第9章壓桿穩(wěn)定(12)

1、1 第第 九九 章章 壓壓 桿桿 穩(wěn)穩(wěn) 定定 目錄 2 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念 目錄 9.2 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 9.3 9.3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐 拉公式，壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)拉公式，壓桿的長(zhǎng)度因數(shù) 9.4 9.4 歐拉公式的應(yīng)用范圍，臨界應(yīng)力總圖歐拉公式的應(yīng)用范圍，臨界應(yīng)力總圖 9.5 9.5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù) 9.6 9.6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算，壓桿的合理截面壓桿的穩(wěn)定計(jì)算，壓桿的合理截面 目錄 3 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)

2、定平衡穩(wěn)定平衡 微小擾動(dòng)就使小球遠(yuǎn)微小擾動(dòng)就使小球遠(yuǎn) 離原來(lái)的平衡位置離原來(lái)的平衡位置. 微小擾動(dòng)使小球離開(kāi)原微小擾動(dòng)使小球離開(kāi)原 來(lái)的平衡位置，但擾動(dòng)撤銷來(lái)的平衡位置，但擾動(dòng)撤銷 后小球回復(fù)到平衡位置后小球回復(fù)到平衡位置. 9.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念 目錄 4 工程實(shí)例工程實(shí)例 目錄 5 壓桿的穩(wěn)定性試驗(yàn)壓桿的穩(wěn)定性試驗(yàn) 目錄 6 壓桿的平衡壓桿的平衡 目錄 7 壓桿的平衡壓桿的平衡 目錄 增大桿上壓力增大桿上壓力Fp 此時(shí)，壓桿上對(duì)應(yīng)的壓力此時(shí)，壓桿上對(duì)應(yīng)的壓力Fp稱稱 為壓桿的臨界載荷，或臨界力為壓桿的臨界載荷，或臨界力。 用用 8 壓桿的平衡壓桿的平衡 目錄 9 其它失穩(wěn)

3、現(xiàn)象其它失穩(wěn)現(xiàn)象 10 對(duì)壓桿，壓力小于臨界力對(duì)壓桿，壓力小于臨界力, 壓桿穩(wěn)定；壓桿穩(wěn)定； 壓力大于臨界力壓力大于臨界力, 壓桿失穩(wěn)。壓桿失穩(wěn)。 結(jié)論結(jié)論: : 壓桿失穩(wěn)與否關(guān)鍵壓桿失穩(wěn)與否關(guān)鍵 是臨界是臨界 11 壓桿保持微小彎曲壓桿保持微小彎曲 平衡的平衡的最小壓力即最小壓力即 為臨界力。為臨界力。 直線平衡直線平衡 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 12 9.2 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 彎矩彎矩 M = -Fcry 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 EI wF EI xM dx wd cr 2

4、 2 )( 令令 EI F k cr2 0 2 wkw 通解：通解： kxBkxAwcossin y Fcr w 目錄 13 9.2 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 邊界條件邊界條件 （1） x = 0，w = 0 ， 得得 B =0 （2） x = l， w =0 ， Asinkl =0 若若 A = 0，則則 w 0，壓桿恒為直桿，與原題意不符。壓桿恒為直桿，與原題意不符。 所以，所以， sinkl = 0， kl = n （ n = 0，1，2，） y Fcr w 目錄 kxBkxAwcossin 14 由由 kl = n 可得，可得， l n

5、k 2 22 cr2 l n EI F k 當(dāng)當(dāng) n =1時(shí)，得得臨界載荷臨界載荷 2 22 cr l EIn F 所以所以（n=0，1，2，） 2 2 cr l EI F 歐拉公式歐拉公式 y Fcr w 9.2 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 目錄 15 2 2 cr l EI F 歐拉公式歐拉公式 y Fcr w 9.2 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 目錄 由公式可知：由公式可知：壓桿越細(xì)、越長(zhǎng)，壓桿越細(xì)、越長(zhǎng)， 16 2 2 cr l EI F 歐拉公式歐拉公式 的適用條件：的適用條件： （1）理想壓

6、桿（軸線為直線，壓力與軸線重合，）理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線重合， 材料均勻）；材料均勻）； （2）線彈性，小變形；）線彈性，小變形； （3）兩端為鉸支座。）兩端為鉸支座。 y Fcr w 9.2 9.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 目錄 17 截面慣性矩截面慣性矩 臨界力臨界力 已知：已知：兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿，橫截面直徑，橫截面直徑 d=50mm，材料為材料為Q235鋼，彈性模量鋼，彈性模量 E=200GPa，s=235MPa。試確定其臨界試確定其臨界 力。力。 49-4 m103070.05 64 64 dI 269kNN10269

7、 1.5 1030710200 3 2 992 2 2 cr l EI F 目錄 18 一端固定一端固定 一端自由一端自由 目錄 9.3 9.3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式，不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式， 壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)壓桿的長(zhǎng)度因數(shù) 19 2 2 50).(l EI Fcr 20 2 2 70).(l EI Fcr 2 2 2 )( l EI Fcr 21 01. 02. 50. 70. 2 2 cr )( l EI F 歐拉公式普遍形式歐拉公式普遍形式 長(zhǎng)度系數(shù)（長(zhǎng)度因數(shù)）長(zhǎng)度系數(shù)（長(zhǎng)度因數(shù)） 相當(dāng)長(zhǎng)度相當(dāng)長(zhǎng)度l 22 應(yīng)當(dāng)指出應(yīng)當(dāng)指出: : 上上邊所列的桿端約束情況

8、，是典型的理想邊所列的桿端約束情況，是典型的理想 約束，實(shí)際上，工程實(shí)際中的桿端約束情況是約束，實(shí)際上，工程實(shí)際中的桿端約束情況是 復(fù)雜的，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況作具體分析，看其復(fù)雜的，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況作具體分析，看其 與哪種理想情況接近，從而定出近乎實(shí)際的長(zhǎng)與哪種理想情況接近，從而定出近乎實(shí)際的長(zhǎng) 度系數(shù)，也可按設(shè)計(jì)手冊(cè)或規(guī)范的規(guī)定選取。度系數(shù)，也可按設(shè)計(jì)手冊(cè)或規(guī)范的規(guī)定選取。 此外，歐拉公式是從符合胡克定律的撓曲此外，歐拉公式是從符合胡克定律的撓曲 線近似微分方程導(dǎo)出的，所以線近似微分方程導(dǎo)出的，所以, ,上述臨界載荷上述臨界載荷 公式，只有在微彎狀態(tài)下壓桿仍處于彈性狀態(tài)公式，只有在微彎狀態(tài)下壓

9、桿仍處于彈性狀態(tài) 時(shí)才是成立的。時(shí)才是成立的。 23 4912 3 m1017410 12 1050 . min I kN1467 5070 200174 2 2 2 1 2 cr . ).( . )( min l EI F 48 m10893 . minz II 2 2 2 cr )( min l EI F 求：下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。求：下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。 圖圖(a) 圖圖(b) kN876 502 2003890 2 2 . ).( . 10 圖圖(a) 50 FP L 圖圖(b) FP L (45 45 6) 等邊角鋼等邊角鋼 y z 目錄 24 25 Al EI AA F l( E

10、I cr cr 2 2 2 2 ) AiI 2 A I i 一、歐拉公式的應(yīng)用范圍一、歐拉公式的應(yīng)用范圍 9.4 9.4 歐拉公式的應(yīng)用范圍，臨界應(yīng)力總圖歐拉公式的應(yīng)用范圍，臨界應(yīng)力總圖 26 i l 注意：注意： 柔度越大，臨界應(yīng)力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。柔度越大，臨界應(yīng)力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。 2 2 2 2 E Al EI A F cr cr 27 p 2 2 cr E p p E 2 P 或或 如令如令 歐拉公式的適用范圍可表示為歐拉公式的適用范圍可表示為 p E 2 ( (細(xì)長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿 大柔度桿大柔度桿) ) 28 1 4 4 64 2 4 d d d A I i 70. 50. 02

11、. pa 200 )( pb 196 )( pc 180 )( pd 160 )( 100 p i l 29 P (小柔度桿小柔度桿) 折減彈性模量理論折減彈性模量理論 (大柔度桿大柔度桿) 歐拉公式歐拉公式 二、折減彈性模量理論二、折減彈性模量理論 臨界力：臨界力： 2 r 2 cr )( l IE F 折減彈性模量：折減彈性模量： 2 r 4 ）（EE EE E 其中其中為為切線彈性模量切線彈性模量，圖中曲線上某點(diǎn)切線的斜率。，圖中曲線上某點(diǎn)切線的斜率。 o P E EE 目錄 P 30 三、壓桿的臨界應(yīng)力總圖三、壓桿的臨界應(yīng)力總圖 目錄 無(wú)論是大柔度桿還是小柔無(wú)論是大柔度桿還是小柔 度桿

12、度桿. .均為柔度越大均為柔度越大. . 臨界 臨界 力越小力越小. . 31 l il AF crcr 32 1、（、（a）、（）、（b）兩根都是大柔度桿，材料、桿兩根都是大柔度桿，材料、桿 長(zhǎng)和橫截面形狀大小都相同，桿端約束不同。長(zhǎng)和橫截面形狀大小都相同，桿端約束不同。 其中（其中（a）為兩端鉸支，（）為兩端鉸支，（b）為一端固定，一端自）為一端固定，一端自 由。那么兩桿臨界力之比。由。那么兩桿臨界力之比。 練習(xí)題練習(xí)題 33 2 2、圖示兩細(xì)長(zhǎng)壓桿（、圖示兩細(xì)長(zhǎng)壓桿（a）、（）、（b b）的材料）的材料 和橫截面均相同，其中和橫截面均相同，其中 桿的臨界力較大。桿的臨界力較大。 （a）

13、（b） 34 1.1.大柔度壓桿是因大柔度壓桿是因 而失效。而失效。 2.細(xì)長(zhǎng)壓桿，若其長(zhǎng)度系數(shù)增加一倍，則（細(xì)長(zhǎng)壓桿，若其長(zhǎng)度系數(shù)增加一倍，則（ ）。）。 A. Fcr 增加一倍；增加一倍； B. Fcr增加到原來(lái)的四倍；增加到原來(lái)的四倍； C.Fcr為原來(lái)的四分之一倍；為原來(lái)的四分之一倍； D. Fcr為原來(lái)的二分之一倍為原來(lái)的二分之一倍. ？思考思考 3. 壓桿的失穩(wěn)彎曲和梁的彎曲變形有何本質(zhì)不同？壓桿的失穩(wěn)彎曲和梁的彎曲變形有何本質(zhì)不同？ 4. 有一根壓桿，用歐拉公式計(jì)算出它的臨界力為有一根壓桿，用歐拉公式計(jì)算出它的臨界力為 Fcr，后發(fā)現(xiàn)為非大柔度桿，問(wèn)：其先計(jì)算的，后發(fā)現(xiàn)為非大柔度

14、桿，問(wèn)：其先計(jì)算的Fcr是是 小于真實(shí)的臨界力還是大于真實(shí)的臨界力？或者與小于真實(shí)的臨界力還是大于真實(shí)的臨界力？或者與 真實(shí)的臨界力相同？真實(shí)的臨界力相同？ 35 st n 穩(wěn)定安全因數(shù)。穩(wěn)定安全因數(shù)。 9.5 9.5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù) st cr st n 壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力：壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力： st與強(qiáng)度許用應(yīng)力與強(qiáng)度許用應(yīng)力的關(guān)系：的關(guān)系： st 穩(wěn)定因數(shù)穩(wěn)定因數(shù) 鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中，列出鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中，列出 關(guān)系（書(shū)中表關(guān)系（書(shū)中表9-2，9-3） 目錄 36 木結(jié)構(gòu)：木結(jié)構(gòu)： 樹(shù)種強(qiáng)度等級(jí)為樹(shù)種強(qiáng)度等級(jí)為T(mén)C17，TC15及及TB20： 2 80 1 1 75

15、2 3000 75 樹(shù)種強(qiáng)度等級(jí)為樹(shù)種強(qiáng)度等級(jí)為T(mén)C13，TC11、TB17及及TB15 ： 2 65 1 1 91 2 2800 91 目錄 37 9.6 9.6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 壓桿的合理截面壓桿的合理截面 壓桿的穩(wěn)定條件：壓桿的穩(wěn)定條件： A F A F 或或 穩(wěn)定計(jì)算步驟：穩(wěn)定計(jì)算步驟： （1 1）由）由iy、iz及約束情況確定及約束情況確定； （2 2）由由計(jì)算或查表確定計(jì)算或查表確定 ； （3 3）根據(jù)穩(wěn)定條件計(jì)算。）根據(jù)穩(wěn)定條件計(jì)算。 目錄 F n F F st cr 38 2 2 cr E 壓桿的臨界應(yīng)力：壓桿的臨界應(yīng)力： 又穩(wěn)定因數(shù)又穩(wěn)定因數(shù) 隨柔度隨柔度 的增

16、大而減小，所以壓桿的增大而減小，所以壓桿 合理的截面應(yīng)使合理的截面應(yīng)使 盡可能小，或盡可能小，或 i 盡可能大盡可能大。 目錄 39 一截面為一截面為12cm20cm的的 矩形木柱矩形木柱，長(zhǎng)長(zhǎng) l =4m，其其 支撐情況是：在支撐情況是：在 xy 平面平面 內(nèi)彎曲時(shí)為兩端鉸支，內(nèi)彎曲時(shí)為兩端鉸支， （圖（圖（a），），在在 xz 平面平面 內(nèi)彎曲時(shí)為兩端固定內(nèi)彎曲時(shí)為兩端固定 （圖（圖（b） 。木柱為松木柱為松 木，彈性模量木，彈性模量E=10GPa， P=59。試求木柱的臨界試求木柱的臨界 力和臨界應(yīng)力力和臨界應(yīng)力。 目錄 40 在在 xy 平面內(nèi)，兩端平面內(nèi)，兩端鉸支鉸支，橫截面繞橫截面

17、繞 z 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) )(c 4 3 z m8000 12 2012 I )(cm5.77 2012 8000 z z A I i 1.0 69.3 5.77 4001 z z i l 目錄 41 在在 xz 平面內(nèi)，兩端平面內(nèi)，兩端固定固定，橫截面繞橫截面繞 y 軸轉(zhuǎn)：軸轉(zhuǎn)： )(c 4 3 m2880 12 1220 y I )(cm3.46 2012 2880 A I i y y 0.5 57.8 3.46 4000.5 y y i l 目錄 42 由于由于 ，所以桿件將在，所以桿件將在xy 平面內(nèi)發(fā)生失穩(wěn)。平面內(nèi)發(fā)生失穩(wěn)。 yz 59 Pzy 69.3)，(max 用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力：

18、用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力： 20.55(MPa) 69.3 1010 2 92 2 2 cr E 493.5(kN) crcr AF 目錄 解：解： CD 梁梁0 C M 1500302000 sin N FF kN626. N F得得 AB桿桿 i l 1 m7321 30 51 . cos . l mm16 4 64 4 22 22 44 dD dD dD A I i P 3 108 16 101.7321 得得 P 108 16 1073211 3 . 得得 AB為大柔度桿為大柔度桿 kN118 2 2 l EI Fcr N cr F F n 3424 626 118 st n. . AB

19、桿滿足穩(wěn)定性要求桿滿足穩(wěn)定性要求 46 廠房的鋼柱長(zhǎng)廠房的鋼柱長(zhǎng)7m，上下兩端分別與基礎(chǔ)和梁連接。鋼柱的長(zhǎng)上下兩端分別與基礎(chǔ)和梁連接。鋼柱的長(zhǎng) 度因數(shù)取為度因數(shù)取為=1.3。鋼柱由兩根鋼柱由兩根Q235鋼的槽鋼組成，符合鋼結(jié)鋼的槽鋼組成，符合鋼結(jié) 構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的實(shí)腹式構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。在柱腳和類截面中心受壓桿的要求。在柱腳和 柱頂處用螺栓借助于連接板與基礎(chǔ)和梁連接，同一橫截面上柱頂處用螺栓借助于連接板與基礎(chǔ)和梁連接，同一橫截面上 最多有四個(gè)直徑為最多有四個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱承受的的螺栓孔。鋼柱承受的軸向壓力為軸向壓力為 270kN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力材料的

20、強(qiáng)度許用應(yīng)力=170MPa。試為鋼柱選擇槽試為鋼柱選擇槽 鋼號(hào)碼，并確定兩根槽鋼的間距鋼號(hào)碼，并確定兩根槽鋼的間距h。 解：解：（1 1）按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼）按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼 因因i 未知，未知，無(wú)法定無(wú)法定 先假設(shè)：先假設(shè)： 和和 50. 85MPaMPa17050 st . 可得：可得： 目錄 47 由穩(wěn)定條件計(jì)算每根槽鋼所需的面積：由穩(wěn)定條件計(jì)算每根槽鋼所需的面積： 24 6 3 st m10915 P1085 2N10270 2 . / a F A 查型鋼表，查型鋼表，14a號(hào)槽鋼的橫截面面積為號(hào)槽鋼的橫截面面積為A=18.51cm2，iz=5.52cm。 165 m10525 m731 2 . . 查表查表9-39-3，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)Q235鋼鋼, ,=165的穩(wěn)定因數(shù)為：的穩(wěn)定因數(shù)為： 2620. 可見(jiàn)前面假設(shè)的可見(jiàn)前面假設(shè)的 過(guò)大，重新假設(shè)