小學(xué)數(shù)學(xué)論文：基本圖形面積的變式教學(xué)思考

1、基本圖形面積的變式教學(xué)思考 【主題摘要】基本圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)一直是圖形與幾何領(lǐng)域中一個(gè)基礎(chǔ)的關(guān)鍵點(diǎn)，非?？简?yàn)學(xué)生的理解能力，思維跳躍比較大，教與學(xué)有一定的難度，學(xué)生練習(xí)的出錯(cuò)率也是相當(dāng)高。如何進(jìn)行基本圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的教學(xué)呢？根據(jù)教材編寫(xiě)的順序，幾十年下來(lái)都是按“平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式推導(dǎo)” 的慣式流程開(kāi)展教學(xué)的。一次偶然的學(xué)習(xí)培訓(xùn)中，唐彩兵老師提出可以把梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)作為平行四邊形和三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的基點(diǎn)，想想也有一定的道理。在教學(xué)中進(jìn)行了變式教學(xué)的嘗試?！娟P(guān)鍵詞】基本圖形面積 公式推導(dǎo) 變式教學(xué) 對(duì)比思考【正文】當(dāng)聽(tīng)到這一觀

2、點(diǎn)的時(shí)候，細(xì)細(xì)琢磨也挺有意思的，非常在理。既關(guān)注孩子的思考能力，更關(guān)注孩子的思考方法，特別是推導(dǎo)的能力。所以在兩個(gè)班的教學(xué)過(guò)程中我采用了兩種推導(dǎo)順序的對(duì)比教學(xué)，感受頗多。 片段一：（梯形面積探索）（一）引入環(huán)節(jié)師：我們來(lái)看大屏幕（出示一個(gè)長(zhǎng)方形），誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)看長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法？生：長(zhǎng)方形面積長(zhǎng)寬 字母公式：sab師：今天，我們來(lái)探索梯形的面積計(jì)算方法（邊說(shuō)邊課件出示直角梯形和等腰梯形）。師：梯形面積的計(jì)算方法從來(lái)沒(méi)接觸過(guò)，有什么困難嗎？生：老師，可以把梯形轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些圖形的面積計(jì)算？生：長(zhǎng)方形（正方形）師：非常棒,善于思考?。ò鍟?shū)：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形）（二）探索環(huán)節(jié)

3、1.師：那么怎么轉(zhuǎn)化呢？根據(jù)你手中的學(xué)具，小組之間進(jìn)行嘗試探索。生（小組合作）師（巡視指導(dǎo)）2.小組之間交流匯報(bào)。方法一：兩個(gè)相同的直角梯形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。（學(xué)生能夠合作完成） 上底與下底的和相當(dāng)于拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)； 高相當(dāng)于拼成的長(zhǎng)方形的寬 根據(jù)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，可以把這個(gè)長(zhǎng)方形的面積寫(xiě)成：長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng) 寬=（上底下底） 高 這個(gè)梯形面積正好是這個(gè)長(zhǎng)方形的一半。推導(dǎo)出公式：梯形面積=（上底下底） 高2方法二：把等腰梯形通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形。（學(xué)生能夠合作完成） 通過(guò)割補(bǔ)把長(zhǎng)方形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于上底與下底和的一半。即：長(zhǎng)（上底下底）2； 長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于梯形的

4、高； 這個(gè)梯形面積這個(gè)長(zhǎng)方形面積 長(zhǎng) 寬 （上底下底）2 高 （上底下底） 高2方法三： 把直角梯形通過(guò)割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形。（預(yù)設(shè)：課件演示） 沿直角梯形高的一半通過(guò)割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形； 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于梯形的（上底下底） 長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于高的一半。即：高2 這個(gè)梯形面積這個(gè)長(zhǎng)方形面積 長(zhǎng) 寬 （上底下底） 高2方法四：把一個(gè)普通梯形通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形（預(yù)設(shè)：課件演示）。通過(guò)割補(bǔ)把一個(gè)普通梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于上底與下底和的一半。即：長(zhǎng)（上底下底）2；長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于梯形的高； 這個(gè)梯形面積這個(gè)長(zhǎng)方形面積 長(zhǎng) 寬 （上底下底）2 高 （上底下底） 高23.嘗試練習(xí)（略）片段二

5、：（平行四邊形面積探索）（一） 引入環(huán)節(jié)1. 復(fù)習(xí)梯形面積計(jì)算公式2. 梯形面積練習(xí)（數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單，適合口算）（二） 探索環(huán)節(jié)1. 師：今天，我們探索平行四邊形的面積計(jì)算（課件出示一個(gè)平行四邊形）。2. 對(duì)比梯形和平行四邊形的特點(diǎn)（課件）梯形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形。平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行且相等的四邊形。師：通過(guò)延長(zhǎng)梯形的上底，使它與下底一樣長(zhǎng)，就變成了？生：平行四邊形?。R答）3. 方法探索，學(xué)生思考教師課件動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生觀察思考：通過(guò)延長(zhǎng)梯形的上底，使它與下底一樣長(zhǎng)，就變成了一個(gè)平行四邊形。 上底下底，剛好是平行四邊形的底 梯形的高平行四邊形的高 梯形面積 平行四邊形面積（上底下底）高

6、2（底底）高2（上底下底）2底高2（相互抵消）底高（三）練習(xí)環(huán)節(jié)（略）片段三：（三角形面積探索）（一） 引入環(huán)節(jié)1. 復(fù)習(xí)梯形、平行四邊形面積計(jì)算公式和推導(dǎo)過(guò)程。2. 基本練習(xí)，（數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單，適合口算）（二） 探索環(huán)節(jié)1.師：我們探索了梯形和平行四邊形面積，今天我們來(lái)探索三角形的面積。當(dāng)梯形的上底逐漸縮小，最后成為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)梯形變成了什么圖形？生：三角形。3. 課件演示，學(xué)生觀察思考4. 小組討論，該怎么推導(dǎo)三角形的面積?5. 匯報(bào)交流把三角形看成是上底為0的梯形，我們可以發(fā)現(xiàn)：上底0 梯形下底=三角形的底梯形面積 三角形面積 （上底下底）高2（0底）高2 （下底底）底高2以上3個(gè)片段是我在基

7、本圖形面積推導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)行的一次順序顛覆式的教學(xué)嘗試，以梯形面積為突破口，通過(guò)把梯形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，進(jìn)行梯形面積公式的推導(dǎo)。根據(jù)梯形與平行四邊形及三角形的特殊關(guān)系（平行四邊形可以看成上下底相等的梯形，三角形可以看成上底為0的梯形），以梯形面積公式為基點(diǎn)，推導(dǎo)出平行四邊形和三角形面積計(jì)算公式。兩個(gè)班的對(duì)比教學(xué)，收獲挺多的。一、嘗試教學(xué)后的思考：由于整個(gè)面積公式的推導(dǎo)進(jìn)行了一次顛覆性的嘗試教學(xué)，打破了教材中的教學(xué)順序，兩個(gè)班進(jìn)行了兩種截然不同的教學(xué)形式，許多東西發(fā)生了改變。一變是教學(xué)基點(diǎn)發(fā)生根本性的變化（慣式教學(xué)）主要以平行四邊形面積為教學(xué)基點(diǎn)，以三角形面積推導(dǎo)為例，推導(dǎo)的主體是“兩個(gè)相同的

8、三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形”。我們可以看一下教材中的導(dǎo)圖：引語(yǔ)：怎樣把三角形轉(zhuǎn)化成我們已學(xué)過(guò)的圖形呢？教材中給我們提供兩種方法都是借助平行四邊形的平臺(tái)來(lái)進(jìn)行三角形面積的推導(dǎo)。方法一：兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。明確兩個(gè)圖形見(jiàn)等底等高的關(guān)系，提出“三角形面積是與其等底等高的平行四邊形面積的一半”的結(jié)論，根據(jù)平行四邊形面積公式推導(dǎo)出“三角形面積底高2”。方法二：沿三角形高的一半把三角形進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形。提出“這個(gè)三角形與這個(gè)平行四邊形面積相等”的結(jié)論，直接借助“平行四邊形面積底高”進(jìn)行推導(dǎo)，因?yàn)檫@個(gè)平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形（高2）推導(dǎo)出“三角形面積底高2

9、”。學(xué)生只要弄明白三角形與平行四邊形之間在“底”和“高”上的關(guān)系，借助“平行四邊形面積底高”就ok了。（變式教學(xué)）主要以梯形面積為教學(xué)基點(diǎn)，同樣以三角形面積推導(dǎo)為例，推導(dǎo)的主體是“三角形可以看成上底為0的梯形”。課件動(dòng)態(tài)演示，移動(dòng)上底的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)梯形變成了一個(gè)三角形，可以把“三角形看成上底為0的梯形”。尋找兩個(gè)圖形之間底和高之間的關(guān)系，梯形下底就是三角形的底，梯形高就是三角形的高。借助“梯形面積=（上底下底）高2”進(jìn)行三角形面積推導(dǎo)。三角形面積=（上底下底）高2 =（0底）高2 =底高2兩種教學(xué)基點(diǎn)相對(duì)比，就三角形面積公式的推導(dǎo)而言，以梯形面積為基點(diǎn)的推導(dǎo)方式更勝一籌。二變是推導(dǎo)的思

10、維形式上發(fā)生變化兩種基點(diǎn)的推導(dǎo)方式猶如兩條分支，在不同的推導(dǎo)方法中，在思維形式上發(fā)生了根本性變化。同樣以三角形面積推導(dǎo)為例：（慣式教學(xué)）慣式的推導(dǎo)方法的側(cè)重點(diǎn)是以學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的探究性學(xué)習(xí)為主線，以演繹推理為主。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)借助學(xué)具開(kāi)展小組合作，尋找三角形與平行四邊形之間的顯性聯(lián)系為突破口，推導(dǎo)出三角形面積公式。方式一：動(dòng)手拼一拼，轉(zhuǎn)化過(guò)程具體直觀。小組成員之間，用兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。（一般情況下多才用兩個(gè)相同的銳角三角形為主，為了多樣化也可以采用兩個(gè)相同的直角三角形或兩個(gè)相同的鈍角三角形）。通過(guò)拼一拼的操作活動(dòng)，尋找出兩者之間的顯性關(guān)系，即：這個(gè)三角形與拼成的這個(gè)平行四邊形

11、是等底等高的，并且這個(gè)三角形面積剛好是這個(gè)平行四邊形面積的一半。在具體操作和小組討論基礎(chǔ)上，進(jìn)行三角形面積公式的推導(dǎo)。其思維形式是建立在一步步的演繹過(guò)程中，相對(duì)而言簡(jiǎn)單有效，學(xué)生的思維深度是較淺的。方式二：割與補(bǔ)，有深度仍直觀。割與補(bǔ)其實(shí)就是動(dòng)手剪一剪，拼一拼，相比方式一，難度上提升了不少，但仍是建立在直觀操作的過(guò)程中。學(xué)生通過(guò)剪拼，把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，尋找高的一半這一重要條件進(jìn)行推導(dǎo)。（變式教學(xué)）變式的推導(dǎo)方法的側(cè)重點(diǎn)是以學(xué)生思考的推理性學(xué)習(xí)為主線，以純數(shù)學(xué)的角度開(kāi)展推導(dǎo)活動(dòng)。如果說(shuō)慣式的推導(dǎo)以關(guān)注學(xué)生的感性為主，那么變式更多的是關(guān)注學(xué)生理性的思考。只有一個(gè)課件動(dòng)態(tài)的演示（移動(dòng)上底的一

12、個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)梯形變成了一個(gè)三角形。） 簡(jiǎn)單的推理“把三角形看成上底為0的梯形”。借助“梯形面積=（上底下底）高2”進(jìn)行三角形面積推導(dǎo)。三角形面積=（上底下底）高2 =（0底）高2 =底高2從實(shí)效上講簡(jiǎn)單明了，從數(shù)學(xué)本質(zhì)而言有相當(dāng)?shù)倪壿嬓裕y度要比慣式的推導(dǎo)方式深許多。需要明確的是這種類(lèi)似的方式在平時(shí)教學(xué)中使用頻率不是很高，學(xué)生有一定的陌生感，且難度相對(duì)要高上許多，更考驗(yàn)學(xué)生的思維和能力，中下學(xué)生適應(yīng)性稍差一些。但是作為五六年級(jí)的學(xué)生也需要多接觸類(lèi)似的學(xué)習(xí)方式，從心理特點(diǎn)發(fā)展軌跡來(lái)看，孩子的思維方式逐漸從演繹推理向邏輯推理轉(zhuǎn)化，同時(shí)為了學(xué)生今后的學(xué)習(xí)考慮，這樣的過(guò)渡式教學(xué)可以多一些，因?yàn)槠?/p>

13、更注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)，具有更多的邏輯性，更有數(shù)學(xué)味。不變的是基本圖形面積的基本練習(xí)難點(diǎn)主要集中在面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程中，基本圖形面積計(jì)算恰恰不是教學(xué)的難點(diǎn)。通過(guò)對(duì)比基本圖形面積的基本練習(xí)在兩種順序的推導(dǎo)方式下，沒(méi)有發(fā)生根本性的變化，就是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面積公式計(jì)算基本圖形的面積，解決一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解題思維程序上也沒(méi)有本質(zhì)上的變化，即“明確公式尋找對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算面積”。二、變式教學(xué)中亟需解決的問(wèn)題：變式練習(xí)怎么辦？由于教材是按慣式推導(dǎo)方式進(jìn)行編排的，這么多年下來(lái)早已形成了自己完整的學(xué)習(xí)體系，有之相配套的練習(xí)體系。用變式推導(dǎo)方式教學(xué)按慣式推導(dǎo)方式進(jìn)行編排的教材，難免產(chǎn)生一些矛盾和碰撞。在變式教學(xué)中，

14、亟需解決的問(wèn)題就是慣式推導(dǎo)方式過(guò)程中出現(xiàn)的變式練習(xí)。如：兩個(gè)（ ）的三角形一定能拼成一個(gè)平行四邊形。如圖，陰影部分的面積是18平方厘米，平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形的底和面積都相等，平行四邊形的高是3.6厘米，三角形的高是（ ）厘米。這些題目，我們?cè)趹T式推導(dǎo)過(guò)程中感覺(jué)不難解決，屬于推導(dǎo)過(guò)程中重點(diǎn)關(guān)注的題目（學(xué)生經(jīng)歷過(guò)，處理游刃）?？墒窃谧兪酵茖?dǎo)過(guò)程中，學(xué)生根本沒(méi)有接觸過(guò)，屬于兩眼抓瞎，只能靠自己的理解能力強(qiáng)悍與否。解決策略：策略一：變式推導(dǎo)過(guò)程中，植入慣式推導(dǎo)方式。一些在變式推導(dǎo)方式后不能解決的問(wèn)題，我們可以在基本圖形面積復(fù)習(xí)的時(shí)候，植入慣式的推導(dǎo)方式。像遇見(jiàn)“

15、兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形”這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，只能用植入慣式推導(dǎo)方式的方法來(lái)彌補(bǔ)，只不過(guò)這樣的處理方式給人一種“亡羊補(bǔ)牢”的感覺(jué)。如：從平行四邊形面積到三角形面積的推導(dǎo)過(guò)程“兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，三角形面積是與它等底等高平行四邊形面積的一半?！被蛞跃毩?xí)的形式植入。問(wèn)題“兩個(gè)相同的梯形可以拼成一個(gè)（ ）。演示過(guò)程；補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程，理順兩者關(guān)系。如：從梯形面積到三角形面積的推導(dǎo)時(shí)，我們是通過(guò)“把三角形看成是上底為0的梯形”進(jìn)行三角形面積計(jì)算的推導(dǎo)（如圖）。在變式推導(dǎo)過(guò)程中，也可以植入慣式的推導(dǎo)方式。梯形通過(guò)割補(bǔ)變成一個(gè)三角形，這個(gè)梯形面積=這個(gè)三角形面積，三角形的底正好是梯形

16、的（上底下底），梯形的高就是三角形的高。三角形面積=梯形面積 =（上底下底）高2 =底高2策略二：反其道而行之，讓變式教學(xué)進(jìn)行到底。在慣式推導(dǎo)教學(xué)中，從平行四邊形到梯形，變式教學(xué)中恰恰反其道而行之，變式教學(xué)中推導(dǎo)方法比較單一，為了題目的需要，也可以豐富一些，讓變式教學(xué)教學(xué)到底。如平行四邊形面積的推導(dǎo)，我們把“梯形面積是等底等高平行四邊形面積的一半”轉(zhuǎn)化成“平行四邊形面積是等底等高梯形面積的2倍”來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)。兩個(gè)相同的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形面積剛好是這個(gè)梯形面積的2倍。高沒(méi)有發(fā)生變化，（上底下底）剛好是這個(gè)平行四邊形的底 平行四邊形面積=梯形面積2 =（上底下底）高22 =底高通過(guò)變式教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思