Hilbert空間中的框架與Riesz基

1、桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)jo urnal o f gu il in un ivers ity o f el ectro n ic technolo gy第 25 卷 第 3 期2005 年 6 月v o l. 25, n o. 3j un. 2005h ilb e r t 空間中的框架與r ie sz基丁宣浩, 孫建明, 楊美香(桂林電子工業(yè)學(xué)院 計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系, 廣西 桂林 541004)細(xì)致地討論了在h ilbe r t 空間中的框架與r ie sz 基的關(guān)系。 設(shè)v j 是l 2 (r ) 的一個(gè)多分辨分析,摘要: j w j v j = v j + 1 , 母小波 (x ) w 0 使得

2、j k (x ) = 2 2 (2j x - k ) k z是w j 的r ie sz 基。將證明j , k j ,k z是整個(gè)空間l 2 (r ) 的r ie sz 基并且存在唯一的對(duì)偶小波 使得 與 滿足雙正交條件。關(guān)鍵詞: 框架; r ie sz 基;中圖分類號(hào): tn 911多分辨分析; 小波文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: a文章編號(hào): 100127437 (2005) 03279205k z h , 如果存在正常數(shù)a 和bck l2 都有使得對(duì)一切序列1定義設(shè)z 是整數(shù)全體, r 是實(shí)數(shù)全體, l 2 (r ) 為r 上的勒貝格平方可積函數(shù)全體。c 為復(fù)數(shù)全體,t = z : | z | = 1 c為

3、 單位圓周。 在小波分析的理論和應(yīng)用中, 框架與 r ie sz 基以及多分辨分析起著重要作用。 雖然許多小 波分析的專著都有這些概念1- 7 , 但它們之間的關(guān) 系并不是十分清楚。為討論框架與r ie sz 基的關(guān)系以 及 多分辨分析構(gòu)造 r ie sz 基的作用, 先給出所需的定 義。a c 2k ck k b ck ,22(1)k并且k: k z的線性張成的子空間在 h 中稠密, 則稱k : k z是h 的r ie sz 基。定 義 3設(shè) h 為 可 分 的 h ilb e r t 空 間, 向 量 族j j j h , 如果存在正常數(shù)a 和b , 使對(duì)所有的 f h 成立a f | (

4、f , j ) |222 b f ,j j則稱j j j 為h 的一個(gè)框架, 稱a 和b果兩個(gè)框架界相等, 則稱為緊框架。為框架界。如l 2 (r ) 的閉子空間序列v j 稱為一個(gè)多定義 1分辨分析, 如果它滿足以下條件:定義 4設(shè)j j j 為可分h ilb e r t 空間 h 的一個(gè)框架, 框架算子 f : h l2 (j ) 定義為f (f ) = (f , j ) | j j , f h .這里j 是一個(gè)可列的指標(biāo)集。(1)(2) v - 1 v 0 v 1 ,閉包c(diǎn) lo s ( v j ) = l 2 (r ) ,j = - (3)(4) ( 5) v j = 0,j = -

5、f (x ) v j f (2x ) v j + 1 ,存在 (x ) l 2 (r ) 使(x -2框架與r ie sz 基k ) : k z 是v 0的一個(gè)r ie sz 基,(6) f (x ) v j f (x + 1 ) v j .根據(jù)文獻(xiàn) 2 ,框架算子有下面的一些性質(zhì):引理 1設(shè)j j j 為可分h ilb e r t 空間 h 的一個(gè) 框架, 其框架界為a 和b , f 是框架算子, 則有:2稱 (x ) v 0 為生成l 2 (r ) 的多分辨分析v j 的尺度函數(shù)。 所謂r ie sz 基的定義為:f 是h l j ) 的有界線性算子, f 2 b ;2 (1)(2)32

6、(f 的伴隨算子 f : l j h)的作用為定義 2設(shè)h 是可分的h ilb e r t 空間, 向量族k: 收稿日期: 2005- 02- 19基金項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 ( 10361003)作者簡(jiǎn)介: 丁宣浩 ( 19572) , 男, 四川開(kāi)江人, 桂林電子工業(yè)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系教授, 主要研究算子理論與小波分析.1 | (f , .f 3 cj =(3) f 3 f 是hcj j , cj l2 (j ) ;| 2j )aj j上的有界可逆線性算子;j j綜合上述, 對(duì)任意 f h 有( 4) 令 j = (f 3 f ) - 1 j , 則 j j j 也是h的框架,

7、a f 2 | (f , j ) | 2 b f 2,框架界為b - 1 和a - 1 , 稱 j j j 為j j j 的對(duì)偶框架;j j即j j j 是 h 的一個(gè)框架。 且框架界與 r ie sz 界相同。 由 (1) 式知j j j 是 l2 線性無(wú)關(guān)的。 證明(2) (1) . 設(shè)對(duì)任意 f h 有設(shè) f 是相對(duì)于框架 j j j 的框架算子, f3( 5)是其伴隨, 則 f3 f = f 3 f = i 為 h上的恒等算子, 從而任意 f h有兩種級(jí)數(shù)表示:a f | (f , j ) |222 b f .f = (f , j ) j = (f , j ) j.j jj jj j令

8、算子f h l2 (j ) , f h , f (f ) = (f , j ) j j ,容易看到f 是線性有界且下方有界算子, 因此f 有閉 值域且f 2b . f 的伴隨算子下面的定理 1 在文獻(xiàn) 3中以不同的形式出現(xiàn), 而且證明不完整, 這里給出完整的證明。定理 1設(shè)j j j 是可分h ilb e r t 空間 h列向量, 則下述命題等價(jià):中的一f l j h , cj l2 (j ) , f 3 cj = cj j.32 ()(1)j j j 是h 的r ie sz 基;j j(2) j j j 是h 的框架, 且j j j 是l2 (j ) 線性無(wú)關(guān)的, 即對(duì)任意cj j j l2

9、 (j ) ,cj = f 3l2若cj = 0, 由 的線性無(wú)關(guān)性推知所jjj j有的 c = 0 .j即算子 f 3 的零空間cj j = 0,如果則k e rf 3 = 0 ranf = ranf =j jcj = 0, j j .3 ) 2 (k e rf =)l j .- 1因此 f 存在有界逆算子 f且容易得到證明( 1) 在正常數(shù)a 和b( 2).j j j 是 h的 r ie sz 基, 則存f - 1 2 1 ,使對(duì)任意cj j j a這樣 f 3 - 1 h l2 (j ) 是有界線性的, 對(duì)cj l2 (j ) ,l2 (j )a cj 2 cj j 2 b cj 2(1

10、)有j j定義算子f 3 - 1 (cj j ) = cj j j s : l2 (j ) h , cj j j l2 (j ) ,j j3 - 1 2cj fcj j 22s cj j j = cj j ,j jj j則s 是有界線性算子且 是下方有界的, s 2 b1 且scj j 2 .a有閉值域, 即 rans = rans h . 但是j j j 的線性張成 空 間 sp an j : j j rans , 由 r ie sz 基 的 定 義,j j2 (對(duì)c lj ) 成立。ja cj cj j =22sp an j j j = h , 因此 rans = h . 這樣 s是有界可

11、逆j j線性算子。由逆算子定理, s - 1 是h 到 l2 (j ) 上的有界f 3 c 22j b cj .線性算子, 且容易看到s - 12 1 . 又 s對(duì)任意 f h , 由引理 1 知,的伴隨算子af = (f , j ) j ,s 3 : h l2 (j ) 滿足j js 3 f (f , j ) j j l2 (j ) , f=h故 j j j 的線性張成在 h 中稠密, 因此 j j j 是 h| (f , j ) | 2 =的r ie sz 基。 證畢。推論 1如果 j j j 是可分 h ilb e r t 空 間 h 的r ie sz 基, 則任意 f h , 存在唯一

12、的j js 3 f 2 b f 2.而s 3 - 1 l2 (j ) h , f h , s 3 - 1 (f , j ) =cj j j l2 (j ) , 使得 f = cj j.f ,j j若j j j 是h ilb e r t 空間h 的 r ie sz 基,s 3 - 1 (f , j ) 2 推論 2f 2 =于是s 3 - 1 2 (f , j ) 2 j j j 是 j j j 的 對(duì) 偶 框 架, 則 j j j 也 是 h 的r ie sz 基。定理2閉子空間,取所有的 cj = 0, 便有a d j 2 cj j 2 b d j 2 .設(shè)v 1 , v 0 ,w 0 都是

13、可分h ilb e r t 空間h的j又對(duì) 任 意 g w 0 v 1 , 由 于 j , j j z 是 v 1 的r ie sz 基, 因而存在序列cj , d j l2 使得v 1 = v 0 w 0 ,若j j j 是v 0 的r ie sz 基, 則j j j 是w 0 的r ie sz 基 的充分必要條件是j , j j j 是v 1 的r ie sz 基。cj j + d j j ,g =jj從而證明(1)先證必要性。f v 1 , 可唯一分解為f = f 0 + g 0 ,g - d j j = cj j w 0 v 0 = 0.jj其中f 0 v 0 , g 0 w 0.這樣

14、 g = d j j , j j z 的線性張成在w 0 中稠cj = j , g 0 =這樣存在 l2 中的序列cj , d j 使 f 0 =j密。 因此j j z在w 0 的r ie sz 基。 證畢。設(shè)尺度函數(shù) (x ) 生成l 2 (r ) 的多分辨分析v j ,jd j j , 從而jj 2則(x - k ) k z是v 0 的r ie sz 基。令 j k (x ) = 2f = cj j + d j j , j , j j j jj(2j x - k ) , 則j , k k z是v j 的 r ie sz 基, 且j , k k z 的 r ie sz 界與 (x - k )

15、 k z 的 r ie sz 界相 同。的線性張成在v 1 中稠密。 又定義j l2 v 1 讓 j (cj , d j ) = (cj j +d j j ),j jj (cj , d j ) 2則(cj j + d j j ) 2 3由多分辨分析生成的r ie sz 基jj2 (cj j 2+ d j j 2)設(shè)尺度函數(shù) (x ) 生成l 2 (r ) 的一個(gè)多分辨分析v j ,w 0 + v 0 = v 1 , 兩尺度關(guān)系的頻域形式為j是有界線性算子。 明顯的j (cj , d j ) = 0 cj =jjd j = 0, () = p (z ) ( ) , 2即j是單射。 又f v 1

16、, f = f 0 +取函數(shù) (z ) , 使?jié)M足0 m | (z ) | m g 0 ,其中f 0 v 0 , g 0 w 0.且 (-令z ) = - (z ) 對(duì)幾乎所有的 z t 成立。根據(jù)r ie sz 基的性質(zhì), 存在唯一的 l2 序列cj , d j 使 (q (z ) = (-z ) p -z ) ,f 0 = cj j , g 0 = d j j , = q z ) ( )jj(則由方程)(于是j (cj , d j ) = f , 故j 是滿射。根據(jù)逆算子定理, j存在有界的逆算子j - 1. 這樣對(duì)任意cj , d j l2 ,cj , d j = j - 1j cj ,

17、 d j j - 1 j cj , d j ,2確定的小波 (x ) w 0 且(x - k ) k z是w 0 的r ie sz 基。j , k (x ) = 2j 2 (2j x - k ) ,令w j = sp an j , k ) k z,故j - 1 - 2 cj , d j 2 j cj , d j 2 =則j , k (x k z是w j 的r ie sz 基。很自然的要問(wèn),)2 ( (cj j + d j j ) 2 整個(gè)集族j , k (x ) j , k z 是l r ) 的 r ie sz 基嗎?我們的回答是肯定的。設(shè)兩尺度序列p n , qn l2 , (x - k )

18、 k z是w 0 的r ie sz 基, 則兩尺度矩陣j2 (b 1 + b 2 ) cj , d j 2因此j , j j j 是v 1 的r ie sz 基。(2)充分性。 設(shè)j , j j j 是v 1 的 r ie sz 基,p (z )q (z )p (-q (-z )z )則 存在正常數(shù)a , b 使得對(duì)任意cj , d j l2 l2成立a cj , d j 2 m (z ) =幾乎處處可逆,g (z )h (z )g (-z )t ( ) - 1cj j + d j j 2mz =h (- z )jjb cj , d j 2 ,中的元素都屬于l 2 (t ) , 令2 (p (

19、z ) = g (z ) , q (z ) =h (z )波, 從而j , k j , k z是lr ) 的r ie sz 基。b (z )b (z )由尺度函數(shù) (x ) 可以構(gòu)造出小波函數(shù)證明0 a 1 b (z ) b 1 ,由于(x ) 使得(x -k ) k z是w 0 的r ie sz 基。 這樣就所以p (z ) , q (z ) 也都屬于l 2 (t ) ,度函數(shù)與對(duì)偶小波由此確定的對(duì)偶尺可以如引理 2 一樣構(gòu)造 (x ) 與 (x ) , (x ) 生成多分辨分析v j , (x ) 生 成 小 波 空 間 w j , 而 且 v j (w ) = p (z ) ( ) ,

20、w j , 但是w j = w j , 因此v j w j , 這樣便有2l 2 (r ) = w - 1 w 0 w 1 (w ) = q (z ) ( )由于j , k k z是w j 的r ie sz 基, 所以2中定理4. 3 在假定兩尺度(j , k , l, m ) = 0,都屬于v 1 l 2 (r ) , 文獻(xiàn)2對(duì) j l 成立, 即 是半正交小波。又根據(jù)(x - k ) k z 是w 0 的 r ie sz 基容易序列p n , qn l2 的情況下仍然成立, 即有引理 2如果(x - k ) k z 是w 0 的 r ie sz推出j , k k z是w j 的具有同樣 r

21、 ie sz 界的 r ie sz基, 則如上定義的函數(shù) (x ) 與 (x ) 滿足, l2 有基, 即存在正常數(shù)a , b , 使得對(duì)一切cj k(0, n , 0, m ) = n , m , (0, n , 0, m ) = n, m ,22a| cj , k | cj , k j , k (0, n , 0, m ) = 0, (0, n , 0, m ) = n , m z.0,k = - k = - 正如文獻(xiàn) 2所指出的, 記 | cj , k |2 j ,b (2j x -j , k (x ) =k ) ,2k = - j j , k (x ) =2 2 (2j x -k ),

22、j , k j , k cl, k l, k , j l,由于c定義k = - k = - 這樣根據(jù)勾股定理就得到vj= clo sl 2 (r ) ( j , k k z) ,wj= clo sl 2 (r ) (j , k k z) ,這時(shí), v j 也形成l 2 (r ) 的一個(gè)多分辨分析, 并且v j + 1 = v j + w j ,由引理 3 可得 | cj , k | 2 aj = - k = - cj , k j , k 2 =j = - k = - v j wj , v w j , j z, cj , k j , k 2 j, 以及 , 滿足雙正交的條件:j = - k =

23、- (j , k , l, , m ) = (j , k , l, , m ) =b | cj , k | 2 .j , l r k , m,j = - k = - j , l r k , m .j , k j , k z的線性張成在l 2 (r ) 中的稠密性是清一般認(rèn)為, v j 與v j 是不一樣的多分辨分析, 但筆 者認(rèn)為v j 與v j 是一樣的多分辨分析, 即有如下的 結(jié)果。引理 4給定兩尺度序列p k , qk l2 , (x -2 ()楚的, 所以j , k j , k z是l r 的r ie sz 基。證畢。一般說(shuō)來(lái), r - 函數(shù)不一定是 r - 小波, 但定理 3 肯定了

24、, 由多分辨分析產(chǎn)生的母小波 是半正交小 波, 當(dāng)然也是r - 小波。的對(duì)偶就是依據(jù)引理2 定義 的 , 它們滿足雙正交的條件(j , k , l, m ) = j , l k , m從而每一個(gè) f l 2 (r ) 有兩個(gè)小波級(jí)數(shù)表示:k ) k z是w 0 的r ie sz 基, 設(shè) (x ) 與 (x ) 如引理 2中所定義, 則 (x ) v 0 , (x ) w 0 ,而且 (x - k ) k z是v 0 的r ie sz 基, (x - k ) (f , j , k ) j , k (x ) =f (x ) =k z是w 0 的 r ie sz 基, 從而v j = v j 及w

25、 j = w j , jj , k(f , j , k ) j , k (x ).z, 與 生成同樣的多分辨分析。j , k由于由一個(gè)尺度函數(shù)可以生成許多的母小波, 因此構(gòu)造對(duì)偶小波的方法不是唯一的。但是一個(gè)已知的母小 波的對(duì)偶小波卻是唯一的。任 意 給 定 l 2 (r ) 的 一 個(gè) 多 分 辨 分 析定 理 3v j , 設(shè)w j v j = v j + 1 , 則必然有w j v j , 從而l 2 (r )有正交和分解:l 2 (r ) = w - 1 w 0 w 1 由l 2 (r ) 的多分辨分析產(chǎn)生的小波 必定理 4然有一個(gè)唯一的對(duì)偶 , 使得j , k j , k z與j ,

26、 k 而且由尺度函數(shù) (x ) 生成的母小波 (x ) 是半正交小由 f 的任意性, 得出 = 3 . 證畢。j , k z都是l 2 (r ) 的r ie sz 基, 且滿足雙正交條件:(j , k , l, m ) = j , l k , m證明: 只需證明對(duì)偶的唯一性。事實(shí)上, 對(duì)每一個(gè)f l 2 (r ) 都有兩個(gè)小波級(jí)數(shù)表示:參考文獻(xiàn):1y. m eye r 著. 尤眾譯. 小波與算子 m .司, 1992.北京: 世界圖書出版公f (x ) = (f , j , k ) j , k (x ) =2程正興. 小波分析算法與應(yīng)用 m . 西安: 西安交通大學(xué)出版社,1998.崔錦泰著,

27、 程正興譯. 小波分析導(dǎo)論 m . 西安: 西安交通大學(xué)出 版社, 1995.j , k (f , j , k ) j , k (x ) .3j , k假設(shè) 3 也是 的對(duì)偶, 那么每一個(gè) f l 2 (r ) 也有小 波級(jí)數(shù)表示:4馮象初, 甘小冰, 宋國(guó)香. 數(shù)值泛函與小波理論 m .電子科技大學(xué)出版社, 2003.西安: 西安f (x ) = (f , 3 k ) j , k (x ) =j ,5m a lla t s. a w ave le t t o u r o f s igna l p ro ce ssing m . a cadem icp re ss, n ew yo rk , 1999.bo gge ss a , n a rcow ich f j. a f ir st co ue se in w ave le t s w ithfo u r ie r a na ly sis m . a cadem ic p re ss, n ew yo rk , 2001.d aubech ie s i. t en l ec tu re s o n w ave le t s m . p h ilade lp h ia: s iam p ub l, 1992.j , k (f , j , k ) 3 k (x ) .j