數(shù)學(xué)建模論文水廠供水設(shè)施的建設(shè)與改造

1、 水廠供水設(shè)施的建設(shè)與改造摘要水是地球上最常見的物質(zhì)之一，是包括人類在內(nèi)所有生命生存的重要資源，也是生物體最重要的組成部分。城市建設(shè)自然離不開水，城市供水的建設(shè)也就民生工程?，F(xiàn)有自來水公司為代表的城市供水遇到了原有供水管道老化沉積和用水需求不斷上升的問題，本文就是利用數(shù)學(xué)方法求出了一個修建計劃，并且使整個方案的開支盡量少。問題一給定的是原有的4條主供水管道，并且規(guī)劃了8條短期供水管道和一條永久性供水管道，要合理安排短期供水管道和永久性供水管道的修建，這樣才會使整個方案的總開支盡量節(jié)省，由此就想到以修建管道總費用為目標(biāo)函數(shù)，建立一個非線性規(guī)劃模型。由于問題一中原有供水管道雖老化但仍能供水，為預(yù)測

2、它們在2012年至2016年的供水量，利用灰色預(yù)測的方法得出，然后再根據(jù)問題一中的約束條件下我們就得到了模型一。問題二則是已知9個用水集中點和自來水廠的相往距離，現(xiàn)希望的是修建一個供水管道網(wǎng)絡(luò)，使得修建總費用最少，所以就以修建費用為目標(biāo)函數(shù)，而約束條件可以從每個供水集中點流入流出的供水量考慮，得到模型二。由于變量太多，就考慮某地最多只向最近的3個地方流去，由此我們經(jīng)過進(jìn)一步簡化得出了模型三。經(jīng)過lingo編程，模型一的計算結(jié)果為最少費用為162萬元，第一年修建1,3,6,7號管道，第二年修建2,8號管道，第三年不修，同時永久性主水管道第一年投資22萬元，第二年50萬元，第三年60萬元。模型二求

3、解得最低費用為52.87894。路線安排為第一條第二條第三條第四條關(guān)鍵字：灰色預(yù)測 流入流出 lingo1、 問題的提出與重述水廠供水設(shè)備的建設(shè)與改造水是地球上最常見的物質(zhì)之一，是包括在內(nèi)所有生命生存的重要資源，也是生物最重要的組成部分，城市建設(shè)自然離不開水，城市供水系統(tǒng)的建設(shè)作為“明生工程”的重要部分，其建設(shè)具有舉足輕重的意義。改革開放后，我國經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，城市建設(shè)也得到了廣闊的發(fā)展空間，近30年來，隨著房地產(chǎn)市場的迅速發(fā)展，城市建設(shè)進(jìn)度空前高漲。這一變化為城市建設(shè)相關(guān)設(shè)施也帶來嚴(yán)峻的考驗。以自來水供應(yīng)為例，其城市原有的供水管道的老化與現(xiàn)代城市用水需求的上升給供水公司帶來機遇和挑戰(zhàn)。為解決城

4、市供水問題，公司決定新建供水管道，經(jīng)測算修建新供水管道的費用為(萬元)，其中q表示管道的最大水流量(萬立方米/小時)，l表示管道長度（公里）。問題一：某市現(xiàn)有條主供水管道，由于設(shè)備老化和沉淀，其供水能力逐年下降，表一給出他們在今年來的最大可供水量的粗略統(tǒng)計數(shù)字。為解決這一問題，水利專家經(jīng)過勘察，在該市規(guī)劃了條短期供水管道的線路和一條永久性供水管道，由于短期供水管道的修建距離和環(huán)境的影響，鋪設(shè)費用和預(yù)計供水量有所不同，詳見表二。而且預(yù)計每條管道的可供水量還會以平均每年左右的速率減少。同時開始建設(shè)一條公里的長永久性供水管道，貫穿整個城市主要水需求區(qū)，修建工程從開工到完成需要三年時間，且每年投資的費

5、用為萬元的整數(shù)倍。要求完成之后，通過新管道可供水能力能夠達(dá)到萬立方米小時。公司計劃從年開始連續(xù)三年，每年最多可提供萬元用于修建短期供水管道和可供水量，萬立方米小時的供應(yīng)能力，請作出一個從年三年的修建計劃，以使整個方案的總開支盡量節(jié)省（不考慮利息的因素在內(nèi)）。表一現(xiàn)有四條供水管道在近幾年的可供水量（萬立方米小時）年份編號200320042005200620072008200920102011132.331.329.728.627.526.125.323.722.7221.515.911.88.76.54.83.52.62.0 327.925.823.821.619.517.415.513.311

6、.2446.232.626.723.020.018.917.516.3表二，建設(shè)各短期管道的費用（萬元）和預(yù)計當(dāng)年可供水量（萬立方米/小時）編號12345678建設(shè)費用57546553當(dāng)年供水2536321531282212問題二，該市共有9個用水集中點，分別標(biāo)記為1-9，一個自來水公司，標(biāo)記為10。下圖給出他們大致的相對地理位置，表三給出各集中點之間（以及自來水水廠）的距離。自來水公司打算擬定一個修建管道網(wǎng)絡(luò)計劃，提供各主要區(qū)域的用水問題。要求完成之后，每個用水集中點可以達(dá)到各自用水量.12345678910用水量100.80.50.91.21.41.21.61.72.25020.800.9

7、1.51.70.81.11.81.42.28030.50.900.70.91.10.71.21.21.76040.91.50.700.31.710.71.51.84051.21.70.90.300.810.61.51.58561.40.81.11.70.800.91.40.81.66571.21.10.7110.900.80.61.15581.61.81.20.70.61.40.801.11.14591.71.41.21.51.50.80.61.10195102.22.21.71.81.51.61.11.110請根據(jù)表三的數(shù)據(jù)，為該公司提供一個各集中點之間修建新供水管道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費

8、用盡量節(jié)?。◤腶到b的新供水管道，一般要求能夠供應(yīng)點a及其下游管道的供水。）問題三：你們能否為該公司提出一個更加合理的解決城市供水問題的辦法？2、 基本假設(shè)1、永久性供水管道修建完成后每年供水能力均達(dá)到100萬立方米/小時；2、修建好的短期管道的可供水量以每年10%的速率減少；3、短期管道在建設(shè)的當(dāng)年即可開始供水；4、永久性管道修建完成后才能供水；5、供水管道的修建是連續(xù)三年的，不考慮何能影響施工的因素；6、不考慮其他方面的經(jīng)濟(jì)開支，且不考慮社會經(jīng)濟(jì)變化帶來的影響；3、 模型的主要符號變量說明：第i年第j管道是否在使用（i=1,2，8；j=1,2，5）；：第j個短期管道當(dāng)年的供水量（j=1,2

9、，5）；：第m號舊水管道第i年后的供水量（m=1,2,3,4；i=1,2，5）；：第i年供水量的下限（i=1,2，5）；：第i年短期管道的供水量（i=1,2，5）；：第j個管道創(chuàng)建的費用（j=1,2，5）；g:每年修建供水管道提供資金的上限；：第i年修建永久性供水管道的費用（i=1,2,3）；p：修建永久性供水管道的總費用；z：修建新供水管道的總費用；：是否創(chuàng)建了第j個短期管道（j=1,2,3）；q：永久性管道的最大水流量；l：永久性管道的管長；：第i供應(yīng)點流入第j供應(yīng)點的供水量（i=1,2，10；1,2，9）；：j供應(yīng)點的用水量（j=1,2，9）；：由i點到j(luò)點的距離（i=1,2，10；1,

10、2，9）。4、 問題的分析水乃生命之源。城市建設(shè)自然離不開水，城市供水系統(tǒng)的建設(shè)也就成了“民生工程?，F(xiàn)有以自來水公司為代表的城市供水遇到了原有供水管道老化和用水需求上升的問題，現(xiàn)希望我們設(shè)計出一個修建計劃，使得整個方案的總開支盡量節(jié)省。經(jīng)初步分析此題是在給出一定約束條件下的非線性規(guī)劃問題。下面就針對問題來進(jìn)行分析。問題一的分析由題知該市現(xiàn)有條主供水管道，由于設(shè)備老化和沉積，使得供水能力逐漸減弱。經(jīng)相關(guān)人員勘察，該市規(guī)劃了條短期供水管道和一條永久性供水管道。此題是希望在滿足條件下創(chuàng)建一個三年計劃，使得總開支盡量少，很明顯就以修建供水管道的總費用為目標(biāo)函數(shù)。為簡化模型，我們假設(shè)短期供水管道在建設(shè)的

11、當(dāng)年即可供水，永久性供水管道則需在完成之后才能使用即自開始修建的第四年才可以供水?？紤]到短期供水管道自身因素等影響，依題意假定修好了管道從使用第一年開始它的可供水量平均每年減少，而永久性供水管道則設(shè)定在完成修建之后每年可供水量達(dá)到萬立方米/小時。另外，還設(shè)定不考慮社會經(jīng)濟(jì)方面帶來的影響及修建供水管道的總費用不包括其他經(jīng)濟(jì)開支。根據(jù)題意可知修建供水管道的總費用由新建短期供水管道和新建永久性供水管道的費用之和。由于短期供水管道的修建較復(fù)雜些，在寫表達(dá)式時不僅要考慮當(dāng)年是否已修建還要考慮其修建的時候，因修建好的短期供水管道可供水量從使用的第一年開始它的可供水量平均每年減少，這是一個值得注意的地方。另

12、外，原有的條主供水管道，雖設(shè)備老化和沉積，但仍能在年至年供水。題中所提供的是這四條供水管道在近幾年的供水量，常規(guī)方法是通過擬合的方法得出一條函數(shù)曲線，但由于這些數(shù)據(jù)都是離散的且擬合函數(shù)不一定都經(jīng)過所有的點。鑒于以上缺點，我們是利用灰色預(yù)測的方法得出各參數(shù)估計值，那么實際值近似等于其參數(shù)估計值，再利用計算就可出原有的每條主供水管道在近五年中的可能供水量。然后再根據(jù)題中的其他約束條件，于是得出了問題一的模型即模型一。再將數(shù)據(jù)帶入模型一利用數(shù)學(xué)軟件就可得出結(jié)果。問題二的分析題二給定的是9個用水集中點和自來水廠的相對位置，自來水公司希望就此擬定一個修建供水管道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得修建 總費用最小。為此

13、我們還是以修建的總費用為目標(biāo)函數(shù)。為簡化問題，不考慮個集中點原來是否有供水管道。如果對此加以考慮的話，這勢必會給現(xiàn)擬定的修建網(wǎng)絡(luò)計劃帶來影響。同時為保證計劃的實施，假定不考慮因地理環(huán)境等因素帶來的影響。又從中得出的約束條件為第j個集中點流入的水量大于等于第j個集中點流出的水量與j個集中點自身的用水量之和。另外，還需考慮第i個集中點與第j個集中點之間供水的單向性。由此得出了模型二，經(jīng)簡化可利用lingo計算求解。問題三的分析問題三則需要我們?yōu)樵摴咎岢鲆粋€更加合理的解決城市供水問題的辦法。縱觀問題一和問題二，它們是在不同條件下修建管道的并且使總費用盡量少。那么我們可以從現(xiàn)實的角度中進(jìn)行考慮，如實

14、行分廠管理、十年重修一次等。5、 模型建立與求解問題一為得到原來四條供水管道20122016年的供水量的數(shù)據(jù)，我們通過如下的數(shù)據(jù)分析處理，了解到了一組數(shù)據(jù)序列后建立了一個基于模型的灰色預(yù)測。現(xiàn)給定觀察數(shù)據(jù)列經(jīng)一次累加得到假設(shè)滿足一階常微分方程 當(dāng)t=時，為初值解得 對于等間隔取樣的離散值（），則為 通過最小二乘法來估計常數(shù)a、因?qū)⒆鳛槌踔?，故將分別代入方程用差分代替微分，又因等間隔取樣，故得 于是同理可得 將代入式得到 將方程組轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃囆问?，得到以?由于涉及到的兩個時刻的值，因此用前后兩個時刻的平均值代替，即將換成 （i=2,3，,n），則矩陣改成為 令則矩陣可化簡為得到參數(shù)估計，那么可利

15、用估計值近似代替，然后再利用matlab軟件求得代入最終得到原來4條供水管道20122016年的供水量如下：管號供水量（萬/h）年份20122013201420152016121.3420.3619.4218.5317.6821.361.030.790.600.4539.888.777.796.426.14414.1312.7511.5110.389.31 模型一由題意知，該市的供水由原有的4條主供水管提供，現(xiàn)為了解決城市供水問題，自來水將利用3年時間創(chuàng)建新供水管道，其中預(yù)測創(chuàng)建的有8條短期供水管和一條永久性供水管道。短期供水管道開始的那年即可供水，而永久性供水管道需3年完成后才可供水，即第4

16、年初才供水。現(xiàn)設(shè)定第i年短期供水管道的供水量為，第j個短期的供水管道當(dāng)年的供水量為，并設(shè)定第i年第j個短期管道是否在使用為。那么以題意我們可以得出第一年短期供水管道的供水量為，第一年所有創(chuàng)建的短期管道的當(dāng)年供水量之和：我們知道只有創(chuàng)建好的管道在第一年之后供水量才會減少，那么第i年的第j個管道的供水量為：=（i=2,3,4,5）則第i年所有短期管道的供水量為：（i=2,3,4,5）原有的主供水管道設(shè)備雖老化，但仍還提供水，所以在20122016年間的供水也占一部分。題中給出了一組數(shù)據(jù)表格，我們利用灰色預(yù)測方法來預(yù)測20122016年每條原有的主供水管道的供水量。假設(shè)原來第m號主水管道第i年的供水

17、量為（m=1,2,3,4；i=1,2,3,4,5）。題中還給定了20122016年這5年間每年應(yīng)達(dá)到的供水量下限(i=1,2,3,4,5)。而這5年每年的供水量由原來的主供水管道、新建短期水管道以及新建的永久性主水管道三部分提供，其中新建的永久性水管道完成之后可供水能力達(dá)到100萬立方米 /小時，于是可以得到以下約束條件： （i=1,2,3） （i=4,5）在永久性供水管道的創(chuàng)建過程中雖不提供水，但創(chuàng)建的多少會影響每年修建供水管道的費用，因給定了每年可提供修建供水管道的費用的上限值g。假設(shè)第i年用于修建永久性供水管道的費用為。第一年用于修建短期供水管道的費用為：（其中表示第j個短期管道修建的費

18、用）而后的第i年用于修建短期供水管道的費用為 （i=2,3）那么每年用于修建修建供水管道的費用歸結(jié)為修建短期供水管道和修建永久性供水管道的費用，則總費用應(yīng)滿足如下條件：+g;+g (i=2,3)另外我們知道修建永久性供水管道的總費用為p=0.66(q為永久性管道的最大水流量，l為永久性管道的管長)，那么每年修建永久性管道的費用之和應(yīng)滿足：而圍繞整個過程我們需要得出的是修建供水管道的費用最小，即以修建供水管道的總費用為目標(biāo)函數(shù)，得到：此外，由題知修建供水管道只修3年，那么有如下關(guān)系：又因為修建之和管道便會一直使用，至少在這5年之間不考慮特殊情況，有如下條件：綜上所述，得出模型一為如下：s.t.

19、（i=2,3,4,5） （i=1,2,3） （i=4,5） （i=2,3） +g; +g (i=2,3) (i=1,2,3) 取整 （j=1,2，8） （i=1,2，5；j=1,2，8）經(jīng)lingo編程(附錄1)計算得： z=162；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；=1；其余為0，=22；=50；=60；實施管號年份第一年第二年第三年修建1,3,6,72,8不修主水管投資（萬元）225060 問題二問題二給定的是九個用水集中點的相對地理位置及自來水公司相對于用水集中點的位置，自來水公司為此打算擬定一個修建供水管道的網(wǎng)絡(luò)計劃，提供各主要區(qū)

20、域的用水問題?，F(xiàn)需要我們設(shè)計一個修建新供水網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費用最小，我們?nèi)钥梢匀⌒藿ňW(wǎng)絡(luò)的總費用為目標(biāo)函數(shù)。把自來水廠看成是第十個集中點假定從i集中點流入j集中點的水量為（j10），第j個集中點用水量為，則依題意它必須滿足流入j集中點的水量大于j流出的水量與其用水量之和，即由于i集中點與j集中點之間的供水關(guān)系具有單向性，即：假定第i集中點到j(luò)集中點的距離為則目標(biāo)函數(shù)為綜上得到模型二：s、t (i=1,210, j=1,210,)考慮到變量的個數(shù)太多不利于計算，比較繁瑣，且影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，我們對模型二進(jìn)行改進(jìn)得到模型三模型三修建網(wǎng)絡(luò)的總費用則定性分析得到l的影響大于q的影響，那么在修建供

21、水網(wǎng)絡(luò)是優(yōu)先考慮距離的影響，對整個結(jié)果的影響不太大，我們在模型二的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡化，假定每個集中點至多只能對其他的3個集中點供水，于是我們根據(jù)就近原則，得到各個集中點之間可能的供水關(guān)系（如下）由以上示意圖我們可以清晰地看出每個集中點的流入流出情況。得到新的目標(biāo)函數(shù)每個點流入流出的約束也作了如下的更改：第一個集中點 ；第二個集中點；第三個集中點；第四個集中點；第五個集中點；第六個集中點；第七個集中點；第八個集中點；第九個集中點；同時仍要滿足;綜上得到模型三： ;；;最后將數(shù)據(jù)代入模型三中利用lingo（附錄2）進(jìn)行求解。由于我們求解的是最小值，就不會出現(xiàn)水有回流的情況，所以在用軟件求解的時候可以省

22、略最后一個約束簡化程序。經(jīng)計算得到的結(jié)果如下：最小的費用為52.88萬元，新建的網(wǎng)絡(luò)管道如下圖所示142 3 5 768910問題三問題一、只是針對規(guī)劃希望得到建設(shè)管道費用較少的方案，這就計算出了何種管道需要建設(shè)，何時建設(shè)。而問題二根據(jù)供水點的需求希望得出管道的布局。雖然都給出了一個較合理的方案，但不能單一從費用方面考慮問題。考慮到建設(shè)費用和管理方面，我們小組認(rèn)為，可以將這些集中點進(jìn)行分區(qū)管理，在這些區(qū)域建設(shè)分廠，然后根據(jù)模型二的方法建設(shè)管道，使費用最小。其實，現(xiàn)實中就經(jīng)常遇到這樣的問題，如果管道出現(xiàn)問題了，而離水廠較遠(yuǎn)的話，這樣不便于維修。所以無論是從建設(shè)費用還是從管理方面，設(shè)立分廠都是不錯

23、的選擇。這樣可以更適應(yīng)城市的發(fā)展，也有利于公司的發(fā)展。其次，考慮到管道的使用壽命，我們需要在幾年后在進(jìn)行維修一次，所以修建時是否需要考慮以后維修的方便，這樣才更能在根本上使費用最小。6、 模型的檢驗及科學(xué)性分析問題一中的gm(1,1)的灰色預(yù)測模型是最常用的預(yù)測模型，為了檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)越性，我們對其進(jìn)行驗證，用我們得到供水量與時間的函數(shù)關(guān)系得到前幾年的預(yù)測值，計算相對誤差，結(jié)果如下：第一種預(yù)測值前九年相對誤差后五年132.332.332.3231.363.6-47.9531.07830.00708321.34329.793.3-78.4529.65140.00163620.36428.6121.9-107.628.290.01083919.42527.5149.4-135.6526.99110.01850518.53626.1175.5-162.4525.75190.01333717.68725.3200.8-188.1524.56960.02887823.7224.5-212.6523.44150.010907922.7247.2-235.8522.36530.014744從表中可知相對誤差大約為1%左右，說明模型比較優(yōu)越問題二利用模型二求出了結(jié)果，但對于結(jié)果的準(zhǔn)確性有待驗證比較。首先初步分析判斷，若要使3修建費用最少，