第9章 動(dòng)力學(xué)有限元

1、如圖所示有一工字形截面的外伸梁，外伸端長(zhǎng)度 為a=1m，跨度l=2m，外伸端受到W=10KN/m的均布載 荷的作用。工字形截面的截面面積為A=45cm2，彈性 模量E=200GPa，抗彎慣性矩Iz=5000cm4，求此外伸梁 跨中的最大撓度。 有一材料為鋼的軸類(lèi)零件，其結(jié)構(gòu)如圖所示， 兩端受50MPa的面載荷作用。已知鋼的彈性模量是 200GPa，泊松比為0.3，試分析該零件內(nèi)部的應(yīng)力分 布情況。 現(xiàn)有一個(gè)薄壁圓筒，如圖所示。圓筒長(zhǎng)度L為0.5m， 壁厚t為5mm，內(nèi)徑R為0.2m，薄壁圓筒在其長(zhǎng)度的中 心處受一對(duì)沿著直徑方向的壓力F的作用，力的大小為 1000N，求薄壁圓筒在受力點(diǎn)處的徑向位

2、移，圓柱的 兩端在邊界處自由。已知薄壁圓筒的彈性模量為 200GPa，泊松比為0.3。 長(zhǎng)寬均為1m的厚度為0.05m的鋼板，在兩邊和中間位置均焊接有加強(qiáng)筋，建立 其有限元分析模型。 9.1 引言 9.2 動(dòng)力學(xué)有限元基本方程 9.3 質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣 9.4 結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型 9.5 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng) 9.6 動(dòng)力響應(yīng)算例 9.1引引 言言 u 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，它有兩類(lèi)研動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，它有兩類(lèi)研 究對(duì)象。一類(lèi)是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高究對(duì)象。一類(lèi)是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高 速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)燃機(jī)，

3、以及高速運(yùn)行的飛行器，速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)燃機(jī)，以及高速運(yùn)行的飛行器， 如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研 究課題。另一類(lèi)是承受動(dòng)力載荷作用的工程結(jié)，例如建于地究課題。另一類(lèi)是承受動(dòng)力載荷作用的工程結(jié)，例如建于地 面的高層建筑和廠房，正確分析和設(shè)計(jì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)，在理論和面的高層建筑和廠房，正確分析和設(shè)計(jì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)，在理論和 實(shí)際上都是具有重要意義的。實(shí)際上都是具有重要意義的。 u 動(dòng)力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。 有限元方程（剛度方程）： 靜力學(xué)問(wèn)題： K =F

4、 靜力問(wèn)題： 1) 靜止; 2) 勻速 動(dòng)力問(wèn)題：外載隨時(shí)間變化大 動(dòng)載荷（又稱(chēng)動(dòng)力分析）動(dòng)載荷（又稱(chēng)動(dòng)力分析） 固有特性分析固有特性分析 響應(yīng)分析響應(yīng)分析 固固 有有 頻頻 率率 振振 型型 位位 移移 響響 應(yīng)應(yīng) 速速 度度 響響 應(yīng)應(yīng) 加加 速速 度度 響響 應(yīng)應(yīng) 動(dòng)動(dòng) 應(yīng)應(yīng) 變變 動(dòng)動(dòng) 應(yīng)應(yīng) 力力 固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定，固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定， 而與外部載荷無(wú)關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)載荷的響應(yīng)；而與外部載荷無(wú)關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)載荷的響應(yīng)； 響應(yīng)分析：是計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)給定動(dòng)載荷的各種響應(yīng)特性。響應(yīng)分析：是計(jì)算

5、結(jié)構(gòu)對(duì)給定動(dòng)載荷的各種響應(yīng)特性。 以三維實(shí)體動(dòng)力分析為例，用有限元法求解的基本步驟如下：以三維實(shí)體動(dòng)力分析為例，用有限元法求解的基本步驟如下： （1）連續(xù)區(qū)域的離散化）連續(xù)區(qū)域的離散化 （2）構(gòu)造插值函數(shù)）構(gòu)造插值函數(shù) 由于只對(duì)空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移由于只對(duì)空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移u,v,w的插值分別表的插值分別表 示為示為: e Nau ),( ),( ),( tzyxw tzyxv tzyxu u （9.1） 其中其中 n NNNN. 21 ),.,2 , 1( 3*3 niINN ii ),.,2 , 1( )( )( )( . 2 1 ni tw tv tu a a a

6、a a i i i i n e （3）形成系統(tǒng)的求解方程）形成系統(tǒng)的求解方程 )()()()(tQtKataCtaM （9.2） 其中其中 )()(tata和分別是系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)加速度向量和結(jié)點(diǎn)速度向量分別是系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)加速度向量和結(jié)點(diǎn)速度向量， M,C,K和和Q(t)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點(diǎn)載荷向量。分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點(diǎn)載荷向量。 （4）求解運(yùn)動(dòng)方程）求解運(yùn)動(dòng)方程 )()()(tQtKataM （9.3） 如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為 0)()( tKataM 如果上式的右端項(xiàng)為零，則上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為如果上式的右端項(xiàng)為零，則上式進(jìn)

7、一步簡(jiǎn)化為 （9.4） 這是系統(tǒng)的自有振動(dòng)方程，又稱(chēng)為動(dòng)力特性方程。這是系統(tǒng)的自有振動(dòng)方程，又稱(chēng)為動(dòng)力特性方程。 （5）計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力）計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體 的振動(dòng)問(wèn)題，離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的的振動(dòng)問(wèn)題，離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。其基本原理和分析方法類(lèi)同靜多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。其基本原理和分析方法類(lèi)同靜 力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不 同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力

8、學(xué)方程時(shí)，在單元分析中同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，在單元分析中 除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；在除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；在 整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)，還有求解特征值問(wèn)題（結(jié)整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)，還有求解特征值問(wèn)題（結(jié) 構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振動(dòng)型（或模態(tài)）構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振動(dòng)型（或模態(tài)） 從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動(dòng)力分析中，由于慣從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動(dòng)力分析中，由于慣 性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩 陣，最后得到

9、求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其 它的計(jì)算步驟和靜力分析是完全相同的。它的計(jì)算步驟和靜力分析是完全相同的。 關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類(lèi)：關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類(lèi)：直接積分法和振型疊加法直接積分法和振型疊加法。 直接積分法是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程積分。而振型疊加法是首先求解一直接積分法是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程積分。而振型疊加法是首先求解一 無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對(duì)無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對(duì) 運(yùn)動(dòng)方程式進(jìn)行變換。運(yùn)動(dòng)方程式進(jìn)行變換。 動(dòng)力分析的計(jì)算工作量很大，因此提高效率

10、，節(jié)省計(jì)算工作量的動(dòng)力分析的計(jì)算工作量很大，因此提高效率，節(jié)省計(jì)算工作量的 數(shù)值方案和方法是動(dòng)力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩數(shù)值方案和方法是動(dòng)力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩 種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是Guyan減縮法和動(dòng)力子結(jié)構(gòu)法。減縮法和動(dòng)力子結(jié)構(gòu)法。 e KR ( )( ) e KtR t ( )( ) e T F tMt ( )R t ( )F t ( ) T F t( ) c F t ( )( ) e c F tCt ( )( )( )( ) ee e MtCtKtF t l 從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限從

11、靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限 個(gè)單元，建立整體剛度平衡方程：個(gè)單元，建立整體剛度平衡方程： l 關(guān)于靜力問(wèn)題和動(dòng)力問(wèn)題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題關(guān)于靜力問(wèn)題和動(dòng)力問(wèn)題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 只要在外力中計(jì)入慣性力后，便可按靜力平衡處理。考慮到動(dòng)力問(wèn)題只要在外力中計(jì)入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動(dòng)力問(wèn)題 中的載荷和位移均為時(shí)間的函數(shù)，上式可記為：中的載荷和位移均為時(shí)間的函數(shù)，上式可記為： l 由于動(dòng)力載荷由于動(dòng)力載荷 可為作用于彈性體上的動(dòng)載荷可為作用于彈性體上的動(dòng)載荷 ，也可為彈，也可為彈 性體的慣性力性體的慣性力 ，也可為與速度相關(guān)的阻

12、尼力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力 ，即：，即： l據(jù)慣性力定義表示為：據(jù)慣性力定義表示為： l如阻尼力正比與速度，如阻尼力正比與速度， l則動(dòng)力學(xué)基本方程：則動(dòng)力學(xué)基本方程： ( )( ) e tNt ( )( ) ee tt 、 ( ) e t T e V KBDB dV ( )( ) e tBt ( )( )( ) e tDtDBt l1、單元?jiǎng)偠汝?、單元?jiǎng)偠汝?l任取一個(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)位移為任取一個(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)位移為 ，節(jié)點(diǎn)速度和加速度為：，節(jié)點(diǎn)速度和加速度為： ，則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)的位移，則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)的位移 lN為形函數(shù)，與時(shí)間為形函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)，為無(wú)關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，

13、它與靜力分的函數(shù)，它與靜力分 析中一樣；由于析中一樣；由于N與時(shí)間無(wú)關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與時(shí)間無(wú)關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍 與靜力分析完全相同：與靜力分析完全相同： l則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同： ( ) e t ( )( ) e tNt ( )( ) T p tt 2、慣性力與單元質(zhì)量陣、慣性力與單元質(zhì)量陣 設(shè)單元節(jié)點(diǎn)加速度為設(shè)單元節(jié)點(diǎn)加速度為 ，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的加速度：，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的加速度： 設(shè)單元的質(zhì)量密度為設(shè)單元的質(zhì)量密度為 ，則單位體積中的慣性力為：，則單位體積中的慣性力為： 負(fù)號(hào)表示慣性力與加速度相反。負(fù)號(hào)表示慣性力與加速度相反。

14、顯然，整個(gè)單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個(gè)作用于單元上顯然，整個(gè)單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個(gè)作用于單元上 的慣性力移置到單元節(jié)點(diǎn)上，通常有兩種方法：的慣性力移置到單元節(jié)點(diǎn)上，通常有兩種方法： 1）虛功原理法）虛功原理法求得一致質(zhì)量矩陣求得一致質(zhì)量矩陣 2）直接分配法）直接分配法即按重心不變?cè)瓌t分配，求得集中質(zhì)量矩。即按重心不變?cè)瓌t分配，求得集中質(zhì)量矩。 201010 020101 102010 01020112 101020 010102 e c tA m 在動(dòng)態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。在動(dòng)態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。 1、一致質(zhì)量矩陣、一

15、致質(zhì)量矩陣 按按 形成的單元質(zhì)量矩陣稱(chēng)為一致質(zhì)量矩陣，因?yàn)樾纬傻膯卧|(zhì)量矩陣稱(chēng)為一致質(zhì)量矩陣，因?yàn)?它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類(lèi)型和形函它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類(lèi)型和形函 數(shù)的形式。數(shù)的形式。 eT V mNN dV 100000 010000 001000 0001003 000010 000001 e l tA m 2、集中質(zhì)量矩陣、集中質(zhì)量矩陣 集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，等效原則集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，等效原則 就是要求不改變?cè)瓎卧馁|(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱(chēng)為集中質(zhì)量

16、矩就是要求不改變?cè)瓎卧馁|(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱(chēng)為集中質(zhì)量矩 陣。集中質(zhì)量矩陣是一個(gè)對(duì)角陣，陣。集中質(zhì)量矩陣是一個(gè)對(duì)角陣， 集中質(zhì)量矩陣：是一個(gè)對(duì)角陣，因而可簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)計(jì)算，減小存儲(chǔ)容量。利集中質(zhì)量矩陣：是一個(gè)對(duì)角陣，因而可簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)計(jì)算，減小存儲(chǔ)容量。利 用這種矩陣計(jì)算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過(guò)有限元模型本身比實(shí)際結(jié)構(gòu)用這種矩陣計(jì)算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過(guò)有限元模型本身比實(shí)際結(jié)構(gòu) 偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計(jì)算出的固有頻率反而更接近真實(shí)值。偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計(jì)算出的固有頻率反而更接近真實(shí)值。 一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可

17、以求得更精確的振型，另外，整 個(gè)模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。個(gè)模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。 *( ) t *( ) e t * ( )( ) e tNt *( ) ( ) T V UttdV *( ) ( ) e e T WtF t ( )( ) e tNt ( )( )( ) Tee ee T V F tNN dVtMt l這里這里M為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對(duì)于不同的單為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對(duì)于不同的單 元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。 l1）虛功原理法）虛功原理法 l設(shè)單元中發(fā)生虛位移為設(shè)單元中發(fā)生虛位移為 l則

18、單元慣性力作的虛功為：則單元慣性力作的虛功為： l單元節(jié)點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)慣性力所作的功為：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)慣性力所作的功為： l將將 和和 代入可得代入可得 .50.250.250 .50.250.25 .50.250 1 .50.253 .50 .5 e MA 平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為： T e V MNN dV 單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣 100000 10000 1000 1003 10 1 eW M g 一般而言，一致質(zhì)量較一般而言，一致質(zhì)量較 準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì) 量分布的實(shí)際情況，集量分布的實(shí)際情況，集 中質(zhì)量精度不如前者，中質(zhì)

19、量精度不如前者， 但不存在耦合，使計(jì)算但不存在耦合，使計(jì)算 大大簡(jiǎn)化，是工程中常大大簡(jiǎn)化，是工程中常 用的方法。用的方法。 l2）直接分配法）直接分配法 l將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變?cè)瓌t分配至單元節(jié)點(diǎn)上，將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變?cè)瓌t分配至單元節(jié)點(diǎn)上， 所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒(méi)有耦合項(xiàng)的對(duì)角矩陣。所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒(méi)有耦合項(xiàng)的對(duì)角矩陣。 l如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平，則平 均分配至三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：均分配至三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為： ( )( ) c p tt ( )( )( ) Tee ee c V F t

20、NN dVtCt T e V CNN dV l3、單元阻尼陣、單元阻尼陣 l 單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料 內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為 ，則單位體積，則單位體積 產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為： l利用虛功原理同理可得：利用虛功原理同理可得： 1 1 1 n e n e n e KK MM CC 一旦單元?jiǎng)傟?、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動(dòng)力一旦單元?jiǎng)傟?、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動(dòng)力 學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類(lèi)似靜力分析的剛度學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣

21、等可類(lèi)似靜力分析的剛度 矩陣組裝得到：矩陣組裝得到： ( )( )0 e e MtKt 0 ( ) e j t te 0 l計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是 分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和其它動(dòng)力特性問(wèn)題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和其它動(dòng)力特性問(wèn)題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻 尼對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率尼對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率 和振型時(shí)，直接用無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程求解。即和振型時(shí)，直接用無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程求解。即 l因任意彈性體的自由振動(dòng)都可分解為一系列的簡(jiǎn)

22、諧振動(dòng)的迭加：因任意彈性體的自由振動(dòng)都可分解為一系列的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加： 即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)位移為即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)位移為 l 為節(jié)點(diǎn)位移振幅向量（即振型），與時(shí)間為節(jié)點(diǎn)位移振幅向量（即振型），與時(shí)間t無(wú)關(guān)的位移幅值；無(wú)關(guān)的位移幅值； 為與該振型對(duì)應(yīng)的頻率。為與該振型對(duì)應(yīng)的頻率。 2 0 ()0KM 2 0KM 22 1 , n , 1, r rn 12n 2 1 l1、 l將節(jié)點(diǎn)位移代入動(dòng)力方程，化簡(jiǎn)得廣義特征值問(wèn)題：將節(jié)點(diǎn)位移代入動(dòng)力方程，化簡(jiǎn)得廣義特征值問(wèn)題： l由于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振幅不可能全為零，則由于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振幅不可能全為零，則 l稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固

23、有頻率和振型歸結(jié)為特稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特 征值問(wèn)題。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的自由度為征值問(wèn)題。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征方程為，則特征方程為 的的n次代次代 數(shù)方程，其數(shù)方程，其n個(gè)根稱(chēng)為特征值，記為個(gè)根稱(chēng)為特征值，記為 l它們的平方根稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率，即它們的平方根稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率，即 l將這些固有頻率從小到大依次排列為將這些固有頻率從小到大依次排列為 l最低的頻率最低的頻率 稱(chēng)為基頻，它是所有頻率中最重要的一個(gè)。稱(chēng)為基頻，它是所有頻率中最重要的一個(gè)。 2( ) 0 ()0 r KM r ( )( )( )( ) 001020 rrrr n ( ) 0 1,., r

24、rn ( )( ) 00 1 T rr M ( ) 0 r ( ) 0 r 2 r ( )( )2 00 T rr r K l這個(gè)過(guò)程稱(chēng)之為正規(guī)化這個(gè)過(guò)程稱(chēng)之為正規(guī)化 l利用正規(guī)化，可得利用正規(guī)化，可得 l2、特征向量、特征向量 l對(duì)應(yīng)每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)每個(gè)固有頻率 ，可有方程，可有方程 l由此求得一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為由此求得一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為0的向量的向量 l稱(chēng)稱(chēng) 為特征向量，也稱(chēng)為振型或模態(tài)向量。由為特征向量，也稱(chēng)為振型或模態(tài)向量。由 于上述方程為齊次方程，顯然解于上述方程為齊次方程，顯然解 不唯一，也就是說(shuō)：不唯一，也就是說(shuō)： l振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；振型的形狀是唯一的，但

25、其振幅不是唯一的； l或一個(gè)特征值或一個(gè)特征值 可對(duì)應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量可對(duì)應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量 只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。 l實(shí)際中，常選特征向量實(shí)際中，常選特征向量 使使 2( )2( ) 00 rs rs ( )( ) 00 0 T rs Mrs 22 1 , n (1)( ) 00 n ( )2( ) 00 1,2,. rr r KMrn (1)( ) 00 , n 則對(duì)應(yīng)所有的特征值問(wèn)題則對(duì)應(yīng)所有的特征值問(wèn)題: l3、特征向量的性質(zhì)、特征向量的性質(zhì) l正交性：任意兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩正交性：任意兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩 陣或剛

26、度矩陣正交。即設(shè)陣或剛度矩陣正交。即設(shè) l則有則有 l若將所有的特征值若將所有的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量 l組裝成特征向量矩陣，即組裝成特征向量矩陣，即 2 1 2 T n K l考慮到正規(guī)化考慮到正規(guī)化: l可進(jìn)一步記為：可進(jìn)一步記為： 2 1 2 n KM T M 可簡(jiǎn)記為矩陣形式：可簡(jiǎn)記為矩陣形式： 2 0 ()0KM 2 1 1 DKM 2 0000 KMD 廣義特征值問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題 1、冪迭代法、冪迭代法 特點(diǎn)：用于計(jì)算最大（主）特征值十分有效。特點(diǎn)：用于計(jì)算最大（主）特征值十分有效。 這里這里D稱(chēng)為動(dòng)力矩陣，也即一個(gè)變換矩陣，它可將任一特征稱(chēng)為動(dòng)力矩陣，也即一個(gè)變換

27、矩陣，它可將任一特征 向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積. 結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計(jì)算歸結(jié)為求結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計(jì)算歸結(jié)為求 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個(gè)自由度，個(gè)自由度，n一般相當(dāng)大，故一般相當(dāng)大，故n 次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解 方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。 (1)(2)( )( ) 0102000 1 1 n nr nr ( )( ) 00 ( ) 000 21

28、 1 ( )( ) 010 11 1 rr r n r r D nn rr r rrr DD 11( ) 0010 1 1 1 () n ppr r r pp D l由于任兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，則由于任兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，則n個(gè)特征向量個(gè)特征向量 可組成特征向量空間中的一個(gè)特征向量基，其特征向量空間中的可組成特征向量空間中的一個(gè)特征向量基，其特征向量空間中的 任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量： 設(shè)這個(gè)向量被設(shè)這個(gè)向量被D變換后形成一新的特征向量為：變換后形成一新的特征向量為： 類(lèi)推，可得：類(lèi)推，

29、可得： 12n 11 1, ()0 p p rr 則當(dāng)時(shí) 1 p (1) 0 12n 11( )(1) 0100 1 1 () pn ppr r r p l由于所有的特征值排列為：由于所有的特征值排列為： l即即 l存在存在 l考慮到問(wèn)題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)考慮到問(wèn)題為齊次方程，特征向量前的系數(shù) 可以略去，可以略去， 則上式在則上式在p趨近無(wú)窮時(shí)，其第一項(xiàng)就趨近趨近無(wú)窮時(shí)，其第一項(xiàng)就趨近 l實(shí)際計(jì)算，只需迭代有限次即可得精確解。實(shí)際計(jì)算，只需迭代有限次即可得精確解。 0 1 00 1 0 00 max 1 kk ki k kk k D m m 0 2 1 1 0 i k k i k 2

30、2 111 2 1 kk k (1)(1) 1100 T rr rrr DDM l冪法迭代格式冪法迭代格式 l1、選初始特征向量、選初始特征向量 ，如單位向量，如單位向量 l2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化、構(gòu)造新特征向量，并歸一化 l3、計(jì)算特征值近似值、計(jì)算特征值近似值 l4、計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，、計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差， l檢查是否收斂檢查是否收斂 l若需計(jì)算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動(dòng)力矩陣若需計(jì)算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動(dòng)力矩陣 00 1 KM 0 1 01kk YM 0kk KY 0 00 max 1 ki k kk k m m l2、逆迭代法、逆迭代法

31、l逆迭代法也稱(chēng)為反冪法，類(lèi)似于冪法，逆迭代法也稱(chēng)為反冪法，類(lèi)似于冪法， 特征值問(wèn)題改寫(xiě)為：特征值問(wèn)題改寫(xiě)為： l其具體迭代格式為：其具體迭代格式為： l1）選初始向量）選初始向量 如單位向量如單位向量 l2）計(jì)算中間向量）計(jì)算中間向量 l3）求解線性方程組）求解線性方程組 l4）歸一化）歸一化 l5）計(jì)算特征值近似值）計(jì)算特征值近似值 l6）計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，）計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差， 檢查是否收斂檢查是否收斂 ( )( )( )( ) ee e MtCtKtF t (1)(2)( ) 12000 , n n (1)(2)( ) 01020 ( )( )( )( ) n n

32、ty ty ty t ( ) 1, i y tin l 對(duì)于受迫振動(dòng)，基本方程為對(duì)于受迫振動(dòng)，基本方程為 l求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法 l1、振型迭加法、振型迭加法 l振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振 動(dòng)分解為一組相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移動(dòng)分解為一組相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移 響應(yīng)。響應(yīng)。 l設(shè)結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：設(shè)結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的各階固

33、有頻率和相應(yīng)的固有振型為： l則結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的受迫振動(dòng)產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是則結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的受迫振動(dòng)產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是n個(gè)固有振型為基的線性個(gè)固有振型為基的線性 組合，即組合，即 l 為組合系數(shù)，是時(shí)間為組合系數(shù)，是時(shí)間t的函數(shù)，也稱(chēng)為振形坐標(biāo)的函數(shù)，也稱(chēng)為振形坐標(biāo) (1)(2)( ) 000 12 ( ) ( )( )( ) n n tY Yy ty ty t ( )MYCYKYF t ( ) TTTT MYCYKYF t T 廣義質(zhì)量陣廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義阻尼陣廣義剛度陣廣義剛度陣 廣義激振力廣義激振力 l上式可記為上式可記為 l這里這里 l代入動(dòng)力學(xué)方程：代入動(dòng)力學(xué)方程： l左乘左乘 (

34、 )( )( )( )( )( ) 000000 ( ) 0 ( )( )( ) =( ) 1,2, TTT rrrrrr rrr T r My tCy tKy t F trn 12 ( ),( ),( ) n y ty ty t (1)(2)( ) 01020 ( )( )( )( ) n n ty ty ty t 據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對(duì)角矩陣，即表示方程各據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對(duì)角矩陣，即表示方程各 個(gè)變量之間是沒(méi)有耦合項(xiàng)的，從而動(dòng)力方程轉(zhuǎn)化為個(gè)變量之間是沒(méi)有耦合項(xiàng)的，從而動(dòng)力方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互個(gè)相互 獨(dú)立的單自由度振動(dòng)的動(dòng)力方程，獨(dú)立的單自由度振動(dòng)的動(dòng)力方程， 即：即：

35、 分別求解這分別求解這n個(gè)方程可求得個(gè)方程可求得 從而求得動(dòng)力方程的位移解從而求得動(dòng)力方程的位移解: 進(jìn)而可求得速度、加速度。進(jìn)而可求得速度、加速度。 采用瑞利阻尼， 即C=M+K 2 ( )2( )( )( ) rrrrrri y ty ty tt tt t ( )( )( )( ) (0) ttttt t t 22 11 22 11 36 tttttt ttt ttttt ttt ( ) ,( ) ,( )ttt ( )( )( )( ) ee e MtCtKtF t t l2、逐次積分法、逐次積分法 l基本思想：將時(shí)間基本思想：將時(shí)間t離散為離散為n個(gè)區(qū)間，并假設(shè)在一個(gè)個(gè)區(qū)間，并假設(shè)在一

36、個(gè) 時(shí)間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu) 的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對(duì)加速度積分，可得速度和位移，一的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對(duì)加速度積分，可得速度和位移，一 旦所有區(qū)間計(jì)算完畢，則求出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。旦所有區(qū)間計(jì)算完畢，則求出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。 l假設(shè)在假設(shè)在 至至t的很小時(shí)間間隔內(nèi)的很小時(shí)間間隔內(nèi) ，加速度線性變化：，加速度線性變化： l對(duì)對(duì) 積分，并引入初始條件待定積分常數(shù)積分，并引入初始條件待定積分常數(shù) l將將 代入代入t時(shí)刻的動(dòng)力方程時(shí)刻的動(dòng)力方程 l并整理后即可逐步求解各時(shí)刻的加速度，然后求出各時(shí)刻的速度和位移。并整理后即可逐步求解各時(shí)刻的加速度，然后求出各時(shí)刻的速度和位移。 3

37、.直接積分法直接積分法 一、中心差分法一、中心差分法 在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即 tttt t ttttt t aa t a aaa t a 2 1 2 1 2 （3.2） （3.1） 中心差分法的遞推公式中心差分法的遞推公式 tttttt aC t M t aM t KQaC t M t 2 112 2 11 222 （3.3） 上式是求解各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)解的遞推公式，這種數(shù)值積分方法又上式是求解各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)解的遞推公式，這種數(shù)值積分方法又 稱(chēng)為逐步積分法。稱(chēng)為逐步積分法。 直接積分法直接積分法 需要指出需要指出，此算法有一個(gè)

38、起步問(wèn)題，為此利用，此算法有一個(gè)起步問(wèn)題，為此利用(3.1)，(3.2)得到。得到。 將利用中心差分法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下：將利用中心差分法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下： 1.初始計(jì)算初始計(jì)算 形成剛度矩陣形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C。 給定給定 選擇時(shí)間步長(zhǎng)選擇時(shí)間步長(zhǎng)t， t tcr，并計(jì)算積分常數(shù)，并計(jì)算積分常數(shù) 計(jì)算計(jì)算 形成有效質(zhì)量矩陣形成有效質(zhì)量矩陣 三角分解三角分解 。和 000, aaa 0300 acataa t 23021 2 0 / 1,2, 2 1 , 1 cccc t c t c CcMcM 10 T LDLMM :

39、直接積分法直接積分法 2.對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)（對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)（t0， t ，2 t ） 計(jì)算時(shí)間計(jì)算時(shí)間t的有效載荷的有效載荷 求解時(shí)間求解時(shí)間t t的位移的位移 如果需要，計(jì)算時(shí)間如果需要，計(jì)算時(shí)間t的加速度和速度的加速度和速度 ttttt aCcMcaMcKQQ 102 ttt T QaLDL ttttt tttttt aaca aaaca 1 0 2 直接積分法直接積分法 關(guān)于中心差分法還需要著重指出一下幾點(diǎn)：關(guān)于中心差分法還需要著重指出一下幾點(diǎn)： 中心差分法是顯式算法。中心差分法是顯式算法。 中心差分法是條件穩(wěn)定算法。中心差分法是條件穩(wěn)定算法。 顯式算法用于求解由梁、板、殼等結(jié)構(gòu)單元組

40、成的系統(tǒng)的動(dòng)顯式算法用于求解由梁、板、殼等結(jié)構(gòu)單元組成的系統(tǒng)的動(dòng) 態(tài)響應(yīng)時(shí)如果對(duì)角化后的質(zhì)量矩陣態(tài)響應(yīng)時(shí)如果對(duì)角化后的質(zhì)量矩陣M中已略去了與轉(zhuǎn)動(dòng)自由中已略去了與轉(zhuǎn)動(dòng)自由 度相關(guān)的項(xiàng)，則度相關(guān)的項(xiàng)，則M的實(shí)際階數(shù)僅是對(duì)于位移自由度的階數(shù)。的實(shí)際階數(shù)僅是對(duì)于位移自由度的階數(shù)。 中心差分法比較適合于由沖擊、爆炸類(lèi)型載荷引起的波傳播中心差分法比較適合于由沖擊、爆炸類(lèi)型載荷引起的波傳播 問(wèn)題的求解。問(wèn)題的求解。 對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，一般說(shuō)，采用中心差分法就不太適合。對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，一般說(shuō)，采用中心差分法就不太適合。 直接積分法直接積分法 二、二、NewmarkNewmark方法方法 在在tt t的時(shí)

41、間區(qū)域內(nèi)，的時(shí)間區(qū)域內(nèi)， Newmark積分法采用下列的假設(shè)積分法采用下列的假設(shè) 2 2 1 1 taataaa taaaa tttt ttt tttttt （3.4） （3.5） 其中其中和和是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。另一方面，是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。另一方面， 和和取不同數(shù)值則代表了不同的數(shù)值積分方案。取不同數(shù)值則代表了不同的數(shù)值積分方案。 Newmark方法中的時(shí)間方法中的時(shí)間t t的位移解答的位移解答a t t是通過(guò)滿 是通過(guò)滿 足足 時(shí)間時(shí)間t t的運(yùn)動(dòng)方程的。的運(yùn)動(dòng)方程的。 直接積分法直接積分法 計(jì)算計(jì)算a t t的兩步遞推公式 的兩步遞推公式 ttt ttt

42、tttt ataa t C aa t a t MQaC t M t K 1 2 1 1 2 1111 22 （3.6） 將利用將利用Newmark法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下：法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下： 1.初始計(jì)算初始計(jì)算 形成剛度矩陣形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C。 給定給定 。和 000, aaa 直接積分法直接積分法 選擇時(shí)間步長(zhǎng)選擇時(shí)間步長(zhǎng)t 及參數(shù)及參數(shù)和和，并計(jì)算積分常數(shù)。，并計(jì)算積分常數(shù)。 這里要求：這里要求： 0.50， 0.25(0.5+)2 tctc t cc c t c t c t c 7654 321 2 0 ,1,2

43、2 , 1 1 2 1 , 1 , 1 形成有效剛度矩陣形成有效剛度矩陣 三角分解三角分解 CcMcKKK 10 : T LDLKK : 第第3節(jié)節(jié) 直接積分法直接積分法 2.對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)（對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)（t0， t ，2 t ） 計(jì)算時(shí)間計(jì)算時(shí)間t t的有效載荷的有效載荷 求解時(shí)間求解時(shí)間t t的位移的位移 如果需要，計(jì)算時(shí)間如果需要，計(jì)算時(shí)間t的加速度和速度的加速度和速度 tttttttttt acacacCacacacMQQ 541320 tttt T QaLDL tttttt tt ttt tt acacaa acacaaca 76 320 直接積分法直接積分法 關(guān)于關(guān)于Newm

44、ark法還需要著重指出一下幾點(diǎn)：法還需要著重指出一下幾點(diǎn)： Newmark法是隱式算法。法是隱式算法。 關(guān)于關(guān)于Newmark法的穩(wěn)定性。法的穩(wěn)定性。 以后將證明，當(dāng)以后將證明，當(dāng)0.50， 0.25(0.5+)2時(shí)，算法是無(wú)時(shí)，算法是無(wú) 條件穩(wěn)定的。條件穩(wěn)定的。 Newmark法適合于時(shí)程較長(zhǎng)的的系統(tǒng)瞬態(tài)響法適合于時(shí)程較長(zhǎng)的的系統(tǒng)瞬態(tài)響 應(yīng)分析。應(yīng)分析。 Newmark法的其它表達(dá)形式。法的其它表達(dá)形式。 a) Newmark法的另一種以法的另一種以 tta 為未知量的兩步遞推公式為未知量的兩步遞推公式 tt t tt tt tt atataK ataCQaKttCM 2 2 2 1 1 （

45、3.7） 直接積分法直接積分法 b) Newmark法的以法的以tt a 為未知量的三步遞推公式為未知量的三步遞推公式 tt ttt tt aKttCM aKttCMtQaKttCM 2 222 2 1 1 2 2 1 212 （3.7） 其中其中 ttttttt QQQQ 2 1 2 2 1 Newmark法的兩步遞推公式和三步遞推公式中，令法的兩步遞推公式和三步遞推公式中，令 0，1/2，就可以得到中心差分法的兩步和三步遞推公式。，就可以得到中心差分法的兩步和三步遞推公式。 這樣一來(lái)，這兩種時(shí)間積分公式就采用了統(tǒng)一的表達(dá)形式，便于這樣一來(lái)，這兩種時(shí)間積分公式就采用了統(tǒng)一的表達(dá)形式，便于 程

46、序編制，特別時(shí)便于應(yīng)用在隱式顯式混合時(shí)間積分方案種。程序編制，特別時(shí)便于應(yīng)用在隱式顯式混合時(shí)間積分方案種。 直接積分法直接積分法 例例2 考慮一個(gè)三自由度系統(tǒng)。它的運(yùn)動(dòng)方程是考慮一個(gè)三自由度系統(tǒng)。它的運(yùn)動(dòng)方程是 6 0 0 220 241 012 100 030 001 aa （1） 初始條件：當(dāng)初始條件：當(dāng)t0時(shí)，時(shí)，. 0, 0 00 aa 已知此系統(tǒng)的固有頻率是：已知此系統(tǒng)的固有頻率是：. 3, 2, 3 1 321 相應(yīng)的振動(dòng)周期是：相應(yīng)的振動(dòng)周期是：T11089，T24.444，T33.628。 直接積分法直接積分法 （1）用中心差分法求解系統(tǒng)響應(yīng)）用中心差分法求解系統(tǒng)響應(yīng) 時(shí)間步長(zhǎng)

47、分別取時(shí)間步長(zhǎng)分別取tT3/100.363和和t5T318.14進(jìn)行計(jì)算。進(jìn)行計(jì)算。 對(duì)于對(duì)于t0，可以計(jì)算得到，可以計(jì)算得到;6000 T a 然后按中心差分法所列步然后按中心差分法所列步 驟進(jìn)行計(jì)算。驟進(jìn)行計(jì)算。 a) tT3/100.363時(shí)時(shí) c07.589， c11.377， c215.178， c36.588e 2 59. 700 077.220 0059. 7 000 000 000 38. 1 100 030 001 59. 7 3953. 0 0 0 6 0 0 0659. 0 0 0 0 363. 0 0 0 0 M a t 直接積分法直接積分法 對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)，先計(jì)算有

48、效載荷對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)，先計(jì)算有效載荷 tttt aaQ 59. 700 077.220 0059. 7 38. 120 253.411 0138. 1 6 0 0 （2） 在從下列方程計(jì)算在從下列方程計(jì)算t t時(shí)間的位移時(shí)間的位移a t t ttt Qa 59. 700 077.220 0059. 7 （3） 第第3節(jié)節(jié) 直接積分法直接積分法 由上式得到的每一時(shí)間步長(zhǎng)的位移結(jié)果如下：由上式得到的每一時(shí)間步長(zhǎng)的位移結(jié)果如下： 該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。 直接積分法直接積分法 b) t5T318.14時(shí)，按相同的步驟計(jì)算，所得結(jié)果如下時(shí)，按相同的

49、步驟計(jì)算，所得結(jié)果如下: 8 8 7 3 5 5 2 2 1066. 5 1036. 2 1013. 7 1046. 6 1007. 2 0 1087. 9 0 0 ttt aaa 在計(jì)算下去，位移將繼續(xù)無(wú)限增大，這是不步穩(wěn)定的典型表現(xiàn)。在計(jì)算下去，位移將繼續(xù)無(wú)限增大，這是不步穩(wěn)定的典型表現(xiàn)。 直接積分法直接積分法 （2）用）用Newmark法求解系統(tǒng)的響應(yīng)法求解系統(tǒng)的響應(yīng) 時(shí)間步長(zhǎng)分別取時(shí)間步長(zhǎng)分別取tT3/100.363和和t5T318.14進(jìn)行計(jì)算。進(jìn)行計(jì)算。 對(duì)于對(duì)于t0，可以計(jì)算得到，可以計(jì)算得到;6000 T a 然后按然后按Newmark法所列步法所列步 驟進(jìn)行計(jì)算。驟進(jìn)行計(jì)算。

50、 給定給定0.25及及0.5。 a) tT3/100.363時(shí)時(shí) c030.356， c15.510， c211.019， c31.0 c41.0， c50.0， c60.1815， c70.1815 36.3220 207.951 0136.32 100 030 001 36.30 220 241 012 K 第第3節(jié)節(jié) 直接積分法直接積分法 對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算有效載荷對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算有效載荷 tt ttt aaaQ0 . 102.1136.30 100 030 001 6 0 0 然后求解時(shí)間然后求解時(shí)間t t的位移的位移a t t tttt QaK 并計(jì)算時(shí)間并計(jì)算時(shí)間t t的加速

51、度和速度的加速度和速度 tttttt tt ttt tt aaaa aaaaa 18. 018. 0 0 . 102.1136.30 直接積分法直接積分法 得到的每一時(shí)間步長(zhǎng)的位移結(jié)果如下：得到的每一時(shí)間步長(zhǎng)的位移結(jié)果如下： 該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。 b) t5T318.14時(shí)，按相同的步驟計(jì)算，所得結(jié)果如下時(shí)，按相同的步驟計(jì)算，所得結(jié)果如下: 振型疊加法振型疊加法 振型疊加法在積分運(yùn)動(dòng)方程以前，利用系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有振型振型疊加法在積分運(yùn)動(dòng)方程以前，利用系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有振型 將方程轉(zhuǎn)化為將方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互不耦合的方程，對(duì)這種方程可以解析

52、或數(shù)個(gè)相互不耦合的方程，對(duì)這種方程可以解析或數(shù) 值地進(jìn)行積分。當(dāng)采用數(shù)值方法時(shí)，對(duì)于每個(gè)方程可以采取各自值地進(jìn)行積分。當(dāng)采用數(shù)值方法時(shí)，對(duì)于每個(gè)方程可以采取各自 不同的時(shí)間步長(zhǎng)，即對(duì)于低階振型可采用較大的時(shí)間步長(zhǎng)。不同的時(shí)間步長(zhǎng)，即對(duì)于低階振型可采用較大的時(shí)間步長(zhǎng)。 這兩者結(jié)合起來(lái)相當(dāng)于直接積分法時(shí)很大的優(yōu)點(diǎn)，因此當(dāng)實(shí)際分這兩者結(jié)合起來(lái)相當(dāng)于直接積分法時(shí)很大的優(yōu)點(diǎn)，因此當(dāng)實(shí)際分 析的時(shí)間歷程較長(zhǎng)，同時(shí)只需要少數(shù)較低階振型的結(jié)果時(shí)，采用析的時(shí)間歷程較長(zhǎng)，同時(shí)只需要少數(shù)較低階振型的結(jié)果時(shí)，采用 振型疊加法將時(shí)十分有利的。振型疊加法將時(shí)十分有利的。 振型疊加法振型疊加法 一、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有

53、振型一、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型 此計(jì)算步驟是求解不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動(dòng)方程，即此計(jì)算步驟是求解不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動(dòng)方程，即 0 tKataM 它的解可以假設(shè)為以下形式它的解可以假設(shè)為以下形式 0 sintta （4.1） 其中，其中，是是n階向量，階向量，是向量是向量的振動(dòng)頻率，的振動(dòng)頻率，t是時(shí)間變量，是時(shí)間變量，t0 是由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。是由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。 振型疊加法振型疊加法 解方程確定解方程確定和和。特征向量。特征向量1， 2， n代表系統(tǒng)的代表系統(tǒng)的n個(gè)個(gè) 固有振型。它們的幅度可按以下要求規(guī)定固有振型。它們的幅度可按以下要求規(guī)定 niM i T

54、i ,.2 , 11 這樣規(guī)定的固有振型又稱(chēng)為正則振型，今后所用的固有振型，只這樣規(guī)定的固有振型又稱(chēng)為正則振型，今后所用的固有振型，只 指這種正則振型。固有振型對(duì)于矩陣指這種正則振型。固有振型對(duì)于矩陣M是正交的。是正交的。 在有限元分析中，特別是動(dòng)力分析中，方程的階數(shù)很高而求解在有限元分析中，特別是動(dòng)力分析中，方程的階數(shù)很高而求解 的特征解又相對(duì)較少的特征值問(wèn)題，稱(chēng)為大型特征值問(wèn)題。的特征解又相對(duì)較少的特征值問(wèn)題，稱(chēng)為大型特征值問(wèn)題。 （4.2） 振型疊加法振型疊加法 二、求解系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)二、求解系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng) 1.位移基向量的變換位移基向量的變換 引入變換引入變換 n i iix txta 1

55、 )( （4.3） 此變化的意義是此變化的意義是a(t)看成是看成是i(i=1,2,n)的線性組合，的線性組合，i可以看可以看 成是廣義的位移基向量，成是廣義的位移基向量，xi是廣義的位移值。從數(shù)學(xué)上看，是將是廣義的位移值。從數(shù)學(xué)上看，是將 位移向量位移向量a(t)從以有限元系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)位移為基向量的從以有限元系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)位移為基向量的n維空間轉(zhuǎn)換維空間轉(zhuǎn)換 到以到以i為基向量的為基向量的n維空間。維空間。 通常在實(shí)際分析中，需要求解的但自由度方程數(shù)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的自通常在實(shí)際分析中，需要求解的但自由度方程數(shù)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的自 由度數(shù)由度數(shù)n 振型疊加法振型疊加法 2.求解單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程求解單自由度

56、系統(tǒng)振動(dòng)方程 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的求解，通常采用單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的求解，通常采用杜哈美積分，杜哈美積分，又稱(chēng)為又稱(chēng)為 疊疊 加積分。這個(gè)方法的基本思想是將任意激振力加積分。這個(gè)方法的基本思想是將任意激振力ri(t)分解為一系列分解為一系列 微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對(duì)每個(gè)微沖量的響應(yīng)，然后微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對(duì)每個(gè)微沖量的響應(yīng)，然后 根根 據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將它們疊加起來(lái)。得到系統(tǒng)對(duì)任意激據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將它們疊加起來(lái)。得到系統(tǒng)對(duì)任意激 振振 的響應(yīng)。的響應(yīng)。 杜哈美積分的結(jié)果是杜哈美積分的結(jié)果是 tbtae dtertx i i i i t t i t i i

57、i i i i i cossin sin 1 0 其中其中,1 2 ii i ai，bi是由起始條件決定的常數(shù)。是由起始條件決定的常數(shù)。 （4.4） 振型疊加法振型疊加法 3.振型疊加得到系統(tǒng)的響應(yīng)振型疊加得到系統(tǒng)的響應(yīng) 在得到每個(gè)振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來(lái)就是系統(tǒng)響應(yīng)。在得到每個(gè)振型的響應(yīng)后，將它們疊加起來(lái)就是系統(tǒng)響應(yīng)。 對(duì)振型疊加法的一些性質(zhì)和特點(diǎn)：對(duì)振型疊加法的一些性質(zhì)和特點(diǎn)： 振型疊加法中，將系統(tǒng)的位移轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的空振型疊加法中，將系統(tǒng)的位移轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的空 間這對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)并無(wú)影響，而是以求解廣義特征值為代價(jià)，間這對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)并無(wú)影響，而是以求解廣義特征值

58、為代價(jià)， 得到得到n個(gè)單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。個(gè)單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。 振型疊加法中對(duì)于振型疊加法中對(duì)于n個(gè)單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的積分，比聯(lián)立個(gè)單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的積分，比聯(lián)立 方程組的直接積分節(jié)省計(jì)算時(shí)間。方程組的直接積分節(jié)省計(jì)算時(shí)間。 對(duì)于非線性系統(tǒng)通常必須采用直接積分法。對(duì)于非線性系統(tǒng)通常必須采用直接積分法。 振型疊加法振型疊加法 例例3 仍以例仍以例2中三自由度系統(tǒng)為例，現(xiàn)在用振型疊加法求解。中三自由度系統(tǒng)為例，現(xiàn)在用振型疊加法求解。 此時(shí)應(yīng)求解的廣義特征值問(wèn)題是此時(shí)應(yīng)求解的廣義特征值問(wèn)題是 100 030 001 220 241 012 2 （1） 按照一般的線性代數(shù)方法可以得到（按照一般的線性代數(shù)方法可以得到（1）式的解答為）式的解答為 T T T 2113 1022 2 3 5 1 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 （2） 振型疊加法振型疊加法 利用（利用（2）式，可以將原文體轉(zhuǎn)換為以）式，可以將原文體轉(zhuǎn)換為以1，2和和3為基向量的為基向量的 3個(gè)互不耦合的運(yùn)動(dòng)方程，即：個(gè)互不耦合的運(yùn)動(dòng)方程，即： 2/33 5/62 10/9 3 1 3 3 2 2 1 1 txtx txtx txtx （3） 原系統(tǒng)的初始條件是原系統(tǒng)的初始條件是, 00 0 0 aa和經(jīng)轉(zhuǎn)換后為經(jīng)轉(zhuǎn)換后為 3 , 2 , 100 00 ixx t