數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文廣義逆矩陣的求法探討

1、廣義逆矩陣的求法探討the seeking of the dharma and research into generalized inverse matrix 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校二一 摘 要本文介紹了廣義逆矩陣的定義，討論了由moore-penrose方程所定義的各種廣義逆的性質(zhì)，在廣義逆矩陣的初等變換法和滿秩分解法的基礎(chǔ)上，研究了幾種特殊的廣義逆矩陣的計算方法.關(guān)鍵詞: 廣義逆矩陣；滿秩分解；消元；初等變換法 abstract this article discusses the system of generalized inverse matrices d

2、efined, discussed by the moore-penrose equation is defined by the nature of the various generalized inverse, generalized inverse matrix elementary transformation and full rank decomposition, studied several particular generalized inverse matrix calculatio.keywords: generalized inverse matrix; full r

3、ank decomposition; elimination; elementary transformation目錄摘 要iabstractii0 引言11 廣義逆矩陣的概念與定理82 廣義逆矩陣的計算方法82.1 廣義逆矩陣的奇異值分解法82.2 廣義逆矩陣的最大值秩分解法92.2極限法求廣義逆矩陣92.3廣義逆矩陣的滿秩分解法112.4 初等變換法求廣義逆矩陣15參考文獻(xiàn)210 引言矩陣逆的概念只對非奇異方陣才有意義. 但是，在實際問題中，我們碰到的矩陣并不都是方陣，即使是方陣，也不都是非奇異的。 因此，有必要推廣逆矩陣的概念.為此，本文給出了廣義逆矩陣的定義，并利用廣義逆的性質(zhì)，給出其

4、計算方法。1 廣義逆矩陣的概念與定理定義1.1 設(shè)是的矩陣，若的矩陣滿足如下四個方程的全部或者一部分，則稱為的廣義逆矩陣，簡稱廣義逆. (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) 則稱是的逆，記為.如果某個只滿足（1.1）式，為的1廣義逆，記為g1；如果另一個滿足（1.1），（1.2）式，則稱為的1,2廣義逆，記為1，2；如果1，2，3，4，則是逆等.下面介紹常用的5種1,1, 2，1, 3,1,4,1,2,3,4每一種廣義逆矩陣又都包含著一類矩陣，分述如下：（1） 1中任意一個確定的廣義逆，稱作減號廣義逆，或g逆，記為；（2） 1,2中任意一個確定的廣義逆，稱作自反減號逆，記為；（3）

5、1,3中任意一個確定的廣義逆，稱作最小范數(shù)廣義逆，記為；（4） 1,4中任意一個確定的廣義逆，稱作最小二乘廣義逆，記為；（5） 1,2,3,4：唯一一個，稱作加號逆，或，記為.定義1.2 設(shè)是的矩陣（, 當(dāng)時，可以討論），若有一個的矩陣（記為）存在，使下式成立，則稱為的減號廣義逆或者逆： (1.5)當(dāng)存在時，顯然滿足上式，可見減號廣義逆是普通廣義逆矩陣的推廣；另外，由得可見，當(dāng)為的一個減號廣義逆時，就是的一個減號廣義逆. 定義1.3 設(shè) 的特征值為則稱為矩陣的正奇異值，簡稱奇異值.定義1.4 設(shè)矩陣，如果時存在；或者當(dāng)時，存在有，稱這兩種長方陣為最大秩方陣（滿秩方陣），前者又稱行最大秩矩陣（行

6、滿秩矩陣），后者又稱為列最大秩矩陣（列滿秩矩陣）.定義1.5 設(shè)是矩陣, 若有矩陣滿足(或), 則稱為的右逆(或左逆), 記為(或).定理1.1 設(shè)是的矩陣，則的逆存在且唯一. 證明 先證的存在性. 設(shè)的奇異值分解其中，是的非零奇異值，與是酉矩陣.令容易驗證滿足四個方程，因此存在. 下面證的唯一性. 假定也是滿足4個方程，則 因此, 說明是唯一的，且若是非奇異矩陣，容易驗證滿足4個方程，此時.由此可見逆把逆推廣到所有矩陣（甚至零矩陣）.定理1.2 設(shè)，存在階的可逆矩陣及階可逆矩陣，使則階矩陣使得的充分必要條件是其中分別是階任意矩陣.證明 先證必要性，由條件有階及階可逆矩陣，使那么 根據(jù)應(yīng)滿足的

7、, 有再令 分塊如題設(shè)要求，代入上式所以,于是有得到再證充分性，由于則 引理1.1 對于任意的矩陣，它的減號逆總存在，但不唯一，并且是的一個減號逆【1，2】.引理1.2 對于任意的矩陣，它的極小范數(shù)總存在，但不唯一，并且是的一個極小范數(shù)逆【12】.引理1.3 對于任意矩陣,它的最小二乘逆總存在 ,但不唯一,并且它是的一個最小二乘逆【1，2】.引理1.4 對于任意矩陣,它的加號逆總存在，并且唯一. 其中這里是的滿秩分解式【1，2，3】.定理1.3 是 矩陣 , 若是行滿秩矩陣 ,則總有；是列滿秩矩陣，則總有；，則總有，其中是 的滿秩分解式.定理1.4 設(shè)則可將做滿秩分解（或的最大秩分解）其中是階

8、矩陣，且. 將一非列或非行滿秩的非零矩陣表示為一列滿秩和一行滿秩的矩陣的積的分解稱為滿秩分解. 在各種廣義逆的直接計算方法中, 幾乎都要對矩陣進(jìn)行滿秩分解, 例如分解等等. 但當(dāng)計算某些廣義逆時,分解將帶來大量非必要的計算, 因而有必要對滿秩分解的方法進(jìn)行簡化, 為此, 我們首先用構(gòu)造性方法證明下述定理. 定理1.5 對任意矩陣, 總存在著矩陣和矩陣，使得成立. 證明 設(shè)，則必有一個最大線性無關(guān)列，故令=，于是有非奇異矩陣，使, 亦即有 (1.6)成立，其中為階數(shù)適當(dāng)?shù)牧憔仃?，再另置換矩陣便有, 于是由（1）知， = (1.7)其中, 且顯然有，. 類似地可證存在著和，使有, 成立，倘令 (1

9、.8) (1.9)同樣有.特別，若a為行滿秩或者列滿秩，則與中之一為單位陣，定理依然成立.定理1.6 對任何的矩陣，都有性質(zhì)1.1 (1)的充分必要條件是，此時, 稱為的一個左逆，記為.(2) 的充分必要條件是，此時=稱為的一個右逆，記為.證明 (1)充分性，若則所以 必要性，若，則存在階及階可逆矩陣,使 或 由定理1.2可得, 則有即，于是有由于所以是可逆陣，那么所以，可取(2)同理可證性質(zhì)(2)，可逆，有所以，可取2 廣義逆矩陣的計算方法2.1廣義逆矩陣a+的奇異值分解法設(shè)矩陣，由定理1.1知存在并且唯一，當(dāng)時，則有奇異值分解：其中， ，為的奇異值，則具有如下形式：.例1 用奇異值分解求，

10、其中.解 的奇異值分解為,所以=. 例2 設(shè)用奇異值分解法求.解 因此特征值求出對應(yīng)于所以 =2.2 廣義逆矩陣的最大秩分解法的矩陣的秩，的最大秩分解為其中是階矩陣，是階矩陣，且，則 (2.1)特別當(dāng)時（行滿秩陣） (2.2)當(dāng)時（列滿秩陣） (2.3)例3 求矩陣的逆.解 首先求得的滿秩分解為，故 = =.2.3極限法求廣義逆矩陣設(shè)是階矩陣，則 (2.4) 證明 因為 由定理1.6得 例4 設(shè)用極限法求.解 因為因此 2.4 廣義逆矩陣的滿秩分解法對任意矩陣，由定理1.5知，其中是階矩陣，是階矩陣，且，再由性質(zhì)1.1可得如果a是實矩陣，有 設(shè)為矩陣的最大秩分解 ,則的廣義逆矩陣的一般形式為.

11、例5 設(shè)，求其廣義逆矩陣.解首先對 進(jìn)行最大秩分解 ,對作行初等變換如下:所以的最大秩分解為=由定理1.3知，這里為3階可逆方陣，故為行滿秩矩陣，故可取=從而=例6 設(shè)矩陣 = 求.解 有滿秩分解為取= ，從而 = ，得 取,得 得在依據(jù)性質(zhì)1.1的(1.5)及(1.6)可分別求出于是得到2.4 初等變換法求廣義逆矩陣 方法和步驟：經(jīng)過一系列的初等行或初等列變換總可以將寫成式的形式, 這里分別是m和矩陣，由定理1.2，則的全部廣義逆為這里、分別是任意的例7.解由上述定理 ,首先要將 寫成式的形式. 為此 , 將作初等變換得= 設(shè), , , 則,從而，有=例8 設(shè),求廣義逆. 解 =于是 , .

12、所以的減號廣義逆為,其中 .以上介紹了的初等變換法，那么我們現(xiàn)在給定一個矩陣, 總有，有定理1.3知當(dāng)時，有，當(dāng)時，有, 當(dāng)時，有，其中是的滿秩分解式. 我們可以看出要求矩陣的任何一種廣義逆矩陣 , 關(guān)鍵是求出一個.那么下給出了利用初等變換法求出的具體方法.設(shè), (不必限制 )則存在階可逆矩陣 使得則，令由于所以是的一個廣義逆矩陣(. 據(jù)此，我們對下面分塊矩陣進(jìn)行初等變換： =因此, .同理，對下面的分塊矩陣施行初等變換： = 因此，.這里、均指可逆矩陣.例9 設(shè)= ，求的最小二乘逆.解 因為，所以. 對下列矩陣施行初等行變換有所以=.例10 設(shè)，求最小范數(shù)逆.解 因為=，所以=, 對下列矩陣

13、施行初等變換有 所以.上述例題給出的求廣義逆矩陣和的方法 , 簡便易行且使各種廣義逆矩陣的計算得到了徹底解決. 致謝 本文是在 的指導(dǎo)下完成的，在此衷心的感謝周教授的細(xì)心的指導(dǎo)，才能順利完成本論文.參考文獻(xiàn)1李宗鐸.求逆矩陣的一個方法j數(shù)學(xué)通報，1983（11）：1516.2南京大學(xué)數(shù)學(xué)系計算數(shù)學(xué)專業(yè).線性代數(shù)m.北京：科學(xué)出版社，1978：97.3任曉紅.球廣義逆矩陣a的初等變換法j.西北輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2000（2）：105106.4周琳.介紹廣義逆矩陣及其計算方法j.本溪冶金高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2001（2）：4345.5北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.高等代數(shù)m.北京高等教育出版社，1978：187.6楊明，劉先忠.矩陣論m.華中科技大學(xué)出版社，2005：9598.7劉丁酉.矩陣分析m.武漢大學(xué)出版社，2004：241241.8蘇育才，姜翠波等.矩陣?yán)碚搈.科學(xué)出版社，2003：192. 9 吳強.基于矩陣初等變換的矩陣分解法j.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2000，20（4）.9劉宣黃.廣義逆矩陣的計算方法j.江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008，21（1）：4447.10 fuzhen zhang，matrix theory，springer，1999.11 horn r a，johnson c