畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）幾何畫(huà)板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助作用.doc

1、摘 要幾何畫(huà)板是一款優(yōu)秀的教育軟件, 教師可以利用幾何畫(huà)板將一些靜態(tài)的描述進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,利用幾何直觀(guān)刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文主要從具有幾何背景的概念、定理及線(xiàn)性規(guī)劃模型這三方面闡述幾何畫(huà)板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助作用。關(guān)鍵詞：幾何畫(huà)板；圓錐曲線(xiàn)；三垂線(xiàn)定理；線(xiàn)性規(guī)劃 abstractsketchpad is an excellent educational software, teachers can use the geometers sketchpad dynamic demonstration of some static description, the use of geometr

2、ic intuition stimulates the student to study mathematics the interest.this paper mainly from the three aspects of the background geometry concept, theorem and linear programming model elaborated the auxiliary function of the geometers sketchpad in mathematics teaching in middle school.key words：the

3、geometers sketchcap;cone curve;three vertical theorem;linear programming. 目 錄1引 言12幾何畫(huà)板在若干概念教學(xué)中的輔助作用32.1 異面直線(xiàn)所成的角42.2 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義53幾何畫(huà)板在若干定理教學(xué)中的輔助作用83.1 三垂線(xiàn)定理83.2 正弦定理104幾何畫(huà)板在線(xiàn)性規(guī)劃模型教學(xué)中的輔助作用124.1 關(guān)于線(xiàn)性規(guī)劃124.2 具體案例設(shè)計(jì)與分析13參 考 文 獻(xiàn)18幾何畫(huà)板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助作用1引 言幾何畫(huà)板是由美國(guó)key curriculum press公司研制并出版的優(yōu)秀教育軟件，1996年由人民教育出

4、版社和全國(guó)中小學(xué)計(jì)算機(jī)教育研究中心引進(jìn)國(guó)內(nèi)。幾何畫(huà)板是眾多教學(xué)軟件中的一種主要面向數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件，有著傳統(tǒng)尺規(guī)無(wú)法超越的功能、優(yōu)勢(shì)。幾何畫(huà)板能夠快速、精確地描繪出任何的幾何、函數(shù)和圓錐曲線(xiàn)等圖形，并且能夠動(dòng)態(tài)地維持多個(gè)元素之間的幾何關(guān)系和幾何規(guī)律，使數(shù)與形的結(jié)合更加視覺(jué)化、直觀(guān)化、趣味化，能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)空間想象能力和獲得更多的知識(shí)，提高了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。 尤創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)直觀(guān)性背景和探究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程在數(shù)學(xué)教學(xué)中是極其重要的，要是教師不注重這一過(guò)程，可能會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而導(dǎo)致學(xué)生的探究和理解能力薄弱，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)產(chǎn)生不良的影響。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾透辟內(nèi)容和形式上抽象化的一

5、面。與實(shí)施應(yīng)重視運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別，大力開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供更有力工具，致力于改變學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)中去?！睅缀萎?huà)板提供了一條“數(shù)形結(jié)合”的橋梁紐帶，不但包含了圖形的繪制、運(yùn)動(dòng)、計(jì)算、度量和文字輸寫(xiě)等，不僅能夠處理一些難以繪制的圖形，而且使繪制出來(lái)的圖形具有“變換”的動(dòng)感，例如圖1-1方程的曲面，圖1-2相關(guān)勾樹(shù)的題目。各式各樣的“動(dòng)畫(huà)”模型（圖1-3三維模型），帶給學(xué)生一種煥然如新的視覺(jué)效果，從而引導(dǎo)學(xué)生從圖形中尋找問(wèn)題的。讓學(xué)生由過(guò)去枯燥沉悶的“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)檎嬲摹白鰯?shù)學(xué)”，從而實(shí)現(xiàn)由“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的過(guò)渡。幾何畫(huà)板操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大，能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中獲得無(wú)窮的樂(lè)趣，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生積

6、極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，又可以使他們?cè)趯捤赦鶒偟沫h(huán)境中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)。圖1-1圖1-2圖1-32幾何畫(huà)板在若干概念教學(xué)中的輔助作用概念是一事物區(qū)別于其它事物的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念是對(duì)實(shí)際生活中事物之間的數(shù)量關(guān)系以及物質(zhì)方面的質(zhì)的抽象與概括。概念起源于現(xiàn)實(shí)世界，是人們經(jīng)過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，從數(shù)學(xué)所要探究的問(wèn)題的眾多屬性里找出它們的關(guān)鍵特征和本質(zhì)屬性再加以抽象歸納起來(lái)的。它是數(shù)學(xué)判斷、推理、驗(yàn)證的依據(jù)和建立數(shù)學(xué)定義、定理、法則的基礎(chǔ)，由此可以看出數(shù)學(xué)概念在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中重要性，是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)以及訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)基本技能的必備條件，同時(shí)更是雙基的發(fā)展和完善的重要條件，在中學(xué)數(shù)學(xué)中屬于。但是，很多學(xué)生常常無(wú)法

7、完全領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念，一直徘徊在表層上，往往只知道事物的表面現(xiàn)象，而不知事物的本質(zhì)及其產(chǎn)生的原因。教學(xué)中如何進(jìn)行有效地概念教學(xué)，以使學(xué)生真正的理解概念？這是每名教師都在思考的問(wèn)題。數(shù)學(xué)概念具有抽象性、具體性與相對(duì)性，由于其本身的特性再加上中學(xué)學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知發(fā)展水平和思維方式上的局限性，導(dǎo)致學(xué)生難以理解在學(xué)習(xí)上遇到的那些抽象的、未經(jīng)常碰到的數(shù)學(xué)概念。所以，教師應(yīng)通過(guò)課標(biāo)的要求和教學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)來(lái)確定恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方案的設(shè)想的計(jì)劃，使學(xué)生經(jīng)歷有關(guān)概念形成與發(fā)展的過(guò)程，從中認(rèn)識(shí)概念的前因后果和掌握其含義及定義，能夠知道概念間的相互作用，形成明確的相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，進(jìn)而獲得體驗(yàn)與理解、掌握與運(yùn)用的

8、程度。隨著基礎(chǔ)教育課程改革，教師對(duì)于概念教學(xué)這一方面產(chǎn)生了與以往不同的認(rèn)識(shí)，對(duì)概念教學(xué)都給予相當(dāng)程度的重視。但是，由于林林總總的因果關(guān)系導(dǎo)致大多數(shù)教師都只盤(pán)桓在概念的思想理論上，行動(dòng)上依舊保持按部就班的傳統(tǒng)教學(xué)模式。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)用粉筆畫(huà)出有關(guān)教學(xué)內(nèi)容的具有代表性的圖形。同時(shí)根據(jù)學(xué)生的生活實(shí)際和具體事例，在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展水平基礎(chǔ)上，找出具有代表性的圖形進(jìn)行描述和分析，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考、猜測(cè)、驗(yàn)證，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的認(rèn)知策略去解決問(wèn)題。這種教學(xué)不但有助于學(xué)生觀(guān)察圖形、理解概念，也有助于弄清概念與圖形之間的聯(lián)系，加深對(duì)概念的理解與掌握。但是，利用幾何畫(huà)板軟件來(lái)進(jìn)行輔助教學(xué)，不僅能使圖形變化

9、更多樣、展示更精彩，而且更具直觀(guān)、深刻。幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)性不僅使學(xué)生能夠生動(dòng)地觀(guān)察圖形的變化規(guī)律，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間能力與思維能力。本文所研究的若干概念是指具有幾何直觀(guān)背景的相關(guān)概念，幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)的角和圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義為例。2.1 異面直線(xiàn)所成的角異面直線(xiàn)所成的角定義：若直線(xiàn)，是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)，分別引直線(xiàn)/,/,相交直線(xiàn)和所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)，所成的角。所成的角在中學(xué)數(shù)學(xué)中不僅是重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，也是難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。它是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的的初級(jí)階段，在學(xué)生空間想象的發(fā)展上發(fā)揮著重大作用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)有一定的幫助。學(xué)生學(xué)習(xí)立定的觀(guān)察、歸納、猜想能力，但在

10、分析推理能力、空間想象能力方面比較欠缺，這時(shí)利用幾何畫(huà)板就能更加全面地闡述異面直線(xiàn)所成的角的定義，使學(xué)生易于理解和掌握概念。如圖3-1 ，平移直線(xiàn)，使直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，這時(shí)角就是所求的角。在講解線(xiàn)所成的角時(shí)，可以把平面上相交直線(xiàn)與平移出來(lái)，使學(xué)生更加直觀(guān)理解、掌握其定義。拖動(dòng)點(diǎn)e改變夾角的大小，觀(guān)察夾角的變化情況，這時(shí)就能得出面直所成的角的范圍。圖2-12.2 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義在中學(xué)線(xiàn)。橢圓的定類(lèi)似，拋物線(xiàn)的定義與橢圓、雙曲線(xiàn)的定義區(qū)別就比較大。在以往的教學(xué)模式上，教師總是直接把所要得到的結(jié)論講授予學(xué)生，并讓學(xué)生自己去理解記住，這樣使得學(xué)生無(wú)法觀(guān)察到點(diǎn)的軌跡的整體產(chǎn)生過(guò)程，更無(wú)法看到隨著常數(shù)的

11、大小的改變時(shí)，圖形由橢圓變成拋物線(xiàn)，又由拋物線(xiàn)變成雙曲線(xiàn)這一整個(gè)形成歷程。所以，學(xué)生只能通過(guò)自己的想象能力去理解、挖掘其間的關(guān)系，這就造成了學(xué)生往往只知其然而不知其所以然，記憶不夠深刻，無(wú)法靈活地使用知識(shí)。這時(shí)數(shù)與形的結(jié)合能夠幫助學(xué)生更為生動(dòng)形象地去描述和解答這一問(wèn)題。在傳統(tǒng)的教學(xué)上，雖然教師也動(dòng)手去畫(huà)圖，但是在講課過(guò)程中卻無(wú)法真正達(dá)到數(shù)形的圓滿(mǎn)結(jié)合，最終也只不過(guò)是紙上談兵。然而，隨著幾何畫(huà)板的產(chǎn)生，它不但為我們展現(xiàn)了一塊動(dòng)態(tài)圖形的“黑板”，并且?guī)?lái)了一個(gè)相對(duì)理想的讓學(xué)生踴躍去探究問(wèn)題的環(huán)境。運(yùn)用幾何畫(huà)板來(lái)制作教學(xué)課件，可以準(zhǔn)確地繪制出圓錐曲線(xiàn)，而且利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)功能能使學(xué)生從整體上觀(guān)察到

12、三種曲線(xiàn)的形成變化過(guò)程，其中，對(duì)于圖形中數(shù)量上的變化也是不言而喻的。這樣不僅節(jié)省了教師所用去的繪圖時(shí)間，提高了教學(xué)效率，而且為學(xué)生提供了一個(gè)更加生動(dòng)形象的圖形，大大提高了直觀(guān)效果，有利于鍛煉學(xué)生的空間想象能力，讓學(xué)生在感觀(guān)上對(duì)圓錐曲線(xiàn)的認(rèn)識(shí)達(dá)到一個(gè)更深的層次。下面介紹橢、雙線(xiàn)、拋線(xiàn)的形成過(guò)程，從而更深刻的體會(huì)其定義，并理解圓定義。圖2-2圖2-3當(dāng)軌跡是雙曲線(xiàn)，選擇點(diǎn)d，用鍵盤(pán)上的光標(biāo)移動(dòng)鍵左右移動(dòng)點(diǎn)d，可見(jiàn)到bd的度量大小和的大小隨著一起改變；改變圓f的半徑大小時(shí)，直線(xiàn)b和b到定直線(xiàn)的距離大小也隨著發(fā)生改變，比值e保持不變，點(diǎn)g、h分別在右邊的軌跡上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)i和j分別在左邊的軌跡上運(yùn)動(dòng)或同時(shí)

13、消失。選擇點(diǎn)，點(diǎn)，可見(jiàn)的度量大小發(fā)生變化，比值e和的大小也隨著發(fā)生變化，軌的形狀也不斷變化，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，e1，這時(shí)軌跡是雙線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)和重合，e=1，軌跡變成一支拋物線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)和之間，e1,軌跡變成橢圓。3幾何畫(huà)板在若干定理教學(xué)中的輔助作用數(shù)學(xué)命題包括定義、定理、公式和法則等等。我們知道數(shù)學(xué)命題是由若干個(gè)概念聯(lián)系而來(lái)的且包括條件和結(jié)論，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)這一學(xué)科的一個(gè)完整的骨干內(nèi)容。所以，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須熟練地理解和掌握數(shù)學(xué)命題，從而了解數(shù)學(xué)學(xué)科的體系結(jié)構(gòu)。有效的數(shù)學(xué)命題教學(xué)，不但能夠幫助學(xué)生掌握系統(tǒng)的學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且能夠幫助學(xué)生發(fā)展他們的邏輯思維、提高獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力。讓學(xué)達(dá)形式、

14、推斷過(guò)程和驗(yàn)證方式，運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)命題進(jìn)行推理、假設(shè)或者驗(yàn)證，從而掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力是數(shù)學(xué)命題教學(xué)的根本任務(wù)。并在此基礎(chǔ)到的識(shí)結(jié)構(gòu)。教學(xué)中要保證學(xué)生在他的學(xué)習(xí)過(guò)程中理解和領(lǐng)悟了每一個(gè)要點(diǎn)和定理。有些人也許會(huì)遺忘曾經(jīng)學(xué)到的幾何，但是，在空間知覺(jué)和想象過(guò)程中停留過(guò)的痕跡將會(huì)一直保持。幾何畫(huà)板具有將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)變成形象的問(wèn)題和靜態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)問(wèn)題的功能，學(xué)生通過(guò)數(shù)量、圖形位置的變化關(guān)系，不但加深了對(duì)定理的領(lǐng)會(huì)、更識(shí)到定理的一般性，并且有助于理的掌握與運(yùn)用。下面以三垂線(xiàn)定理和正弦定理為例：3.1 三垂線(xiàn)定理 數(shù)形合教學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的影響，可以使數(shù)系與圖形性

15、質(zhì)之間互相轉(zhuǎn)變，幫助學(xué)生更好地理解與解決問(wèn)題。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，雖然教師也經(jīng)常貫穿際操作中卻很難實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合。而利用幾何畫(huà)板則可輕松實(shí)現(xiàn)。例如，在教授“三垂線(xiàn)定理”時(shí)（三垂線(xiàn)定理直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。），我們利用幾何畫(huà)板來(lái)制作課件，在教學(xué)中引入圖形運(yùn)動(dòng)變化，避免了靜形的形態(tài)、大小、位置等因素對(duì)學(xué)生理解知識(shí)的干預(yù)，使學(xué)生能夠從動(dòng)態(tài)的角度去探究定理的產(chǎn)生、發(fā)展以及運(yùn)用等階段，從而更加直觀(guān)形象地去理解掌握定理。在教學(xué)時(shí)，用幾何畫(huà)板演示課件要注意以下幾種動(dòng)態(tài)變化：一、 改平移；二、 平移平之間或兩邊；三、 平移或翻轉(zhuǎn)平面。讓學(xué)生了解圖形改變后定理依舊維持不變的規(guī)律，從而得到定理的特點(diǎn)：

16、三垂線(xiàn)定理與直線(xiàn)在平面內(nèi)的位置，平面的位置，斜線(xiàn)的位置無(wú)關(guān)，只與斜線(xiàn)、斜線(xiàn)在平面。圖3-1圖3-23.2 正弦定理這節(jié)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)必五第一章解三角形的第一容，與初三角邊與角的基系有著密切的聯(lián)系與判定三形的全也有密系。在實(shí)際生活和社會(huì)生產(chǎn)上都存在各種各樣的解三角形事件，在考試上它也占有的相當(dāng)大的比例，解三角形與三數(shù)知識(shí)的聯(lián)系是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重、難點(diǎn)之一。因此，正弦定理的知識(shí)非常重要。正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等。幾何畫(huà)板具有度量、計(jì)算和繪畫(huà)等功能，利用幾何畫(huà)板我們可以繪制出任意大小的三角形，如圖3-3、3-4，并度量出三角形相關(guān)長(zhǎng)度和角度的大小。觀(guān)察圖形我們可以清楚

17、地發(fā)現(xiàn)abc的三邊與其所對(duì)應(yīng)的角的正弦的比值相同。幾何畫(huà)板的好處之一就是靈活性，當(dāng)我們隨意移動(dòng)abc的任和一個(gè)頂點(diǎn)，abc的形狀會(huì)跟著變化，而且abc各邊的長(zhǎng)度、各角的角度和各角的正弦值也會(huì)隨著更改，這時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)abc的三邊與它們所對(duì)應(yīng)的角的正比值總是相同。利用幾何畫(huà)板直觀(guān)生動(dòng)地演示圖形，隨著圖形的變化，度量值也會(huì)隨著改變，使得數(shù)與形的結(jié)合得到了完美的實(shí)現(xiàn)。同時(shí)也使學(xué)生更好地理解了“三角形各邊和它所對(duì)的角的正弦的比總是相等的”這一不變規(guī)律。圖3-3圖3-44幾何畫(huà)板在線(xiàn)性規(guī)劃模型教學(xué)中的輔助作用計(jì)算機(jī)信息技術(shù)的展現(xiàn)與快速進(jìn)步為數(shù)學(xué)教學(xué)的更新創(chuàng)造了條件，同時(shí)也為學(xué)校教革，并且越來(lái)越受到重視。

18、這時(shí)，幾何畫(huà)板在教學(xué)活動(dòng)中的作用越來(lái)越不可忽視，下面以線(xiàn)性規(guī)劃教學(xué)為例加以闡述和說(shuō)明。4.1 關(guān)于線(xiàn)性規(guī)劃線(xiàn)性法之一，是代才發(fā)來(lái)的一門(mén)新興科。它的中心問(wèn)題是研究如何統(tǒng)籌安排，以利用最少的能源去取得最佳效果，有關(guān)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、資源管理配置、軍事以及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)等眾多范疇的問(wèn)題都已經(jīng)逐步地表達(dá)為線(xiàn)性規(guī)劃模型來(lái)解決，再者由于多媒體網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的推廣與進(jìn)步，線(xiàn)性規(guī)劃模型在現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)生產(chǎn)中的重要性越來(lái)越突出。線(xiàn)性運(yùn)用數(shù)形識(shí)鏈條：以二元一次條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法解決簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。從問(wèn)題背景上來(lái)看，題目包含了好幾個(gè)已給出的數(shù)據(jù)、不同的字母表達(dá)形式、多個(gè)不等關(guān)系與不等式，從學(xué)生的學(xué)

19、習(xí)方式上看，大部分學(xué)生對(duì)圖解法還處于一知半解的狀態(tài)，未能完全領(lǐng)悟數(shù)與形的結(jié)合這一思想，這就滯礙與不易。線(xiàn)性規(guī)基礎(chǔ)，在高考中經(jīng)為線(xiàn)性函數(shù)，另一類(lèi)目標(biāo)函對(duì)這兩大類(lèi)型利動(dòng)態(tài)過(guò)程，數(shù)形結(jié)合，突破教學(xué)重難點(diǎn)。用幾何畫(huà)板研究線(xiàn)性規(guī)劃，具有直觀(guān)性、準(zhǔn)確性等特點(diǎn)，能動(dòng)態(tài)地揭示點(diǎn)、線(xiàn)間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，便于探求軌跡、研究各類(lèi)特點(diǎn)、處理教學(xué)中的疑難雜癥。4.2 具體案例設(shè)計(jì)與分析在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，常常需要考慮兩個(gè)方面的問(wèn)題，一方面是在現(xiàn)有人力和資源的條件下，怎樣組織安排才能取得最大經(jīng)濟(jì)效益；另一方面是為了完成既定任務(wù)應(yīng)怎樣組織安排才能用最少的人力和物資完成任務(wù)。前者是讓我們求在一定條件下的最大值問(wèn)題，后者是求在一定條件下的

20、最小值問(wèn)題。下面結(jié)合例題來(lái)說(shuō)明：例1：某工廠(chǎng)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要專(zhuān)用設(shè)備加工和消耗銅材和鋼材兩種原料。生產(chǎn)甲產(chǎn)品需要銅材6千克和鋼材3千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要銅材3千克和鋼材7千克。甲、乙產(chǎn)品需要專(zhuān)用設(shè)備加工時(shí)數(shù)都為5小時(shí)。已知甲的單位產(chǎn)品利潤(rùn)是元，乙的單位產(chǎn)品利潤(rùn)是100元；工廠(chǎng)現(xiàn)有銅材為9000千克，鋼材為12000千克，專(zhuān)用設(shè)備能加工的總時(shí)數(shù)為10000小時(shí)。問(wèn)在現(xiàn)資源條件下，甲、乙產(chǎn)品各需要制作多件，才能夠使得的利多？把這一問(wèn)題用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)。【問(wèn)題解析】根據(jù)題目分析我們可以把各種產(chǎn)品的原料消耗數(shù)（kg）和專(zhuān)用設(shè)備加工時(shí)數(shù)（h），以及現(xiàn)有資源數(shù)和單位產(chǎn)品利潤(rùn)（元）如表4-1所示

21、：項(xiàng)目甲乙現(xiàn)有資源/ kg銅材/ kg鋼材/ kg專(zhuān)用設(shè)備加工時(shí)數(shù)/h單位產(chǎn)品利潤(rùn)/元6356037510090001200010000(1)設(shè)甲產(chǎn)品安排生產(chǎn)件，乙產(chǎn)品安排生產(chǎn)件，該廠(chǎng)的目標(biāo)是能夠獲得最大的利潤(rùn)，令s為所得利潤(rùn)，則用數(shù)學(xué)式子可以表達(dá)成：max s=60x+100y但是，該廠(chǎng)的生產(chǎn)受到產(chǎn)品的原料和專(zhuān)用設(shè)備加工時(shí)數(shù)以及現(xiàn)有資源數(shù)的限制，我們也要考慮這些限制因素，使生產(chǎn)兩種產(chǎn)品對(duì)產(chǎn)品的原料、專(zhuān)用設(shè)備加工時(shí)數(shù)和現(xiàn)有資源數(shù)的消耗不得超過(guò)它們各自的可提供量，即：當(dāng)然還有一個(gè)限制因素，就是甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量不能是負(fù)數(shù)，所以還要增加非負(fù)限制：x0，y0(2) 首先利用幾何畫(huà)板繪制函數(shù)6x+3

22、y=9000、3x+7y=12000和5x+5y=10000圖像，這三個(gè)圖像交于b、c兩點(diǎn)；如圖五邊形oabcd區(qū)域即為可行域。（3）利何畫(huà)板構(gòu)數(shù)的功能，將s=60x+100y構(gòu)成能夠變化的參數(shù)，對(duì)s的不同取值，就能夠得出一系列的平行直線(xiàn)。可以看出，問(wèn)題的最優(yōu)解就是這些平行線(xiàn)中縱橫距最大（或最小）的一條直線(xiàn)與可行域交點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）作初始等值線(xiàn)60x+100y =0，將直線(xiàn)向上平移，利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)功能，我們可以觀(guān)察到當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)c時(shí)，可以使s最大。圖4-1例2：某食品廠(chǎng)用甲、乙兩種原料制作兒童食品，甲種原料每公斤含營(yíng)養(yǎng)素a、b、c分別是10、3、4個(gè)單位，乙種原料每公斤含a、b、c分別是2

23、、3、9個(gè)單位，已知甲、乙兩種原料每公斤的價(jià)格分別是3.3元和2.4元。如果對(duì)制成食品的營(yíng)養(yǎng)要求含a、b、c分別不少于20、18、36個(gè)單位，問(wèn)在保證營(yíng)養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)的條件下，兩種原料如何配比才能使成本最低？【問(wèn)題解析】本題來(lái)自于日常生活中生產(chǎn)，屬于線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，用幾何畫(huà)板解決輕而易舉。(1)設(shè)計(jì)劃使用甲種原料x(chóng)個(gè)單位，乙種原料y個(gè)單位，成本費(fèi)用為s，則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：min s=3.3x+2.4y(2)利用幾何畫(huà)板的繪圖功能建直標(biāo)系xoy，繪制出直線(xiàn)10+=20, 3x+3y=18，4x+9y=36，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行區(qū)域（圖5-2），此可行域是無(wú)界的。（3）作出初始等值線(xiàn)：3.3x+2.4y=

24、0，點(diǎn)擊【探求最值】按鈕，可以看到s的值隨著等值線(xiàn)的移動(dòng)而改變，當(dāng)?shù)戎稻€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)d時(shí)，它既與可行域相交，又能使s取得最小值，因此d點(diǎn)的坐標(biāo)就是問(wèn)題的最優(yōu)解。圖4-2例3:某服裝廠(chǎng)計(jì)劃招收車(chē)間主任x名，縫紉工y名，且x和y需要滿(mǎn)足以下條件，則z=2x+y的最大值和最小值是多少？圖4-3首先利用幾何畫(huà)板新建函數(shù)功能繪制函數(shù),與x=1像，這個(gè)圖兩交于,；如圖abc區(qū)域即為可行域。利用幾何畫(huà)板構(gòu)造參數(shù)的功能，將z=2x+y構(gòu)造成可以改變的參數(shù)，點(diǎn)擊【探求最值】按鈕，可以觀(guān)察到目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的變化情況，這時(shí)就可以直觀(guān)得到所要求的z的最大值與最小值。幾何板所特有的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)與豐富的功能是以往任學(xué)手段和方式所無(wú)法比擬的，而且提高了學(xué)效率，相信幾板在將來(lái)肯定能夠獲得廣泛的應(yīng)用。幾板輕巧、便捷、容大、易操作，運(yùn)用幾板進(jìn)行輔助教學(xué)不但提了課堂的教學(xué)效率，同時(shí)為知息量的擴(kuò)大提供了平臺(tái)。通過(guò)計(jì)算機(jī)信息技術(shù)，教師和學(xué)生互相交流、探討他們所設(shè)計(jì)出來(lái)的幾何畫(huà)板上的問(wèn)題?？梢?jiàn)，多媒體技術(shù)能夠?yàn)閹熒尸F(xiàn)更為快捷的管理和運(yùn)用信息