常項(xiàng)非定常項(xiàng) 定常流動(dòng)定常流動(dòng)=0 靜止流場(chǎng)靜止流場(chǎng) 0 對(duì)流項(xiàng)對(duì)流項(xiàng) 靜止流場(chǎng)靜止流場(chǎng)=0 蠕變流時(shí)蠕變流時(shí) 0 源項(xiàng)源項(xiàng) 單位質(zhì)量流單位質(zhì)量流 體的體積力體的體積力 源項(xiàng)源項(xiàng) 單位質(zhì)量流單位質(zhì)量流 體的表面力體的表面力 擴(kuò)散項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)( (粘性力項(xiàng)粘性力項(xiàng)) ) 靜止或理想流體靜止或理想流體=0 高速非邊界層內(nèi)高速非邊界層內(nèi) 0 222 222 222 222 22 22 1 1 1 xxxxxxx x

17、yzx yyyyyyy xyzy zzzzzz xyzz vvvvvvvp vvvf txyzxxyz vvvvvvv p vvvf txyzyxyz vvvvpvv vvvf txyzzxy 2 2 z v z 簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為歐拉方程歐拉方程 （理想流體運(yùn)動(dòng)方程）（理想流體運(yùn)動(dòng)方程） 簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程 pf D p Dt v f 0 0v Sichuan University 6.3.2 流體運(yùn)動(dòng)微分方程(續(xù)2) 柱坐標(biāo)系不可壓縮流體的N-S方程： 11 () z r vv rv r rrz v 柱坐標(biāo)系牛頓流體本構(gòu)方程： 式中：式中： 分別是單位質(zhì)量的分別是單位質(zhì)量的 離心力

18、和哥離心力和哥氏力氏力。直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)。直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo) 時(shí)自動(dòng)產(chǎn)生，分析流體受力時(shí)不必另加。時(shí)自動(dòng)產(chǎn)生，分析流體受力時(shí)不必另加。 2 ()() r vrv vr 、 2 22 2222 22 222 112 1112 rrrr rz rrr r r rz r vvvvvv vv trrrz vrvvvp f rr rrrrz vvvvv vv vv trrrz rvvvp f rr rrrr 2 22 222 11 zzzz rz zzz z v z vvvvv vv trrz vvvp fr zr rrrz 2 ()2 3 21 ()2 3 2 ()2 3 1 1 r rr r

19、z zz r rr z zz zr zrrz v p r vv p rr v p z vv r rrr vv zr vv rz v v v 本構(gòu)方程本構(gòu)方程用于流體應(yīng)力分析用于流體應(yīng)力分析 與計(jì)算與計(jì)算 Sichuan University 6.4.1 N-S方程應(yīng)用概述 連續(xù)性方程連續(xù)性方程和和N-S方程方程是粘性流體流動(dòng)質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)是粘性流體流動(dòng)質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá), 具具 有普遍的適應(yīng)性。有普遍的適應(yīng)性。流體靜力學(xué)方程流體靜力學(xué)方程和和理想流體運(yùn)動(dòng)方程理想流體運(yùn)動(dòng)方程僅是其特例。僅是其特例。 N-S方程應(yīng)用條件：N-S 方程因?yàn)橐肓伺ｎD流體本構(gòu)方程，且以層流流動(dòng)

20、方程因?yàn)橐肓伺ｎD流體本構(gòu)方程，且以層流流動(dòng) 為背景為背景, 故故只適用于牛頓流體只適用于牛頓流體, 且原則上且原則上只適用于層流流動(dòng)。只適用于層流流動(dòng)。 對(duì)非牛頓流體：對(duì)非牛頓流體：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程仍然適用。以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程仍然適用。 N-S方程的封閉性：N-S 方程與連續(xù)性方程構(gòu)成的微分方程組共有方程與連續(xù)性方程構(gòu)成的微分方程組共有4 個(gè)方程個(gè)方程, 涉及涉及4 個(gè)流動(dòng)參數(shù)個(gè)流動(dòng)參數(shù)( (三個(gè)速度分量三個(gè)速度分量vx、vy、vz 和壓力和壓力p),),故方程組封閉故方程組封閉, 理論理論 上可以求解。對(duì)于上可以求解。對(duì)于 和和 可變的情況可變的情況, 應(yīng)尋求變化關(guān)系作為補(bǔ)充方程；比

21、如應(yīng)尋求變化關(guān)系作為補(bǔ)充方程；比如 理想氣體狀態(tài)方程理想氣體狀態(tài)方程等。等。 對(duì)于湍流流動(dòng)：對(duì)于湍流流動(dòng)：一般認(rèn)為非穩(wěn)態(tài)一般認(rèn)為非穩(wěn)態(tài)N-S方方程對(duì)湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然適用程對(duì)湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然適用（如直（如直 接數(shù)值模擬接數(shù)值模擬) )，但由于湍流脈動(dòng)的高度隨機(jī)性，湍流的直接模擬還十分困難，但由于湍流脈動(dòng)的高度隨機(jī)性，湍流的直接模擬還十分困難 ( (湍流場(chǎng)充滿不同尺度的隨機(jī)漩渦，目前的計(jì)算機(jī)內(nèi)存還難以使計(jì)算網(wǎng)格和湍流場(chǎng)充滿不同尺度的隨機(jī)漩渦，目前的計(jì)算機(jī)內(nèi)存還難以使計(jì)算網(wǎng)格和 步長(zhǎng)小到足以分辨小尺度湍流漩渦步長(zhǎng)小到足以分辨小尺度湍流漩渦) )。因此，通常是將湍流流動(dòng)參數(shù)。因此，通常是將湍流流動(dòng)

22、參數(shù)瞬時(shí)值瞬時(shí)值 分解成分解成時(shí)均值時(shí)均值 與與隨機(jī)脈動(dòng)值隨機(jī)脈動(dòng)值 來(lái)處理來(lái)處理, ,即：即： ( (如如雷諾平均運(yùn)動(dòng)方雷諾平均運(yùn)動(dòng)方 程程) )，但，但 的引入又導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)方程不封閉的引入又導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)方程不封閉, , 從而使得人們力圖通過(guò)推理和實(shí)從而使得人們力圖通過(guò)推理和實(shí) 驗(yàn)尋求驗(yàn)尋求 與與 的關(guān)系的關(guān)系, ,以作為使方程封閉的補(bǔ)充方程以作為使方程封閉的補(bǔ)充方程, ,即所謂即所謂湍流模型問(wèn)題。湍流模型問(wèn)題。 Sichuan University 6.4.1 N-S方程應(yīng)用概述 (續(xù)1) N-S方程的求解： N-S 方程雖然封閉但還無(wú)普遍解。對(duì)工程實(shí)際問(wèn)題，必須根據(jù)其特殊方程雖然封閉但還無(wú)普遍

23、解。對(duì)工程實(shí)際問(wèn)題，必須根據(jù)其特殊 性對(duì)性對(duì)N-S方程進(jìn)行簡(jiǎn)化方程進(jìn)行簡(jiǎn)化, 獲得針對(duì)具體問(wèn)題的微分方程獲得針對(duì)具體問(wèn)題的微分方程( (組組) ), 并確定適宜并確定適宜 的初始條件和邊界條件的初始條件和邊界條件; 這其中關(guān)鍵的是對(duì)問(wèn)題的正確理解和合理簡(jiǎn)化這其中關(guān)鍵的是對(duì)問(wèn)題的正確理解和合理簡(jiǎn)化。 至于簡(jiǎn)化后獲得的模型方程至于簡(jiǎn)化后獲得的模型方程, 可能有解可能有解, 也可能求不出解，也許只能也可能求不出解，也許只能 得到近似解，或通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法獲得離散解。得到近似解，或通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法獲得離散解。 例6-1 圓管內(nèi)的一維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)分析圓管內(nèi)的一維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)分析 例6-2 同心圓筒壁面間的切向流

24、動(dòng)分析同心圓筒壁面間的切向流動(dòng)分析 例6-3 突然啟動(dòng)平板引起的流動(dòng)問(wèn)題突然啟動(dòng)平板引起的流動(dòng)問(wèn)題 例6-4 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 第6章作業(yè)： 6-3， 6-4， 6-7， 6-9 6.4.2 N-S方程應(yīng)用舉例 Sichuan University 強(qiáng)制對(duì)流和自然對(duì)流的N-S方程：Boussinesq Equation of Motion Navier-Stokes Equation ( and =const, isothermal system) 6.4.3 N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用 2 D D p t v gv ()() T T T TT T TTTT TT Substit

25、ution of above equations into the N-S equation gives Boussinesq equation: For a non-isothermal system, =(T3). Expand in Taylor series about the reference temperature as followsT 11 ()()() ppp T T TTT or ()TT By introducing the coefficient of volume expansion the density, , may be expressed as It app

26、lies to forced convection, free convection, and the region between these two extremes as well. 2 D () () D pT T t v gvg Sichuan University Boussinesq 運(yùn)動(dòng)方程在自然對(duì)流與強(qiáng)制對(duì)流問(wèn)題中的應(yīng)用： 6.4.3 N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用(續(xù)1) is particularly true for vertical, rectilinear flow; for the flow near submerged objects in large bodies of

27、 fluid. () 0p g 2 ()() () DD T TpT T DtDt vv gvg ()0,()0 DD pT T DtDt vv gg 2 () D T T Dt v vg For free convection up to moderate , the fluid motion is slow. Moderate =? For air: For water: 11 (),10% p TT T TTTT 4 0 00 105,for 50 KTTT Sichuan University Boussinesq 運(yùn)動(dòng)方程在自然對(duì)流與強(qiáng)制對(duì)流問(wèn)題中的應(yīng)用： This is parti

28、cularly true, for example, in gas turbines and near hypersonic missiles. 6.4.3 N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用(續(xù)2) In conclusion, for the commonly encountered situations with moderate and Dv/Dt, the motion equation can be generally written as 2 () () () pD TDt for forced convection for natural convection gv v g 2 ()() (

29、) DD T TpT T DtDt vv gvg In forced convection, the buoyancy is small compared to inertial force. ()0T Tg 2 () D p Dt v vg ,()0, DD T T DtDt vv g IfIf 2 () D p Dt v vg,()0, DD T T DtDt vv g IfIf Sichuan University 6.4.3 N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用(續(xù)2) 湍流時(shí)均化N-S方程雷諾平均運(yùn)動(dòng)方程(雷諾方程)： 00 11 dd0 tt uu tuu t tt and 由此可得時(shí)間平均運(yùn)算由

30、此可得時(shí)間平均運(yùn)算( (時(shí)均化時(shí)均化) )的基本法則為：的基本法則為： ( (1) )瞬時(shí)值之和的平均值瞬時(shí)值之和的平均值等于等于其平均值之和，即：其平均值之和，即： ( (2) )平均值的平均平均值的平均等于等于其本身，即：其本身，即： ( (3) )平均值與瞬時(shí)值乘積的平均值平均值與瞬時(shí)值乘積的平均值等于等于兩者平均值之積兩者平均值之積, ,即：即： ( (4) )兩脈動(dòng)值乘積的平均值一般兩脈動(dòng)值乘積的平均值一般不不等于等于0，即：，即： ( (5) )導(dǎo)數(shù)的平均值導(dǎo)數(shù)的平均值等于等于平均值的導(dǎo)數(shù)，即：平均值的導(dǎo)數(shù)，即： 1212 uuuu uuuuuu 1212 u uu u 12 0u

31、 u 00 11 dd, tt uuuuu tu t xtxxtxtt 瞬時(shí)參數(shù)時(shí)均化法則：瞬時(shí)參數(shù)時(shí)均化法則： 設(shè)瞬時(shí)速度設(shè)瞬時(shí)速度 ，其中，其中 為時(shí)均速度，為時(shí)均速度， 為脈動(dòng)速度為脈動(dòng)速度, 且且 u u u u u 基于非穩(wěn)態(tài)基于非穩(wěn)態(tài)N-S方方程對(duì)湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然適用的觀點(diǎn)程對(duì)湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然適用的觀點(diǎn), ,雷諾將湍流運(yùn)動(dòng)參數(shù)雷諾將湍流運(yùn)動(dòng)參數(shù) 表示為時(shí)均值表示為時(shí)均值 與隨機(jī)脈動(dòng)值與隨機(jī)脈動(dòng)值 之和，即：之和，即： ，將其引入，將其引入N-S方程方程 并進(jìn)行時(shí)均化處理，獲得了湍流時(shí)均化運(yùn)動(dòng)方程并進(jìn)行時(shí)均化處理，獲得了湍流時(shí)均化運(yùn)動(dòng)方程雷諾方程。雷諾方程雷諾方程。雷諾方程 是湍流模

32、型研究的主干方程。是湍流模型研究的主干方程。 t 表示時(shí)間平表示時(shí)間平 均周期，它比均周期，它比 脈動(dòng)周期大得脈動(dòng)周期大得 多，但又比非多，但又比非 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的特穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的特 征時(shí)間小得多征時(shí)間小得多 平均周期平均周期t 不不 是是x 、t 的函數(shù)的函數(shù) Sichuan University N-S方程的時(shí)均化：方程的時(shí)均化：以以x方向方向N-S方程為例：方程為例： 2 2 () ()() xy xx x zx v v vv v x Dvp v Dtyzx 2 x x Dvp v Dtx 222 222 xxxxxxx xyz vvvvvvvp vvv txyzxxyz 展開(kāi)：展開(kāi)： 最后得：最后得： () () xxxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xyzxyzx