自動控制原理-孟慶明-第2章

1、自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 系統(tǒng)的系統(tǒng)的數學模型數學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變是描述系統(tǒng)輸入、輸出變 量以及內部各個變量之間關系的數學表達量以及內部各個變量之間關系的數學表達 式。式。 描述各變量動態(tài)關系的表達式稱為動態(tài)數描述各變量動態(tài)關系的表達式稱為動態(tài)數 學模型。學模型。 常用的數學模型為微分方程。常用的數學模型為微分方程。 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學?？刂葡到y(tǒng)的數學模 型型 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 建立系統(tǒng)數學模型的方法，一般采用建立系統(tǒng)數學模型的方法，一般采用解解 析法析法和和實驗

2、法實驗法 。 所謂所謂解析法解析法，即依據系統(tǒng)及元部件各變量，即依據系統(tǒng)及元部件各變量 之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量 間的數學表達式，并經實驗驗證，從而建間的數學表達式，并經實驗驗證，從而建 立系統(tǒng)的數學模型。立系統(tǒng)的數學模型。 實驗法實驗法是對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信是對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信 號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號 等），根據系統(tǒng)或元件的輸出響應，經過等），根據系統(tǒng)或元件的輸出響應，經過 數據處理而辨識出系統(tǒng)的數學模型。數據處理而辨識出系統(tǒng)的數學模型。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章

3、 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 線性定常系統(tǒng)的數學模型 微分方程傳遞函數頻率特性 脈沖傳遞 函數 狀態(tài)方程 微分方程微分方程傳遞函數傳遞函數頻率特性頻率特性 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 首先必須了解系統(tǒng)的組成、工作原理，首先必須了解系統(tǒng)的組成、工作原理， 然后根據支配各組成元件的物理定律，列然后根據支配各組成元件的物理定律，列 寫整個系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的動寫整個系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的動 態(tài)關系式，即微分方程。態(tài)關系式，即微分方程。 列寫微分方程的一般步驟：列寫微分方程的一般步驟

4、： 分析系統(tǒng)和各個元件的工作原理，找出分析系統(tǒng)和各個元件的工作原理，找出 各物理量（變量）之間的關系，確定系統(tǒng)各物理量（變量）之間的關系，確定系統(tǒng) 和各元件的輸入、輸出變量。和各元件的輸入、輸出變量。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，從輸入端開始，按照信號的傳遞順序， 根據各變量所遵循的物理（或化學）定根據各變量所遵循的物理（或化學）定 律，列寫動態(tài)關系式，一般為一個微分律，列寫動態(tài)關系式，一般為一個微分 方程組。方程組。 對已建立的原始方程進行處理，忽略對已建立的原始方程進行處理，忽略 次要因素，簡化原始方程，如

5、對原始方次要因素，簡化原始方程，如對原始方 程進行線性化等。程進行線性化等。 消除中間變量，寫出關于輸入、輸出消除中間變量，寫出關于輸入、輸出 變量之間關系的數學表達式，即微分方變量之間關系的數學表達式，即微分方 程。程。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 C R ur(t) uc(t) i(t) 根據電路理論中的基爾霍夫定理，建立根據電路理論中的基爾霍夫定理，建立RC 無源網絡的微分方程。無源網絡的微分方程。 rc c ( )( )( ) 1 ( )( )d u tRi tu t u ti tt C 輸入量為電壓輸入量為電壓ur(t), 輸出量為電

6、壓輸出量為電壓uc(t) i( (t) )為流經電阻為流經電阻R和電容和電容C的電流，消去中的電流，消去中 間變量間變量i( (t) )，可得可得 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 c cr d( ) ( )( ) d u t RCu tu t t 令令RC=T，則上式又可寫為則上式又可寫為 c cr d( ) ( )( ) d u t Tu tu t t 式中式中：T稱為無源網絡的時間常數稱為無源網絡的時間常數,單位為秒單位為秒(s) 一般情況下把輸出變量寫在等式的左邊一般情況下把輸出變量寫在等式的左邊, ,輸輸 入變量寫在等式的右邊。入變量寫在等

7、式的右邊。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.1 拉氏變換拉氏變換 拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換，它是一種函拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換，它是一種函 數之間的積分變換。拉氏變換是研究控制系數之間的積分變換。拉氏變換是研究控制系 統(tǒng)的一個重要數學工具統(tǒng)的一個重要數學工具,它可以把時域中的它可以把時域中的 微分方程微分方程變換成復域中的變換成復域中的代數方程代數方程，從而使，從而使 微分方程的求解大為簡化。同時還引出了傳微分方程的求解大為簡化。同時還引出了傳 遞函數、頻率特性等概念。遞函數、頻率特性等概念。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系

8、統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 微分方程 初始條件 方程的解 代數方程 方程的解 拉氏變換 拉氏反變換 t 域 s域 用拉氏變換解微分方程示意圖用拉氏變換解微分方程示意圖 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 一、一、 拉氏變換的定義和存在定理拉氏變換的定義和存在定理 1. 定義定義 設函數設函數f(t)在在t0時有定義，如果線性積分時有定義，如果線性積分 0 ( )ed st f tt ()js為為復復變變量量 存在，則由此積分所確定的函數可寫為存在，則由此積分所確定的函數可寫為 - 0 ( )( )e d st F sf tt 自動控制原理自動控制原

9、理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 ( ) ( )F sf t L L F(s)稱為稱為f(t)的象函數，而的象函數，而f(t)稱為稱為F(s)的原函的原函 數，由象函數求原函數的運算稱為拉氏反變數，由象函數求原函數的運算稱為拉氏反變 換，記作換，記作 1 ( )( )f tF s L L 稱其為函數稱其為函數 f(t)的拉普拉斯變換，并記作的拉普拉斯變換，并記作 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2. 拉普拉斯變換的存在定理拉普拉斯變換的存在定理 若函數若函數f(t)滿足下列條件：滿足下列條件： 在在t0的任一區(qū)間上分段連續(xù)。的

10、任一區(qū)間上分段連續(xù)。 在在t充分大后滿足不等式充分大后滿足不等式|f(t)|Mect，其中其中 M、c都是實常數。則都是實常數。則f(t)的拉氏變換的拉氏變換 在平面上在平面上Re(s)c一定存在，此時右端的積一定存在，此時右端的積 分絕對而且一定收斂，并且在這半平面內分絕對而且一定收斂，并且在這半平面內 F(s)為解析函數。為解析函數。 - 0 ( )( )e d st F sf tt 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 二、幾種典型函數的拉氏變換二、幾種典型函數的拉氏變換 1. .單位階躍函數單位階躍函數1(t) 數學表達式為數學表達式為 其拉氏變

11、換為其拉氏變換為 tO f(t) 1 0 0 0 ( ) ( )( )ed 111 1 ede01 st stst F sf tf tt t sss L L 10 ( )1( ) 00 t f tt t 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2. .單位斜坡函數單位斜坡函數 tO f(t) 斜率=1 數學表達式為數學表達式為 0 ( )1( ) 00 tt f ttt t 其拉氏變換為其拉氏變換為 00 0 0 2 ( ) ( )( )eded 111 eed00 1 stst stst F sf tf tttt ttt sss s L L 自動控制原理

12、自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 3.等加速函數等加速函數 tO f(t) 數學表達式為數學表達式為 其拉氏變換為其拉氏變換為 2 1 0 ( )2 00 tt f t t 2 00 2 0 0 23 1 ( ) ( )( )eded 2 1 1 eed 2 111 00 stst stst F sf tf tttt ttt s sss L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 4.指數函數指數函數e-at 數學表達式為數學表達式為 其拉氏變換為其拉氏變換為 e0() ( ) 00 at ta f t t 為為實實數數

13、 0 () 0 ( )eeed 1 ed atatst s a t F st t sa L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 5. .正弦函數正弦函數sin t 正弦函數定義為正弦函數定義為 sin0 sin 00 tt t t 其拉氏變換為其拉氏變換為 0 jj 0 22 ( )sinsined 1 eeed 2j 111 2jjj st ttst F sttt t sss L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 6. 單位脈沖函數單位脈沖函數( 函數函數) 函數的表達式為函數的表達式為 0 ( )

14、( )d1 00 t ttt t 且且 tO (t) 其拉氏變換為其拉氏變換為 0 ( ) ( )( )ed1 st F sttt L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 三、拉氏變換的基本法則三、拉氏變換的基本法則 1.1.線性法則線性法則 設設F1=L L f1(t)，F2=L L f2(t)，a和和b為常為常 數，則有數，則有 1212 12 ( )( )( )( ) ( )( ) af tbftaf tbft aF sbF s L LL LL L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.2.微分法則

15、微分法則 設設F=L L f (t)，則有則有 d ( ) ( )(0) d f t sF sf t L L 2 2 2 d( ) ( )(0)(0) d f t s F ssff t L L 式中：式中：f(0), f (0), , ,f (n-1)(0)為為f(t)及其各階及其各階 導數在導數在t=0處的值。處的值。 ( )1(1) ( )( )(0)(0) nnnn fts F ssff L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 3.積分法則積分法則 設設F(s)=L L f(t) ，f(0)=0 ，則有則有 1 ( )d( )f ttF s

16、s L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 4. . 終值定理終值定理 若若F(s)=L L f(t)，且當且當t時，時，f(t)存在一個存在一個 確定的值，則其終值確定的值，則其終值 0 lim( )lim( ) ts f tsF s 該式為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（即該式為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（即t ）提供了提供了 方便。方便。 0 ( )lim ( )lim( ) ts ee tsE s 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 5. 位移定理位移定理 設設F(s)= L L f(t)，則有則有 0 0 ()e( )

17、s f tF s L L 及及 e( )() at f tF sa L L 分別稱為時域中的位移定理和復域中的分別稱為時域中的位移定理和復域中的 位移定理。位移定理。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 四、拉氏反變換四、拉氏反變換 拉氏反變換的定義如下拉氏反變換的定義如下 j 1 j 1 ( )( )( )e d 2j st F sf tF st L L 一般由一般由F(s)求求f(t)，常用部分分式法。首常用部分分式法。首 先將先將F(s)分解成一些簡單的有理分式函分解成一些簡單的有理分式函 數之和，然后由拉氏變換表一一查出對數之和，然后由拉氏變換

18、表一一查出對 應的反變換函數，即得所求的原函數應的反變換函數，即得所求的原函數f(t)。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 F(s)通常是通常是s的有理分式函數，即分母多項的有理分式函數，即分母多項 式的階次高于分子多項式的階次，式的階次高于分子多項式的階次，F(s)的一的一 般式為般式為 1 011 1 11 ( ) mm mm nn nn b sb sbsb F s sa sasa 式中式中a1、a2、an及及b1、b2、bm為實為實 數，數，m、n為正數，且為正數，且mn。 如果如果F(s)可分解成下列分量可分解成下列分量 12 ( )( )(

19、 )( ) n F sF sFsF s 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 并且并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反變換的拉氏反變換 可以很容易地求出，則可以很容易地求出，則 1111 12 12 ( )( )( )( ) ( )( )( ) n n F sF sFsF s f tftft LLLLLLLL 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 例例2.1 求求 的拉氏反變換的拉氏反變換。 2 2 ( ) 43 s F s ss 解解： 2 22 ( ) 43(1)(3) 1/21/2 13 ss F

20、s ssss ss 進行反變換得進行反變換得 3 11 ( )ee 22 tt f t 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 五、用拉氏變換求解微分方程五、用拉氏變換求解微分方程 用拉普拉斯方法求在給定初始條件下微分用拉普拉斯方法求在給定初始條件下微分 方程的步驟如下：方程的步驟如下： 對微分方程兩端進行拉氏變換，將微分對微分方程兩端進行拉氏變換，將微分 方程變?yōu)橐韵蠛瘮禐樽兞康拇鷶捣匠蹋椒匠套優(yōu)橐韵蠛瘮禐樽兞康拇鷶捣匠?，?程中初始條件是程中初始條件是t=0-時的值。時的值。 解代數方程，求出象函數的表達式。解代數方程，求出象函數的表達式。 用部分分

21、式法進行反變換，求得微分用部分分式法進行反變換，求得微分 方程的解。方程的解。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 例例 用拉氏變換求解微分方程用拉氏變換求解微分方程。 0 ( )2 ( )( )0,(0)0, (0)x tx tx txxx 解解：對微分方程兩端進行拉氏變換對微分方程兩端進行拉氏變換 2 ( )(0)(0)2( )2 (0)( )0s X ssxxsX sxX s 代入初始條件，求出象函數代入初始條件，求出象函數X(s)的表達式的表達式 0 2 2 ( ) 21 s X sx ss 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數

22、學模型控制系統(tǒng)的數學模型 將將X(s)展成部分分式，利用拉氏變換對照展成部分分式，利用拉氏變換對照 表，求出表，求出x(t)。 00 2 0 ( ) (1)1 ( )(1)(0) t xx X s ss x tx tet 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.2 傳遞函數傳遞函數 微分 方程 輸出 相應 給定外作用和初始條件 (計算機求解) 結構 或參 數變 化時 全部 信息 傳遞 函數 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 一、傳遞函數的概念及定義一、傳遞函數的概念及定義 C R ur(t) uc(t) i(

23、t) c cr d( ) ( )( ) d u t Tu tu t t 無源無源RC網絡的微分網絡的微分 方程為方程為 設初始值設初始值uc(0)=0，對上式取拉氏變換對上式取拉氏變換,得得 ccr cr ( )( )( ) (1)( )( ) TsUsUsUs TsUsUs 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 cr 1 ( )( ) 1 UsUs Ts cr ( )( )( )UsG s Us 令令 1 ( ) 1 G s Ts 則則 c r ( ) ( ) ( ) Us G s Us 傳遞函數傳遞函數 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系

24、統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 G(s) Ur(s)Uc(s) 傳遞函數的定義：傳遞函數的定義： 線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信 號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之 比稱為系統(tǒng)比稱為系統(tǒng)(或元部件或元部件)的傳遞函數。的傳遞函數。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 設線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為設線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為 1 011 1 011 dd dd dd dd nn nnn mm mmm ac tac ta c t tt br tbr tb r t tt 式中式中

25、c(t)為系統(tǒng)的輸出量，為系統(tǒng)的輸出量，r(t)為系統(tǒng)的輸為系統(tǒng)的輸 入量，入量，a0, a1,an 及及b0 , b1, , bm 均為系均為系 統(tǒng)結構參數決定的常數。統(tǒng)結構參數決定的常數。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 設所有初始條件均為零的條件下，對上式設所有初始條件均為零的條件下，對上式 兩端進行拉氏變換，得兩端進行拉氏變換，得 1 01 1 01 ( ) ( ) nn n mm m a sa saC s b sb sbR s 按照定義得系統(tǒng)的傳遞函數按照定義得系統(tǒng)的傳遞函數 1 01 1 01 ( ) ( ) ( ) mm m nn n

26、 b sb sbC s G s R sa sa sa 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 二、對傳遞函數的說明二、對傳遞函數的說明 1. 傳遞函數是復域傳遞函數是復域(s域域)中的一個表達式，中的一個表達式， 它通過系統(tǒng)結構參數使線性定常系統(tǒng)的輸它通過系統(tǒng)結構參數使線性定常系統(tǒng)的輸 出和輸入建立聯系，而與輸入形式無關。出和輸入建立聯系，而與輸入形式無關。 只適用于線性定常系統(tǒng)。只適用于線性定常系統(tǒng)。 2. 傳遞函數分母多項式階次總是大于或等于傳遞函數分母多項式階次總是大于或等于 分子多項式的階次，即分子多項式的階次，即nm，這是由于系統(tǒng)這是由于系統(tǒng) 中

27、含有較多的儲能元件及受能源的限制所造中含有較多的儲能元件及受能源的限制所造 成的。分母多項式的最高階次為成的。分母多項式的最高階次為n，稱該系稱該系 統(tǒng)為統(tǒng)為n階系統(tǒng)。如階系統(tǒng)。如n1、2，稱為一、二階系稱為一、二階系 統(tǒng)。統(tǒng)。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 3. 傳通函數只描述系統(tǒng)輸入傳通函數只描述系統(tǒng)輸入- -輸出之間的輸出之間的 關系，但不反映系統(tǒng)內部結構的任何信息。關系，但不反映系統(tǒng)內部結構的任何信息。 因此因此，不同的物理系統(tǒng)完全可能有相同形不同的物理系統(tǒng)完全可能有相同形 式的傳遞函數，這就給數學模擬創(chuàng)造了條式的傳遞函數，這就給數學模擬

28、創(chuàng)造了條 件。件。 4. 同一系統(tǒng)不同觀測點的輸出信號對不同同一系統(tǒng)不同觀測點的輸出信號對不同 作用點的輸入信號之間的傳遞函數的形式作用點的輸入信號之間的傳遞函數的形式 具有相同的分母，所不同的只是分子。把具有相同的分母，所不同的只是分子。把 分母多項式稱為分母多項式稱為特征式特征式，記為，記為D(s) 。 1 01 ( ) nn n D sa sa sa 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 5. 傳遞函數與微分方程具有相通性。傳遞函數與微分方程具有相通性。 6. 傳遞函數傳遞函數G(s)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的的拉氏反變換為該系統(tǒng)的 脈沖響應函數脈沖響

29、應函數g(t)，脈沖響應是系統(tǒng)在單脈沖響應是系統(tǒng)在單 位脈沖位脈沖 (t)輸入時的輸出響應，此時輸入時的輸出響應，此時 R(s)=L L (t)=1，所以有所以有 11 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g tC sG s R s G s L LL L L L 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 7. 傳遞函數的描述有一定的局限性：只傳遞函數的描述有一定的局限性：只 能研究單入、單出系統(tǒng)，對于多入、多能研究單入、單出系統(tǒng)，對于多入、多 出系統(tǒng)要用傳遞矩陣表示；只能表示輸出系統(tǒng)要用傳遞矩陣表示；只能表示輸 入、輸出的關系，對系統(tǒng)內部其他各變入、

30、輸出的關系，對系統(tǒng)內部其他各變 量無法得知量無法得知(經典控制理論的不足經典控制理論的不足)；只能；只能 研究零初始狀態(tài)的系統(tǒng)特性，對非零初研究零初始狀態(tài)的系統(tǒng)特性，對非零初 始狀態(tài)的系統(tǒng)運動特性不能反映。始狀態(tài)的系統(tǒng)運動特性不能反映。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 三、求取系統(tǒng)傳遞函數的方法三、求取系統(tǒng)傳遞函數的方法 求取物理系統(tǒng)的傳遞函數時，一般假設求取物理系統(tǒng)的傳遞函數時，一般假設: : 1. 系統(tǒng)不帶負載，即在系統(tǒng)的輸出端不吸系統(tǒng)不帶負載，即在系統(tǒng)的輸出端不吸 收能量。收能量。 2. 假設系統(tǒng)的參數為線性集中常數。假設系統(tǒng)的參數為線性集中

31、常數。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 求取求取傳遞函數傳遞函數的方法與步驟：的方法與步驟： 1. 首先確定出系統(tǒng)的輸出信號首先確定出系統(tǒng)的輸出信號(被控量等被控量等) 和輸入信號（如給定值、干擾等）。和輸入信號（如給定值、干擾等）。 2. 把系統(tǒng)分成若干個典型環(huán)節(jié)，求出各環(huán)把系統(tǒng)分成若干個典型環(huán)節(jié)，求出各環(huán) 節(jié)的傳遞函數，填寫在方框內。用信號線節(jié)的傳遞函數，填寫在方框內。用信號線 把這些方框連接起來，得到系統(tǒng)的動態(tài)結把這些方框連接起來，得到系統(tǒng)的動態(tài)結 構圖。構圖。 3. 對動態(tài)結構圖進行變換，得到所要求的對動態(tài)結構圖進行變換，得到所要求的 傳遞

32、函數。傳遞函數。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 四、傳遞函數的零點和極點四、傳遞函數的零點和極點 1 01 1 01 012 012 1* 1 ( ) ( ) ( ) ()()() ()()() () () mm m nn n m n m j j n i i b sb sbC s G s R sa sa sa b szszsz aspspsp sz K sp pi: 極點，用極點，用“ ”表示表示 零極點零極點 分布圖分布圖 zj: 零點，用零點，用“ ”表表 示示 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 若

33、傳遞函數若傳遞函數 42 ( ) (1)(2) s G s ss 該傳遞函數的該傳遞函數的 極點為極點為p1 =1， p2=2; 零點為零點為z1=0.5 j 1 -1 -1-2 O p1p2z1 零極點分布圖零極點分布圖 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.3 動態(tài)結構圖及其等效變換動態(tài)結構圖及其等效變換 一、動態(tài)結構圖一、動態(tài)結構圖(或稱方塊圖、方框圖或稱方塊圖、方框圖) 動態(tài)結構圖是表示組成控制系統(tǒng)的各個元動態(tài)結構圖是表示組成控制系統(tǒng)的各個元 件之間信號傳遞動態(tài)關系的圖形。件之間信號傳遞動態(tài)關系的圖形。 1. 定義定義 2. 組成組成 信號線

34、：帶有箭頭的直線，信號線：帶有箭頭的直線， 箭頭表示信號傳遞方向，信箭頭表示信號傳遞方向，信 號線上標信號的原函數或象號線上標信號的原函數或象 函數。函數。 U(s) 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 方框：表示輸入、輸出信號之間的傳遞方框：表示輸入、輸出信號之間的傳遞 關系。關系。 引出點引出點(測量點測量點)：表示信：表示信 號引出或測量位置，從同一號引出或測量位置，從同一 點引出的信號完全相同。點引出的信號完全相同。 G(s) R(s)C(s) U(s) U(s) 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 比

35、較點比較點(綜合點綜合點)：表示兩個或兩個以上：表示兩個或兩個以上 的信號，在該點相加、減。注意，比較點的信號，在該點相加、減。注意，比較點 處信號的運算符號必須標明處信號的運算符號必須標明正正(+ +)、負負(- -)， 一般不標者取正號。同時進行運算的信號一般不標者取正號。同時進行運算的信號 必須具有相同的量綱。必須具有相同的量綱。 U(s) B(s) U(s)B(s) 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 3.3.系統(tǒng)動態(tài)結構圖的建立系統(tǒng)動態(tài)結構圖的建立 (1) 建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)）的建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)）的 微分方程。微分方程。

36、 ( (2) ) 對各微分方程在零初始條件下進行拉對各微分方程在零初始條件下進行拉 氏變換，并做出各元部件的方框圖。氏變換，并做出各元部件的方框圖。 (3) 按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次 用信號線將各元件的方框圖連接起來。系用信號線將各元件的方框圖連接起來。系 統(tǒng)的輸入變量在左端，輸出變量（即被控統(tǒng)的輸入變量在左端，輸出變量（即被控 量）在右端，便得到系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。量）在右端，便得到系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 如如RC網路的微分方程網路的微分方程 rc c ( )( )( ) d( )

37、 ( ) d u tRi tu t u t i tC t 對上式進行拉氏變換，得對上式進行拉氏變換，得 rcrc cc 1 ( )( )( )( )( )( ) 1 ( )( )( )( ) UsUsRI tI sUsUs R I sCsUsUsI s Cs 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 繪制上式各子方程的方框圖繪制上式各子方程的方框圖 Ur(s) Uc(s) Ur(s)-Uc(s)I(s) - Ur(s)-Uc(s) 1 R 1 Cs I(s) Uc(s) 將方框圖連接起來將方框圖連接起來, ,得出系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。得出系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。 Ur

38、(s)Uc(s)Ur(s)-Uc(s)I(s) - 1 R 1 Cs 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 三、結構圖的等效變換三、結構圖的等效變換 進行結構變換首先應明確以下四點：進行結構變換首先應明確以下四點： 1. 結構變換的等效性。即變換前、后輸入結構變換的等效性。即變換前、后輸入 輸出總的數學關系應保持不變。輸出總的數學關系應保持不變。 2. 所得結果所得結果(傳遞函數傳遞函數)的惟一性；結構圖的惟一性；結構圖 的多樣性的多樣性(不惟一性不惟一性)。 3. 信號傳遞的單向性。信號傳遞的單向性。 4. 多輸入系統(tǒng)的疊加性。多輸入系統(tǒng)的疊加性。 自

39、動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 動態(tài)結構圖的等效變換法則：動態(tài)結構圖的等效變換法則： l. .串聯變換法則串聯變換法則 n個傳遞函數依次串聯的等效傳遞函數，個傳遞函數依次串聯的等效傳遞函數， 等于等于n個傳遞函數的乘積個傳遞函數的乘積 。 G1(s) R(s)C(s) G2(s)Gn(s) . C(s) G1(s)G2(s).Gn(s) R(s) 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.并聯變換法則并聯變換法則 n個傳遞函數并聯，其等效傳遞函數為該個傳遞函數并聯，其等效傳遞函數為該 n個傳遞函數的代數和。個傳

40、遞函數的代數和。 G1(s) R(s) C(s) G2(s) Gn(s) C(s) G1(s)+G2(s)+ +Gn(s) R(s) . 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 稱為閉環(huán)傳遞函數稱為閉環(huán)傳遞函數 3.反饋變換法則反饋變換法則 R(s) E(s) B(s) G(s) H(s) C(s) ( ) 1( )( ) G s G s H s C(s)R(s) ( )( ) ( ) ( )1( )( ) C sG s s R sG s H s 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 4. .比較點移動法則比較點移動

41、法則 比較點前移比較點前移“加倒數加倒數”；比較點后移；比較點后移“加本身加本身”。 R(s) B(s) G(s) R(s) G(s) 1 ( )G s B(s) C(s)C(s) R(s) B(s) G(s) R(s) G(s) B(s) C(s) C(s) G(s) 前移前移 后移后移 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 5. 引出點移動法則引出點移動法則 引出點前移引出點前移“加本身加本身”；引出點后移；引出點后移“加倒加倒 數數”。 R(s) G(s) C(s) C(s) R(s) G(s) C(s) G(s) C(s) R(s) G(s) C

42、(s) R(s) G(s) C(s) R(s)1 ( )G s R(s) 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 6. 相鄰的比較點之間可以隨意調換位置，亦相鄰的比較點之間可以隨意調換位置，亦 可綜合為一個比較點。相鄰的引出點之間亦可綜合為一個比較點。相鄰的引出點之間亦 可互相調換位置?？苫ハ嗾{換位置。 7. 相鄰的比較點和引出點之間可以調換位置。相鄰的比較點和引出點之間可以調換位置。 R(s) X(s) C(s) C(s) R(s) X(s) C(s) X(s) C(s) _ _ _ 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數

43、學模型 動態(tài)結構圖等效變換需注意的問題動態(tài)結構圖等效變換需注意的問題: (1)串聯、并聯、反饋三種典型結構可直接串聯、并聯、反饋三種典型結構可直接 用公式用公式;不是典型結構不可直接用公式。不是典型結構不可直接用公式。 (2)向同類移動：比較點和引出點。向同類移動：比較點和引出點。 (3)由里向外變換：由里向外變換：對多回路結構，由內回對多回路結構，由內回 路向外回路進行變換，逐個減少內回路，路向外回路進行變換，逐個減少內回路， 直到變換成一個等效的方塊。直到變換成一個等效的方塊。 (4)多輸入變換多次：多輸入變換多次：系統(tǒng)有多個輸入量，系統(tǒng)有多個輸入量， 則必須分別對每個輸入量逐個進行結構變

44、則必須分別對每個輸入量逐個進行結構變 換，求得各自的傳遞函數。換，求得各自的傳遞函數。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 例：例：求下圖所示系統(tǒng)被控量求下圖所示系統(tǒng)被控量C(s)對各輸入信號的對各輸入信號的 傳遞函數傳遞函數C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。 G1G2G3 R(s)C(s) N1(s)N2(s) +-+ - 解解：(1)求求C(s)/R(s)。 N1(s) 設設N1=0，N2=0設設N1=0，N2=0把比較點前移把比較點前移 G1G1G1 C(s) N1N2 +-+ - N1 R(s)+ N2 -+ +

45、1 1 G 把比較點前移把比較點前移再進行并聯和內回路反饋變換再進行并聯和內回路反饋變換 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 G1G3 R(s) C(s) - 1 1 1G G 2 2 1 G G 串聯后再作反饋變換串聯后再作反饋變換 R(s) C(s) 1 1 1G G 123 2123 1 G G G GG G G 進行串聯變換進行串聯變換 R(s)C(s) 123 2123 (1) 1 G G G GG G G 123 2123 (1)( ) ( )1 G G GC s R sGG G G 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模

46、型控制系統(tǒng)的數學模型 ( (2) )求求C(s)/N1(s) ，設設R(s)=0，N2(s)=0，得得 32 12123 1 1 C sGG NsGG G G 因此，因此， 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 (3) 求求 ，設，設R(s)=0，N1(s)=0 N2(s)信號只能單向傳遞信號只能單向傳遞 2 ( ) ( ) C s Ns 所以，所以， 2 ( ) 1 ( ) C s Ns 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 例例 已知一控制系統(tǒng)的微分方程組為已知一控制系統(tǒng)的微分方程組為 1 2 1211 323

47、 223 d( ) ( )( ) d ( )( )( ) d ( ) ( )( ) d xtr tc t x t Tx tK x t t x tx tK c t c t Tc tK x t t 試畫出其動態(tài)結構圖，并求系統(tǒng)的傳遞函試畫出其動態(tài)結構圖，并求系統(tǒng)的傳遞函 數數C(s)/R(s) )。 解：解：r(t)為輸入信號，為輸入信號，c(t)為輸出信號為輸出信號 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 對系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換對系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換, ,得到相應得到相應 的代數方程的代數方程 1 12211 323 223 ( )( )( ) (

48、)( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) XsR sC s T sXsXsK Xs XsXsK C s T sC sC sK Xs 根據各個代數方程組畫出相應的方塊圖，根據各個代數方程組畫出相應的方塊圖， 然后連接起來就得到系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。然后連接起來就得到系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 引出點前移，進行內回路變換，然后再進引出點前移，進行內回路變換，然后再進 行外回路反饋變換得系統(tǒng)的傳遞函數行外回路反饋變換得系統(tǒng)的傳遞函數 12 122312 ( ) ( )(1)(1) K KC s R sT sT sK KK

49、 K 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 四、用梅森（四、用梅森（S. J. Mason）公式求傳遞函數公式求傳遞函數 方塊圖方塊圖系統(tǒng)的傳遞函數系統(tǒng)的傳遞函數 等效變換等效變換 方塊圖的復雜程度方塊圖的復雜程度變換過程的復雜和困難變換過程的復雜和困難 梅森公式梅森公式 1 ( )1 ( ) ( ) n kk k C s sP R s 式中：式中： (s) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數 特征式特征式 ，且，且 =1- La+ LbLc- LdLeLf+ 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 1 1 ( )

50、 n kk k sP Pk第第k條前向通道的傳遞函數。條前向通道的傳遞函數。 k余子式，即在特征式中把與余子式，即在特征式中把與Pk前向通前向通道道 接觸的回路所在項除去接觸的回路所在項除去(置為零置為零)后余下后余下 的式子。的式子。 n前向通道數。前向通道數。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 明確幾個概念：明確幾個概念： 回路回路閉的通閉的通道道，即在結構圖中信號可以，即在結構圖中信號可以 沿箭頭方向閉合流動且經過的任一沿箭頭方向閉合流動且經過的任一 元件不多于一次的閉合回路。元件不多于一次的閉合回路。 互不接觸回路互不接觸回路 相互間沒有共同

51、相互間沒有共同接點接點的回的回 路。路。 前向通道前向通道由輸入端單向由輸入端單向( (沿箭頭沿箭頭) )傳遞至傳遞至 輸出端的信號通道被稱為前向輸出端的信號通道被稱為前向 通道。通道。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 例例 求圖示系統(tǒng)的傳遞函數求圖示系統(tǒng)的傳遞函數C(s)/R(s)。 解解：(1)前向通道有前向通道有1 1條條: : 1123456 PG G G G G G 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 (2)(2)單獨回路有單獨回路有4個：個： 11234561 LG G G G G G H 22

52、32 LG G H 3453 LG G H 4344 LG G H 有有2個回路互不接觸，所以有個回路互不接觸，所以有 23232453 234523 ()() bc L LL LG G HG G H G G G G H H 1234561232 453344234523 1 1 abc LL L G G G G G G HG G H G G HG G HG G G G H H 特征式：特征式： 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 余子式：余子式： 1 1 ( (不存在與不存在與P P1 1不接觸的回路不接觸的回路) ) (3)閉環(huán)傳遞函數閉環(huán)傳遞函數

53、C(s)/R(s)為為 123456 1234561232453344234523 ( ) ( )1 G G G G G GC s R sG G G G G G HG G HG G HG G HG G G G H H 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 利用梅森公式求傳遞函數的注意事項：利用梅森公式求傳遞函數的注意事項： (1) k條前向通道，是指從輸入信號到輸出條前向通道，是指從輸入信號到輸出 信號前向通信號前向通道道的總數，不要漏掉，也不要的總數，不要漏掉，也不要 錯劃。通過節(jié)點只有一次，不得重復。錯劃。通過節(jié)點只有一次，不得重復。 (2) 單獨回

54、路數，互不接觸回路數，不要漏單獨回路數，互不接觸回路數，不要漏 掉，也不要重復。掉，也不要重復。 與與 k 應計算無誤。應計算無誤。 (3) 反饋的極性應體現在回路傳遞函數的正反饋的極性應體現在回路傳遞函數的正 負上，一定要注意符號。負上，一定要注意符號。 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.4 典型環(huán)節(jié)的典型環(huán)節(jié)的傳遞函數傳遞函數 一、比例一、比例( (放大放大) )環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)方塊圖比例環(huán)節(jié)方塊圖 其微分方程為其微分方程為 ( )( )c tKr t K為常數，稱比例系數或增益。為常數，稱比例系數或增益。 傳遞函數為傳遞函數為 ( )G

55、sK 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 運算放大器：運算放大器： 2f 11 UR K UR 電位器：電位器： m m U sE K s 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 二、積分環(huán)節(jié)二、積分環(huán)節(jié) 微分方程為微分方程為 dc tr tt 傳遞函數為傳遞函數為 1 G s s 積分器積分器 電壓的傳遞函數電壓的傳遞函數2f 111fi 1 ( )11 ( ) UsC s UsRR C sTs 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 空載油缸空載油缸 流量流量 f d (

56、) d x Q tA t f 1 ( ) ( ) X sK A Q sss 小慣性電動機小慣性電動機 mm a ( ) ( ) sK Uss 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 三、理想微分環(huán)節(jié)三、理想微分環(huán)節(jié) 微分方程微分方程 d ( ) ( ) d r t c t t 傳遞函數傳遞函數 ( )G ss 測速發(fā)電機測速發(fā)電機 t t ( )( ) ( ) ( ) u tKt U s K s s 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 四、慣性環(huán)節(jié)四、慣性環(huán)節(jié) 微分方程微分方程 d ( ) ( )( ) d c t

57、 Tc tr t t 傳遞函數傳遞函數 1 ( ) 1 G s Ts 運算放大器運算放大器 ff ff 2 11 f1 ff 11 ( ) ( ) 11 RR C sC sUs UsR RRK R C sTs 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 11 1 1 1 UsK Us K RCs K RCs RCs RCss RC RCsK s KK 五、一階微分環(huán)節(jié)五、一階微分環(huán)節(jié) 微分方程微分方程 d ( ) ( )( ) d r t c tr t t 傳遞函數傳遞函數 ( )1G ss 在放大器上加以在放大器上

58、加以 RC網絡反饋網絡反饋, ,當當 增益增益K足夠大時足夠大時 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 微分方程微分方程 2 22 nnn2 d( )d 2( )( )( ) dd c t c tc tr t tt 傳遞函數傳遞函數 2 n 22 nn ( ) 2 G s ss 式中式中: : 相對阻尼比相對阻尼比( (無量綱無量綱) ) n無阻尼自然頻率（無阻尼自然頻率（s-1 -1） ） 22 1 ( ) 21 G s T sTs 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2 2 1 2

59、n 22 2 nn ( )1 ( )1 1 1 2 Us UsLCsRCs Ls R ss ss LLC RLC網絡網絡 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 質量質量- -彈簧彈簧- -阻尼動力系統(tǒng)阻尼動力系統(tǒng) 牛頓第二定律牛頓第二定律 F=ma 2 2 dd ( )( )( )( ) dd F tky tfy tmy t tt 取拉氏變換取拉氏變換, ,整理后得整理后得 2 () ( )( )msfsk Y sF s 2 n 222 2 nn 1 ( )1 ( ) ( )2 k KY s k m G s fk F smsfskss ss mm 自動控

60、制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 七、二階微分環(huán)節(jié)七、二階微分環(huán)節(jié) 微分方程微分方程 2 2 2 dd ( )( )2( )( ) dd c tr tr tr t tt 傳遞函數傳遞函數 22 ( )21G sss 二階微分環(huán)節(jié)的方框圖二階微分環(huán)節(jié)的方框圖 自動控制原理自動控制原理 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 2.5 控制系統(tǒng)的傳遞函數控制系統(tǒng)的傳遞函數 閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構圖 R(s)指令信號，輸入信號，作用于系統(tǒng)輸入端。指令信號，輸入信號，作用于系統(tǒng)輸入端。 N(s)干擾信號，一般是作用在被控對象上。干