第2章 單因素優(yōu)選法

1、1 b掌握單因素試驗設計的常用方法掌握單因素試驗設計的常用方法 單因素優(yōu)選法單因素優(yōu)選法 -本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 2 優(yōu)選法概念優(yōu)選法概念 b優(yōu)選法優(yōu)選法就是根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學就是根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學 原理，合理地安排試驗點，減少試驗次數(shù)，以求迅速原理，合理地安排試驗點，減少試驗次數(shù)，以求迅速 地找到最佳點的一類科學方法。地找到最佳點的一類科學方法。 b優(yōu)選法可以解決那些試驗指標與因素間不能用數(shù)學形優(yōu)選法可以解決那些試驗指標與因素間不能用數(shù)學形 式表達，或雖有表達式但很復雜的那些問題。式表達，或雖有表達式但很復雜的那些問題。 b假定假定f(xf(x) )是

2、定義在區(qū)間是定義在區(qū)間aa，bb上的函數(shù)，但上的函數(shù)，但f(xf(x) )的表的表 達式是并不知道的，只有從試驗中才能得出在某一點達式是并不知道的，只有從試驗中才能得出在某一點 x x0 0的數(shù)值的數(shù)值f(xf(x0 0) )。應用單因素優(yōu)選法，就是用盡量少的。應用單因素優(yōu)選法，就是用盡量少的 試驗次數(shù)來確定試驗次數(shù)來確定f(xf(x) )的最佳點。的最佳點。 3 2.1 2.1 均分法均分法 b它是在試驗范圍它是在試驗范圍a, ba, b內(nèi)，根據(jù)精度要求和實際情況，內(nèi)，根據(jù)精度要求和實際情況， 均勻地排開試驗點，在每一個試驗點上進行試驗，并均勻地排開試驗點，在每一個試驗點上進行試驗，并 相互

3、比較，以求得最優(yōu)點的方法。相互比較，以求得最優(yōu)點的方法。 b作法：作法：如試驗范圍如試驗范圍L Lb ba a，試驗點間隔為，試驗點間隔為N N，則試驗，則試驗 點點n n為為( (包含兩個端點包含兩個端點) )： 1 N ab 1 N L n 4 2.1 2.1 均分法均分法 例例2-1 對采用新鋼種的某零件進行磨削加工，砂輪轉速范對采用新鋼種的某零件進行磨削加工，砂輪轉速范 圍為圍為420轉轉/分分720轉轉/分，擬經(jīng)過試驗找出能使光潔度最佳分，擬經(jīng)過試驗找出能使光潔度最佳 的砂輪轉速值。的砂輪轉速值。 N = 30 轉轉/分分 n = + 1 = +1 = 11 b - a N 720

4、- 420 30 試驗轉速： 420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720 5 2.1 2.1 均分法均分法 b使用范圍：使用范圍： b這種方法的特點是對所試驗的范圍進行這種方法的特點是對所試驗的范圍進行“普查普查”，常常 常應用于對目標函數(shù)的性質(zhì)沒有掌握或很少掌握的情常應用于對目標函數(shù)的性質(zhì)沒有掌握或很少掌握的情 況。況。即假設目標函數(shù)是任意的情況，其試驗精度取決即假設目標函數(shù)是任意的情況，其試驗精度取決 于試驗點數(shù)目的多少。于試驗點數(shù)目的多少。 6 2.2 2.2 平分法平分法( (對分法對分法) ) b平分法：適用于試驗范圍平分法：適用于試驗范圍

5、( (a,ba,b) )內(nèi)，目標函數(shù)為單調(diào)內(nèi)，目標函數(shù)為單調(diào) （連續(xù)或間斷）的情況下，求最優(yōu)點的方法。（連續(xù)或間斷）的情況下，求最優(yōu)點的方法。 a b 圖2-1 連續(xù)單調(diào) f(x) a b f(x) 圖2-2 間斷單調(diào) 7 2.2 2.2 平分法平分法( (對分法對分法) ) 每次選取因素所在試驗范圍（a, b）的中點處C做試驗。 計算公式： C = （ a + b ) 2 d = （ c + b ) 2 abc d 每試驗一次，試驗范圍縮 小一半，重復做下去，直 到找出滿意的試驗點為止。 根據(jù)試驗結果，如下次試驗 在高處（取值大些），就把 此試驗點（中點）以下的一 半范圍劃去；如下次試驗在

6、低處（取值小些），就把此 試驗點（中點）以上的一半 范圍劃去。 8 2.2 2.2 平分法平分法( (對分法對分法) ) b例例2-2 2-2 乳化油加堿量的優(yōu)選。乳化油加堿量的優(yōu)選。 高級紗上漿要加些乳化油脂，以增加柔軟高級紗上漿要加些乳化油脂，以增加柔軟 性，而油脂乳化需加堿加熱。某紡織廠以前性，而油脂乳化需加堿加熱。某紡織廠以前 乳化油脂加燒堿乳化油脂加燒堿1 1，需加熱處理，需加熱處理4 4小時，但小時，但 知道多加堿可以縮短乳化時間，堿過多又會知道多加堿可以縮短乳化時間，堿過多又會 皂化，所以加堿量優(yōu)選范圍為皂化，所以加堿量優(yōu)選范圍為1 1 4.44.4。 解：過程見書解：過程見書P

7、37P37。 9 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法) ) b本方法是在試驗范圍本方法是在試驗范圍a, ba, b內(nèi)，首先安排內(nèi)，首先安排 兩個試驗點，再根據(jù)兩點試驗結果，留下好兩個試驗點，再根據(jù)兩點試驗結果，留下好 點，去掉不好點所在的一段范圍，再在余下點，去掉不好點所在的一段范圍，再在余下 的范圍內(nèi)尋找好點，去掉不好的點，如此繼的范圍內(nèi)尋找好點，去掉不好的點，如此繼 續(xù)地作下去，直到找到最優(yōu)點為止。續(xù)地作下去，直到找到最優(yōu)點為止。 10 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法) ) b0.6180.618法要求試驗結果目標函數(shù)法要求試

8、驗結果目標函數(shù)f(xf(x) )是是單峰函單峰函 數(shù)數(shù)，即在試驗范圍內(nèi)只有一個最優(yōu)點，即在試驗范圍內(nèi)只有一個最優(yōu)點 d d，其，其 效果效果f(df(d) )最好，比最好，比 d d 大或小的點都差，且距大或小的點都差，且距 最優(yōu)點最優(yōu)點 d d 越遠的試驗效果越差。越遠的試驗效果越差。 11 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-由來由來 b1 1 設設x x1 1 和和x x2 2 是因素范圍是因素范圍a,ba,b內(nèi)的任意兩個試點，內(nèi)的任意兩個試點， C C點為問題的最優(yōu)點，并把兩個試點中效果較好的點點為問題的最優(yōu)點，并把兩個試點中效果較好的點 稱為稱為好

9、點好點，把效果較差的點稱為，把效果較差的點稱為差點差點。則：。則：最優(yōu)點與最優(yōu)點與 好點必在差點同側好點必在差點同側，因而我們把因素范圍被差點所分，因而我們把因素范圍被差點所分 成的兩部分中好點所在的那部分稱為成的兩部分中好點所在的那部分稱為存優(yōu)范圍存優(yōu)范圍。即可。即可 以去掉不包含好點的一段，只留下存優(yōu)范圍。以去掉不包含好點的一段，只留下存優(yōu)范圍。 b如何安排兩個試驗點？如何安排兩個試驗點？ 合理地縮小存優(yōu)范圍合理地縮小存優(yōu)范圍 12 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-由來由來 b2 2 安排兩個試點時應該使兩個試點關于因素范圍的安排兩個試點時應該使兩個

10、試點關于因素范圍的 中點對稱中點對稱-對稱原則對稱原則。 則無論哪點差，劃去的長度都一樣。則無論哪點差，劃去的長度都一樣。 b3 3 最好每次舍去的區(qū)間都能占舍去前全區(qū)間同樣的最好每次舍去的區(qū)間都能占舍去前全區(qū)間同樣的 比例數(shù)（比例數(shù)（“成比例地舍去成比例地舍去”原則原則）。）。 13 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-由來由來 b兩個試驗點位置的確定：兩個試驗點位置的確定： b設第一次舍去的長度為設第一次舍去的長度為 x x ，則：，則： )( 21 度去掉第一段后剩余的長即第二次總長度 即第二次舍去的長度 即第一次總長度 即第一次舍去的長度 x)ab(

11、 xx)xa ()xb( ax xx ab x 1 21 14 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-由來由來 )(x)ab( xx)xa ()xb( ab x 21 度去掉第一段后剩余的長即第二次總長度 即第二次舍去的長度 即第一次總長度 即第一次舍去的長度 它的左邊是第一次舍去的比例數(shù)，右邊是第二次舍它的左邊是第一次舍去的比例數(shù)，右邊是第二次舍 去的比例數(shù)。對這個等式進行變形可得去的比例數(shù)。對這個等式進行變形可得 0)()(3 22 abxabx 整理可得整理可得 x x0.382(b0.382(ba) a) 0.6180.618或或(1(10.618)0

12、.618)0.3820.382這正是黃金分割常數(shù)。這正是黃金分割常數(shù)。 15 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b第一個試驗點第一個試驗點x x1 1設在范圍（設在范圍（a a，b b）的）的0.6180.618位置上，第位置上，第 二個試驗點二個試驗點x x2 2取成取成x x1 1的對稱點，則：的對稱點，則： bx x1 1( (大小大小) )0.6180.618小小(b(ba)a)0.6180.618a a bx x2 2( (大小大小) )第一點第一點( (即前一點即前一點) )(b(ba)a)x x1 1 b第三個試驗點的安排有三種情形

13、：第三個試驗點的安排有三種情形： 16 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b(1)(1) x x1 1是好點是好點 ，則劃去（，則劃去（a,xa,x2 2），保留（），保留（x x2 2,b,b）。）。 x x1 1的對稱點的對稱點x x3 3，在，在x x3 3安排第三次試驗。安排第三次試驗。 x x3 3大小前一點大小前一點 b bx x2 2x x1 1 17 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b(2)(2) x x2 2是好點是好點 ，則劃去（，則劃去（x x1 1,b,b），保留（），保留

14、（a,xa,x1 1）。）。 第三個試驗點第三個試驗點x x3 3應是好點應是好點x x2 2的對稱點。的對稱點。 x x3 3大小前一點大小前一點 x x1 1a ax x2 2 18 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b(3)(3) 如果如果f(xf(x1 1) )和和f(xf(x2 2) )一樣，則應該具體分析，看一樣，則應該具體分析，看 最優(yōu)點可能在哪邊，再決定取舍。一般情況下，可以最優(yōu)點可能在哪邊，再決定取舍。一般情況下，可以 同時劃掉（同時劃掉（a,xa,x2 2）和（）和（x x1 1,b,b），僅留中點的），僅留中點的(x(x2

15、2,x,x1 1) )， 把把x x2 2看成新看成新a a，x x1 1看成新看成新b b，然后在范圍（，然后在范圍（x x2 2,x,x1 1）內(nèi)）內(nèi) 0.3820.382、0.6180.618處重新安排兩次試驗試驗。處重新安排兩次試驗試驗。 19 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b無論何種情況，在新的范圍內(nèi)，又有兩次試驗可以比無論何種情況，在新的范圍內(nèi)，又有兩次試驗可以比 較。根據(jù)試驗結果，再去掉一段或兩段試驗范圍，在較。根據(jù)試驗結果，再去掉一段或兩段試驗范圍，在 留下的范圍中再找好點的對稱點，安排新的試驗。留下的范圍中再找好點的對稱點，

16、安排新的試驗。 b這個過程重復進行下去，直到找出滿意的點，得出比這個過程重復進行下去，直到找出滿意的點，得出比 較好的試驗結果；較好的試驗結果； b或者留下的試驗范圍已很小，再做下去，試驗差別不或者留下的試驗范圍已很小，再做下去，試驗差別不 大時也可終止試驗。大時也可終止試驗。 20 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-例例 b例例2-3 2-3 煉某種合金鋼，需添加某種化學元素以增煉某種合金鋼，需添加某種化學元素以增 加強度，加入范圍是加強度，加入范圍是1000100020002000克，求最佳加入量。克，求最佳加入量。 b第一步第一步 先在試驗范圍長度的

17、先在試驗范圍長度的0.6180.618處做第（處做第（1 1）個試）個試 驗驗 x x1 1 ( (大小大小) )0.6180.618小小 a a(b(ba)a)0.6180.618 10001000(2000(20001000)1000)0.6180.61816181618克克 b第二步第二步 第（第（2 2）個試驗點由公式（）個試驗點由公式（2-42-4）計算）計算 x x2 2大小第一點大小第一點20002000100010001618161813821382克克 21 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-例例 x x1 116181618克克x x2

18、 213821382克克 b第三步第三步 比較（比較（1 1）與（）與（2 2）兩點上所做試驗的效果，）兩點上所做試驗的效果， 現(xiàn)在假設第（現(xiàn)在假設第（1 1）點比較好，就去掉第（）點比較好，就去掉第（2 2）點，即去）點，即去 掉掉1000,13821000,1382那一段范圍。留下那一段范圍。留下1382,20001382,2000，則：，則： x x3 3大小第一點大小第一點13821382200020001618161817641764克克 b第四步第四步 比較在上次留下的好點，即第（比較在上次留下的好點，即第（1 1）處和第）處和第 （3 3）處的試驗結果，看那個點好，然后就去掉效果

19、）處的試驗結果，看那個點好，然后就去掉效果 差的那個試驗點以外的那部分范圍，留下包含好點在差的那個試驗點以外的那部分范圍，留下包含好點在 內(nèi)的那部分范圍作為新的試驗范圍，內(nèi)的那部分范圍作為新的試驗范圍，如此反復，如此反復， 直到得到較好的試驗結果為止。直到得到較好的試驗結果為止。 22 2.3 2.3 黃金分割法黃金分割法(0.618(0.618法法)-)-例例 b可以看出每次留下的試驗范圍是上一次長度的可以看出每次留下的試驗范圍是上一次長度的0.6180.618倍，倍， 隨著試驗范圍越來越小，試驗越趨于最優(yōu)點，直到達隨著試驗范圍越來越小，試驗越趨于最優(yōu)點，直到達 到所需精度即可。到所需精度即

20、可。 23 2.4 2.4 分數(shù)法分數(shù)法 b適用范圍適用范圍： b試驗要求預先給出試驗總數(shù)試驗要求預先給出試驗總數(shù)( (或者知道試驗范圍和精或者知道試驗范圍和精 確度，這時試驗總數(shù)就可以算出來確度，這時試驗總數(shù)就可以算出來) )。在這種情況下，。在這種情況下， 用分數(shù)法比用分數(shù)法比0.6180.618法方便，且同樣適合單峰函數(shù)的方法方便，且同樣適合單峰函數(shù)的方 法。法。 b裴波那契數(shù)列裴波那契數(shù)列： b1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, b用用F F0 0、F F1 1、F F2 2、依次表示上述數(shù)串，它

21、們滿足遞推依次表示上述數(shù)串，它們滿足遞推 關系：關系： F Fn nF Fn-1 n-1 F Fn-2 n-2 (n2) (n2) 24 2.4.1 2.4.1 分數(shù)法分數(shù)法 b1 1 所有可能的試驗總數(shù)正好是某個所有可能的試驗總數(shù)正好是某個F Fn n-1-1： b第一步第一步： 前兩個試驗點放在試驗范圍的前兩個試驗點放在試驗范圍的F Fn-1 n-1、 、F Fn-2 n-2的位置上， 的位置上， 也就是先在第也就是先在第F Fn-1 n-1、 、F Fn-2 n-2點上做試驗。 點上做試驗。 比較這兩個試驗的結果，如果第比較這兩個試驗的結果，如果第F Fn-1 n-1點好，劃去第 點好，

22、劃去第 F Fn-2 n-2點以下的試驗范圍； 點以下的試驗范圍； 如果第如果第F Fn-2 n-2點好，劃去 點好，劃去F Fn-1 n-1點以上的試驗范圍。 點以上的試驗范圍。 25 2.4.1 2.4.1 分數(shù)法分數(shù)法 b1 1 所有可能的試驗總數(shù)正好是某個所有可能的試驗總數(shù)正好是某個F Fn n-1-1： b第二步第二步： 在留下的試驗范圍中，還剩下在留下的試驗范圍中，還剩下F Fn-1 n-1 1 1個試驗點，個試驗點， 重新編號，其中第重新編號，其中第F Fn-2 n-2和 和F Fn-3 n-3個分點，有一個是剛好留 個分點，有一個是剛好留 下的好點，另一個是下一步要做的新試驗點

23、，兩點比下的好點，另一個是下一步要做的新試驗點，兩點比 較后同前面的做法一樣，從壞點把試驗范圍切開，短較后同前面的做法一樣，從壞點把試驗范圍切開，短 的一段不要，留下包含好點的長的一段，這時新的試的一段不要，留下包含好點的長的一段，這時新的試 驗范圍就只有驗范圍就只有F Fn-2 n-2 1 1試驗點。試驗點。 b以后以后：以后的試驗，照上面的步驟重復進行，直到試：以后的試驗，照上面的步驟重復進行，直到試 驗范圍內(nèi)沒有應該做的好點為止。驗范圍內(nèi)沒有應該做的好點為止。 26 2.4 .1 2.4 .1 分數(shù)法分數(shù)法-例例2-42-4 b例例2-4 2-4 卡那霉素生物測定培養(yǎng)溫度試驗?？敲顾厣?/p>

24、物測定培養(yǎng)溫度試驗。 b卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為 373711，培養(yǎng)時間在，培養(yǎng)時間在16h16h以上。某制藥廠為縮短時間，以上。某制藥廠為縮短時間， 決定進行試驗，試驗范圍為決定進行試驗，試驗范圍為29295050，精確度要求，精確度要求 11，中間試驗點共有，中間試驗點共有2020個，用分數(shù)法安排試驗。個，用分數(shù)法安排試驗。 b解：由題意可知，試驗總次數(shù)為解：由題意可知，試驗總次數(shù)為2020次，次， 正好等于正好等于F F7 71 1。試驗過程如書。試驗過程如書P43P43圖圖2-82-8所示所示 27 卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外

25、都規(guī)定培養(yǎng)溫度為卡那霉素發(fā)酵液測定，國內(nèi)外都規(guī)定培養(yǎng)溫度為373711，培養(yǎng)時間在，培養(yǎng)時間在 16h16h以上。某制藥廠為縮短時間，決定進行試驗，試驗范圍為以上。某制藥廠為縮短時間，決定進行試驗，試驗范圍為2929 5050， 精確度要求精確度要求11，中間試驗點共有，中間試驗點共有2020個，用分數(shù)法安排試驗。個，用分數(shù)法安排試驗。 28 2.4 .1 2.4 .1 分數(shù)法分數(shù)法-例例2-42-4 b(1) (1) 第個試驗點選在第個試驗點選在1313個分點個分點4242；第個試驗點在第；第個試驗點在第8 8個個 分點分點3737。發(fā)現(xiàn)點好，劃去。發(fā)現(xiàn)點好，劃去8 8分點以下的，再重新編號

26、；分點以下的，再重新編號； b(2) (2) 和比較，好，劃去和比較，好，劃去8 8分點以上的，再重新編號；分點以上的，再重新編號； b(3) (3) 和比較，好，劃去和比較，好，劃去3 3分點以下的，再重新編號；分點以下的，再重新編號； b(4) (4) 和比較，好，劃去和比較，好，劃去2 2分點以下的，再重新編號；分點以下的，再重新編號； b(5) (5) 和比較，好，試驗結束，定下和比較，好，試驗結束，定下434311，只需，只需 8 810h10h。 b說明：說明：F F7 72121，因而最多只需做，因而最多只需做7 71 16 6次試驗。次試驗。 29 2.4.2 2.4.2 分數(shù)

27、法分數(shù)法 b2 2 所有可能的試驗總數(shù)大于某個所有可能的試驗總數(shù)大于某個F Fn n-1-1而小于而小于F Fn+1 n+1-1 -1： b只在要試驗范圍之外虛設幾個試驗點，湊成只在要試驗范圍之外虛設幾個試驗點，湊成F Fn+1 n+1 1 1個個 試驗，就化成試驗，就化成2.4.12.4.1節(jié)的情形。節(jié)的情形。 b對于虛設點，并不真正做試驗，直接判斷其結果比其對于虛設點，并不真正做試驗，直接判斷其結果比其 他點都壞，試驗往下進行，很明顯，這種虛設點，并他點都壞，試驗往下進行，很明顯，這種虛設點，并 不增加實際試驗次數(shù)。不增加實際試驗次數(shù)。 30 2.4.2 2.4.2 分數(shù)法分數(shù)法-例例2-

28、52-5 b例例2-5 2-5 假設某混凝沉淀試驗，所用的混凝劑為某陽離假設某混凝沉淀試驗，所用的混凝劑為某陽離 子型聚合物與硫酸鋁，硫酸鋁的投入量恒定為子型聚合物與硫酸鋁，硫酸鋁的投入量恒定為10mg/L10mg/L， 而某陽離子聚合物的可能投加量分別為而某陽離子聚合物的可能投加量分別為0.100.10、0.150.15、 0.200.20、0.250.25、0.30mg/L0.30mg/L，試利用分數(shù)法來安排試驗，試利用分數(shù)法來安排試驗， 確定最佳陽離子型聚合物的投加量。確定最佳陽離子型聚合物的投加量。 31 2.4.2 2.4.2 分數(shù)法分數(shù)法-例例2-52-5 b解：根據(jù)題意可知，可能

29、的試驗總次數(shù)為解：根據(jù)題意可知，可能的試驗總次數(shù)為5 5次。由裴次。由裴 波那契數(shù)列可知，波那契數(shù)列可知， F F5 51 18 81 17 7 F F4 41 15 51 14 4 b故故F F4 41 14 4 5 5 F F5 51 17 7 b(1)(1)首先需要增加兩個虛設點，使其可能的試驗總次首先需要增加兩個虛設點，使其可能的試驗總次 數(shù)為數(shù)為7 7次，虛設點可以安排在試驗范圍的一端或兩端。次，虛設點可以安排在試驗范圍的一端或兩端。 假設安排在兩端，即一端一個虛設點，如圖假設安排在兩端，即一端一個虛設點，如圖2-92-9所示。所示。 32 2.4.2 2.4.2 分數(shù)法分數(shù)法-例例

30、2-52-5 33 b(2)(2)第個試驗點選在第第個試驗點選在第5 5個分點個分點0.25mg/L0.25mg/L；第個試；第個試 驗點在第驗點在第3 3個分點個分點0.15mg/L0.15mg/L。假設點好，劃去。假設點好，劃去3 3分點分點 以下的，再重新編號；以下的，再重新編號； b(3)(3)和比較，假設好，劃去和比較，假設好，劃去2 2分點以下的，再重分點以下的，再重 新編號；新編號； b(4)(4)此時第個試驗點為虛設點，直接認定它的效果此時第個試驗點為虛設點，直接認定它的效果 比差，即好。試驗結束，定下該陽離子型聚合物比差，即好。試驗結束，定下該陽離子型聚合物 的最佳投加量為的

31、最佳投加量為0.30mg/L0.30mg/L。 34 2.4 2.4 分數(shù)法分數(shù)法-例例 b分數(shù)法與分數(shù)法與0.6180.618法的區(qū)別只是用法的區(qū)別只是用F Fn-1 n-1和 和F Fn-2 n-2代替 代替0.6180.618和和 0.3820.382來確定試驗點，以后的步驟相同。來確定試驗點，以后的步驟相同。 b一旦用一旦用F Fn-1 n-1確定了第一個試驗點，則以后根據(jù)公式 確定了第一個試驗點，則以后根據(jù)公式(2-(2- 4)4)確定其余的試驗點，也會得出完全一樣的試驗序列確定其余的試驗點，也會得出完全一樣的試驗序列 來。來。 下一點下一點( (大小大小) )第一點第一點( (前一

32、點前一點) ) 35 習題習題1 1 b1. 1. 已知某合成試驗的反應溫度范圍為已知某合成試驗的反應溫度范圍為340-420340-420， 通過單因素優(yōu)選法得到：溫度為通過單因素優(yōu)選法得到：溫度為400400時，產(chǎn)品的合時，產(chǎn)品的合 成率最高。如果使用的是成率最高。如果使用的是0.6180.618法，問優(yōu)選過程是如法，問優(yōu)選過程是如 何進行的，共需做多少次試驗。假設在試驗范圍的合何進行的，共需做多少次試驗。假設在試驗范圍的合 成率是溫度的單峰函數(shù)。成率是溫度的單峰函數(shù)。 36 習題習題1 1解答解答 b反應溫度范圍為反應溫度范圍為340-420340-420，通過單因素優(yōu)選法得，通過單因素

33、優(yōu)選法得 到：溫度為到：溫度為400400時，產(chǎn)品的合成率最高。時，產(chǎn)品的合成率最高。 x x1 1 ( (大小大小) )0.6180.618小小 a a(b(ba)a)0.6180.618 (420(420340)340)0.6180.618 340 340389.44389.44 b第二步第二步 第（第（2 2）個試驗點由公式（）個試驗點由公式（2-42-4）計算）計算 x x2 2大小第一點大小第一點420420340340389.44389.44370.56370.56 X X1 1點好點好 x x3 3大小前一點大小前一點420420370.56370.56389.44389.444

34、01.12401.12 克克 如此繼續(xù)，如此繼續(xù)，何時試驗結束？試驗精度？何時試驗結束？試驗精度？ 37 2.5 2.5 拋物線法拋物線法 b不管是不管是0.6180.618法，還是分數(shù)法，都只是比較兩個試驗法，還是分數(shù)法，都只是比較兩個試驗 結果的好壞，而不考慮試驗的實際值，即目標函數(shù)值。結果的好壞，而不考慮試驗的實際值，即目標函數(shù)值。 拋物線法是根據(jù)已得的三個試驗數(shù)據(jù)，找到這三點的拋物線法是根據(jù)已得的三個試驗數(shù)據(jù)，找到這三點的 拋物線方程，然后求出該拋物線的極大值，作為下次拋物線方程，然后求出該拋物線的極大值，作為下次 試驗的根據(jù)。試驗的根據(jù)。 38 2.5 2.5 拋物線法拋物線法-具體

35、作法具體作法 b(1) (1) 在三個試驗點：在三個試驗點：x x1 1、x x2 2、x x3 3，且，且x x1 1x x2 2x x3 3，分別，分別 得試驗值得試驗值y y1 1、y y2 2、y y3 3，根據(jù)拉格朗日插值法可以得到，根據(jù)拉格朗日插值法可以得到 一個二次函數(shù)。一個二次函數(shù)。 b(2) (2) 設上述二次函數(shù)在設上述二次函數(shù)在x x4 4取得最大值，這時：取得最大值，這時： 3 2313 21 2 3212 31 1 3121 32 y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx(y)x

36、x(y)xx(y )xx(y)xx(y)xx(y 2 1 x 213132321 2 2 2 13 2 1 2 32 2 3 2 21 4 39 2.5 2.5 拋物線法拋物線法-作法作法 b(3) (3) 在在x xx x4 4處做試驗，得試驗結果處做試驗，得試驗結果y y4 4。如果假定。如果假定y y1 1， y y2 2，y y3 3，y y4 4中的最大值是由中的最大值是由x x4 4給出的，除給出的，除x x4 4之外，在之外，在x x1 1， x x2 2，x x3 3和和x x4 4中取較靠近中取較靠近x x4 4的左右兩點，將這三點記為的左右兩點，將這三點記為 x x1 1

37、，x x2 2 ，x x3 3 ，此處，此處x x1 1 x x2 2 x x3 3 ，若在，若在x x1 1 ，x x2 2 ， x x3 3 處的函數(shù)值分別為處的函數(shù)值分別為y y1 1 ，y y2 2 ，y y3 3 ，則根據(jù)這三點又，則根據(jù)這三點又 可得到一條拋物線方程，如此繼續(xù)下去，直到找到函可得到一條拋物線方程，如此繼續(xù)下去，直到找到函 數(shù)的極大點數(shù)的極大點( (或它的充分鄰近的一個點或它的充分鄰近的一個點) )被找到為止。被找到為止。 40 2.5 2.5 拋物線法拋物線法-方法方法 b某離心泵效率與流量之間關系曲線的試驗中，已經(jīng)測某離心泵效率與流量之間關系曲線的試驗中，已經(jīng)測

38、得三組數(shù)據(jù)如下表所示，求流量為多大時，效率最高？得三組數(shù)據(jù)如下表所示，求流量為多大時，效率最高？ b看拋物線法做的過程：看拋物線法做的過程： 流量流量 Q(L/s) 82032 效率效率(%)507570 41 三個試驗點得到一條拋物線三個試驗點得到一條拋物線 42 該拋物線有一極值點，可根據(jù)拋物線方程求出該極值點該拋物線有一極值點，可根據(jù)拋物線方程求出該極值點 X X座標：座標：X X4 4，該流量處對應效率，該流量處對應效率可能可能是最大的。是最大的。 43 在在X X4 4對應流量處安排試驗，測定其效率。假定測得效率對應流量處安排試驗，測定其效率。假定測得效率 值為值為78%78%，即，

39、即X X4 4流量對應效率最大，則流量對應效率最大，則下一步試驗下一步試驗？ 44 X X4 4對應流量最大，因而取較靠近對應流量最大，因而取較靠近X X4 4的左右兩點，再做拋的左右兩點，再做拋 物線，即以三點物線，即以三點(20(20，75)(24,78)(32,70)75)(24,78)(32,70)做拋物線。做拋物線。 求得一極值點。求得一極值點。 何時試驗結束？何時試驗結束？ 45 2.5 2.5 拋物線法拋物線法-優(yōu)點優(yōu)點 b粗略地說，如果窮舉法（在每個試驗點上都做試驗）粗略地說，如果窮舉法（在每個試驗點上都做試驗） 需要做需要做n n次試驗，對于同樣的效果，黃金分割法只要次試驗，

40、對于同樣的效果，黃金分割法只要 數(shù)量級數(shù)量級lgnlgn次就可以達到，拋物線法，效果更好些，次就可以達到，拋物線法，效果更好些， 只要數(shù)量級只要數(shù)量級lglgnlglgn次。原因就在于黃金分割法沒有較次。原因就在于黃金分割法沒有較 多地利用函數(shù)的性質(zhì)，做了兩次試驗，比一比大小，多地利用函數(shù)的性質(zhì)，做了兩次試驗，比一比大小， 就把它舍掉了，拋物線法則對試驗結果進行了數(shù)量方就把它舍掉了，拋物線法則對試驗結果進行了數(shù)量方 面的分析。面的分析。 46 2.5 2.5 拋物線法拋物線法-適用范圍適用范圍 b拋物線法常常用在拋物線法常常用在0.6180.618法或分數(shù)法取得一些數(shù)據(jù)的法或分數(shù)法取得一些數(shù)據(jù)

41、的 情況，這時能收到更好的效果。情況，這時能收到更好的效果。 b此外，建議做完了此外，建議做完了0.6180.618法或分數(shù)法的試驗后，用最法或分數(shù)法的試驗后，用最 后三個數(shù)據(jù)按拋物線法求出后三個數(shù)據(jù)按拋物線法求出x x4 4，并計算這個拋物線在，并計算這個拋物線在 點點x xx x4 4處的數(shù)值，預先估計一下在點處的數(shù)值，預先估計一下在點x x4 4處的試驗結果，處的試驗結果， 然后將這個數(shù)值與已經(jīng)試得的最佳值作比較，以此作然后將這個數(shù)值與已經(jīng)試得的最佳值作比較，以此作 為是否在點為是否在點x x4 4處再做一次試驗的依據(jù)。處再做一次試驗的依據(jù)。 47 習題習題1 1 b2. 2. 某廠在制

42、作某種飲料時，需要加入白砂糖，為了某廠在制作某種飲料時，需要加入白砂糖，為了 工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶為單位，工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶為單位， 經(jīng)初步摸索，加入量在經(jīng)初步摸索，加入量在3-83-8桶范圍中優(yōu)選。由于桶數(shù)桶范圍中優(yōu)選。由于桶數(shù) 只宜取整數(shù)，采用分數(shù)法進行單因素優(yōu)選，優(yōu)選結果只宜取整數(shù)，采用分數(shù)法進行單因素優(yōu)選，優(yōu)選結果 為為6 6桶，試問優(yōu)選過程是如何進行的。假設在試驗范桶，試問優(yōu)選過程是如何進行的。假設在試驗范 圍內(nèi)試驗指標是白砂糖桶數(shù)的單峰函數(shù)。圍內(nèi)試驗指標是白砂糖桶數(shù)的單峰函數(shù)。 48 習題習題2 2 b3. 3. 某廠在某電解工藝技術改進時，希

43、望提高電解率，某廠在某電解工藝技術改進時，希望提高電解率， 做了初步的試驗，結果如下表所示。試利用拋物線法做了初步的試驗，結果如下表所示。試利用拋物線法 確定下一個試驗點。確定下一個試驗點。 電解質(zhì)溫度電解質(zhì)溫度t/t/656574748080 電解率電解率/%/%94.394.398.998.981.581.5 49 分批試驗法分批試驗法 b在生產(chǎn)和科學實驗中，為加速試驗的進行，常常采用在生產(chǎn)和科學實驗中，為加速試驗的進行，常常采用 一批同時做幾個試驗的方法，即一批同時做幾個試驗的方法，即分批試驗法分批試驗法。 b若可同時做多個試驗，則一次做一個好，還是一次同若可同時做多個試驗，則一次做一個

44、好，還是一次同 時做幾個好？一個試驗后試驗范圍縮小多少？時間？時做幾個好？一個試驗后試驗范圍縮小多少？時間？ 成本？成本？ b以下介紹的幾種方法同樣適用于單峰函數(shù)以下介紹的幾種方法同樣適用于單峰函數(shù) 50 2.6.1 2.6.1 預給要求法預給要求法 b預給要求法是分批試驗的一種方法。如能預先確定總預給要求法是分批試驗的一種方法。如能預先確定總 的可能的試驗個數(shù)的可能的試驗個數(shù)( (換句話說，知道了試驗范圍和要求換句話說，知道了試驗范圍和要求 的精密度的精密度) )，或事先限定試驗的批數(shù)和每批的個數(shù)，就，或事先限定試驗的批數(shù)和每批的個數(shù)，就 可以采用這種方法?？梢圆捎眠@種方法。 51 2.6.

45、1 2.6.1 預給要求法預給要求法每批做偶數(shù)個試驗每批做偶數(shù)個試驗 b若只做一批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍平分若只做一批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍平分3 3 等份，在每個分點上做試驗，如下所示：等份，在每個分點上做試驗，如下所示： b若做兩批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為若做兩批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為7 7等等 份，在第份，在第3 3、4 4兩點做第一批試驗。如第兩點做第一批試驗。如第4 4點好，再做點好，再做5 5、 6 6兩點；如第兩點；如第3 3點好，則做點好，則做1 1、2 2兩點。兩點。 52 2.6.1 2.6.1 預給要求法預給要求法每批做偶數(shù)個試驗每批

46、做偶數(shù)個試驗 b若做三批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為若做三批試驗，每批兩個試驗，把試驗范圍分為1515等等 份，在第份，在第7 7、8 8兩點做第一批試驗。如第兩點做第一批試驗。如第7 7點好，則把第點好，則把第 8 8點以上的范圍劃去；如第點以上的范圍劃去；如第8 8點好，則把點好，則把7 7點以下的劃點以下的劃 去，在余下的部分做第二批試驗，如下所示：去，在余下的部分做第二批試驗，如下所示： b依此可以推出做更多批數(shù)試驗的情形來。依此可以推出做更多批數(shù)試驗的情形來。 53 2.6.1 2.6.1 預給要求法預給要求法每批做偶數(shù)個試驗每批做偶數(shù)個試驗 b每批做每批做4 4個、個、6 6

47、個或更多個試驗的情形原理相同。容易推個或更多個試驗的情形原理相同。容易推 出，若每批做出，若每批做2k2k個試驗，共作個試驗，共作 n n 批，則應將試驗范圍批，則應將試驗范圍 等分等分 份。份。 b第一批試驗點是：第一批試驗點是： , , , , , , ， , , 。 b試驗結果的精確度是試驗結果的精確度是 ，L Lb ba a，是試驗的長度。，是試驗的長度。 1) 1k(2L nk2 n k2 n L/L k2 1n L 1L k2 1n 1L2 k2 1n ) 1k(kL k2 1n kkL k2 1n 2L2 k2 1n 54 2.6.1 2.6.1 預給要求法預給要求法每批做偶數(shù)個

48、試驗每批做偶數(shù)個試驗 b畫出畫出k=2k=2時，即每批做時，即每批做4 4個試驗時的做法：個試驗時的做法： b做做1 1批，即批，即n=1n=1。則將試驗范圍劃分的份數(shù)為：。則將試驗范圍劃分的份數(shù)為： b做做2 2批，則劃分份數(shù)為：批，則劃分份數(shù)為： 1) 1k(2L nk2 n 51) 12(2L 122 1 171) 12(2L 222 2 55 2.6.1 2.6.1 預給要求法預給要求法-例例 b例例2-7 2-7 彈片老化處理。彈片老化處理。 b某熱工儀表廠用青銅制成的彈片是新型動圈儀表的關鍵零件之一，某熱工儀表廠用青銅制成的彈片是新型動圈儀表的關鍵零件之一， 由于老化處理問題未解決

49、，有時停工待料。為了解決這一問題，由于老化處理問題未解決，有時停工待料。為了解決這一問題， 他們對溫度進行優(yōu)選，試驗范圍他們對溫度進行優(yōu)選，試驗范圍220220 320320，每批做兩個試驗，每批做兩個試驗， 只做了三批共只做了三批共6 6個試驗，終于找到最適宜的溫度個試驗，終于找到最適宜的溫度280280，解決了，解決了 生產(chǎn)難點。生產(chǎn)難點。 b：8 8點好。點好。 b：1111點好。點好。 b：1010點好，選擇點好，選擇1010點處的溫度。點處的溫度。(9-11(9-11點范圍點范圍) ) 1) 1k(2L nk2 n 56 2.6.1 2.6.1 預給要求法預給要求法-例例 b例例2-

50、7 2-7 彈片老化處理。彈片老化處理。 b某熱工儀表廠用青銅制成的彈片是新型動圈儀表的關鍵零件之一，某熱工儀表廠用青銅制成的彈片是新型動圈儀表的關鍵零件之一， 由于老化處理問題未解決，有時停工待料。為了解決這一問題，由于老化處理問題未解決，有時停工待料。為了解決這一問題， 他們對溫度進行優(yōu)選，試驗范圍他們對溫度進行優(yōu)選，試驗范圍220220 320320，每批做兩個試驗，每批做兩個試驗， 只做了三批共只做了三批共6 6個試驗，終于找到最適宜的溫度個試驗，終于找到最適宜的溫度280280，解決了，解決了 生產(chǎn)難點。生產(chǎn)難點。 b此題與分數(shù)法比較：做此題與分數(shù)法比較：做6 6次試驗，則在分數(shù)法中

51、次試驗，則在分數(shù)法中6=7-16=7-1， 而而F F7 7=21=21，所以可分，所以可分2121等份，最終試驗精度分數(shù)法要高等份，最終試驗精度分數(shù)法要高 些。些。 57 2.6.2 2.6.2 預給要求法每批奇數(shù)個試驗預給要求法每批奇數(shù)個試驗 b每批做每批做3 3個試驗時，做個試驗時，做n n批。則分成的等份數(shù)為：批。則分成的等份數(shù)為： b 按四舍五入處理。按四舍五入處理。 b如：如： b(1) (1) 只做只做1 1批試驗，把試驗范圍平分批試驗，把試驗范圍平分4 4等份，在等份，在1 1、2 2、 3 3處做試驗。處做試驗。 b(2) (2) 只做只做2 2批試驗，把試驗范圍平分批試驗，把試驗范圍平分1010等份。在等份。在4 4、5 5、 9 9處做第一批試驗，無論哪點好，下一批只做靠近好處做第一批試驗，無論哪點好，下一批只做靠近