關(guān)于行列式理論及應(yīng)用

1、關(guān)于行列式理論及應(yīng)用 商偉（渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 121000 中國(guó)）摘要: 行列式是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分，它是線性代數(shù)的基礎(chǔ)和核心。雖然行列式的產(chǎn)生和應(yīng)用是在解線性方程組中，但是現(xiàn)在它作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，不僅在解線性方程組、矩陣這些數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要地位，而且在其他學(xué)科分支都有廣泛的應(yīng)用，可以說(shuō)它是數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工科許多課程的重要學(xué)習(xí)工具。行列式也為解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了許多方便，如配料問(wèn)題等。本文針對(duì)行列式這一數(shù)學(xué)工具，進(jìn)行系統(tǒng)討論，從不同的角度理解了行列式的定義，重點(diǎn)證明了行列式性質(zhì)，介紹一些展開(kāi)定理，總結(jié)了行列式的幾種計(jì)算方法，如化三角形法，降階法，換元法，遞推法，輔

2、助函數(shù)法，公式法，數(shù)學(xué)歸納法等，并結(jié)合例題說(shuō)明行列式計(jì)算的技巧性和靈活性，最后舉例說(shuō)明了行列式在部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 行列式，性質(zhì)，證明，計(jì)算，應(yīng)用。determinant theory and application shang wei (department of mathematics bohai university liaoning jinzhou 121000 china)abstract: the determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, i

3、t is the foundation and the core of the linear algebra. although the production and the application of the determinant are in the solution system of linear equations, but now as one of the important mathematical instrument, not only in the solution system of linear equations, in the matrix these mat

4、hematics questions has the important status, moreover all has the widespread application in other discipline branches, we can say that it is an important study tool which in mathematics, the physics as well as the engineering course many curricula. the determinant also brought about convenient for t

5、he solution actual problem such as ingredient question . this article in view of the determinant this mathematical instrument, carries on the system discussion, had understood from the different angle to the determinant definition, had proven the nature of the determinant on emphasis,introduced some

6、 expansion theorem, summarized several computational methods of the determinant,such as the triangle law, the depression of order, the substitution of variables, the recursion law, the auxiliary function method, the formula law, the mathematical induction and so on, and union sample question showing

7、 determinant computation skill and the flexibility, finally have explained the application with examples of the determinant in the partial mathematics question and the actual problem.key words: determinant, nature, proof, computation, application.引言行列式是線性代數(shù)中重要的一部分，雖然相對(duì)整個(gè)線性代數(shù)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，它只是一小部分，但是它的作用不可忽視，有

8、著重要的地位。因?yàn)樵谝恍?shù)學(xué)問(wèn)題中，往往會(huì)涉及到行列式問(wèn)題，而行列式的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。行列式的計(jì)算方法較多，技巧性較強(qiáng)，要熟練掌握這些方法與技巧，首先必須熟練掌握行列式的定義、性質(zhì)及展開(kāi)定理。一、行列式的定義一般地，階行列式的定義1為 稱(chēng)上式右端為階行列式的展開(kāi)式，其中，表示對(duì)這個(gè)數(shù)組成的所有排列取和，可稱(chēng)為通項(xiàng)。由于排列可經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列，所以適當(dāng)交換通項(xiàng)中兩因子，對(duì)應(yīng)的行指標(biāo)的排列、列指標(biāo)的排列，都變換一次，所以它們的逆序之和的奇偶性不變，則有通項(xiàng)3 而為行列式展開(kāi)式中項(xiàng)的符號(hào)。又有 根據(jù)上述理論可知，行列式還有下列表達(dá)式1.設(shè)是取定的某個(gè)級(jí)排列，則 2上面式中，取為標(biāo)準(zhǔn)排

9、列時(shí)，則為取為標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)有 由行列式的定義可知，行列式有兩個(gè)特點(diǎn)：（1） 階行列式是項(xiàng)代數(shù)和，其中每一項(xiàng)是取自不同行，不同列的個(gè)元素的乘積；（2） 代數(shù)和中每一項(xiàng)帶有什么樣的運(yùn)算符號(hào)，是由這一項(xiàng)的列指標(biāo)組成排列的奇偶性確定的，列指標(biāo)的排列是奇數(shù)時(shí)，取負(fù)號(hào)；否則取正號(hào)（行指標(biāo)取成標(biāo)準(zhǔn)排列）6。行列式的另一種定義和矩陣是密切相關(guān)的，也就是說(shuō)，可以利用矩陣?yán)斫庑辛惺?。?duì)于一個(gè)階方陣用記號(hào)表示一個(gè)與矩陣相聯(lián)系的一個(gè)數(shù)，稱(chēng)這種表達(dá)式為矩陣的行列式，記作，把這個(gè)數(shù)稱(chēng)為行列式的值。綜上所述，可以簡(jiǎn)單通俗的理解行列式：行列式是的行列排列，它的值是一個(gè)數(shù)或者是一個(gè)多項(xiàng)式。當(dāng)全都是數(shù)時(shí)，行列式就是一個(gè)數(shù)；當(dāng)中含有

10、變量時(shí)，行列式就是該變量的一個(gè)多項(xiàng)式。所以兩個(gè)行列式的加法,如理解為兩個(gè)數(shù)值相加關(guān)系，與行列式的行、列是否一致無(wú)關(guān)，而矩陣的運(yùn)算則不可以不考慮行數(shù)和列數(shù)。故計(jì)算行列式就是把這個(gè)數(shù)或多項(xiàng)式求出來(lái)，至于如何通過(guò)行列式中的每個(gè)元素計(jì)算出行列式的值或解出多項(xiàng)式的具體形式，本文將在性質(zhì)后進(jìn)行討論。二、行列式的性質(zhì)及其證明行列式的性質(zhì)十分重要，因?yàn)樾辛惺綇亩x出發(fā)可解的畢竟只有少數(shù)的行列式，而對(duì)一般的階行列式，計(jì)算量則大得驚人，如果利用行列式的性質(zhì)就可以化簡(jiǎn)行列式的計(jì)算。因此，它有十分重要的理論意義和實(shí)用意義。 首先，引入轉(zhuǎn)置行列式的概念2： 即是由的行列式位置互換后得到的，稱(chēng)為的轉(zhuǎn)置行列式，所以有性質(zhì)1

11、2 行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變，即。證 將記為即，將按行列式的表達(dá)式式展開(kāi)有性質(zhì)1說(shuō)明了，在行列式中，行與列的地位相等，對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也成立。性質(zhì)2 將行列式中任意兩行（列）互換后，行列式的值僅改變符號(hào)。證 按行列式的第式展開(kāi)行列式 得證。推論1 行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素完全相同，則這個(gè)行列式的值為零。證 設(shè)行列式的第行與第行相同，如果把的第行與第行互換，所得仍為，而又由性質(zhì)2可知，則有。性質(zhì)3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外邊來(lái)?；蛘哒f(shuō)，用數(shù)乘以行列式某行（列）的所有元素，等于乘以行列式。例如 若的第行每個(gè)元素有公因子，則證 設(shè)的第行有公因子，則左端=右端推論2 如果行列式有

12、一行（列）的元素為零，則行列式的值為零。證 這是性質(zhì)3中的一種特例，得證。 推論3 如果行列式的某一行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為零。證 設(shè)第行與第行成比例，設(shè),有=在行列式理論中有幾個(gè)常用名詞：在n階行列式中，劃去元素所在的第行，第列，由余下的元素按原來(lái)的次序所排列成的階行列式稱(chēng)為元素的余子式，記為。把稱(chēng)為元素的代數(shù)余子式，把稱(chēng)為行列式的代數(shù)余子式之和，可以通俗的理解，代數(shù)余子式就是帶了符號(hào)的余子式，當(dāng)為數(shù)時(shí)，都是一個(gè)數(shù)。定理1 階行列式的值等于它的第一行每個(gè)元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和，即：為階行列式按第一行展開(kāi)的展開(kāi)式。性質(zhì)42 如果行列式的某一行（列）的元素都是兩項(xiàng)的和，

13、則可以把這個(gè)行列式化為兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的這一行（列）的元素分別是原行列式中相應(yīng)位置的兩項(xiàng)的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)，而其他位置的元素不變。簡(jiǎn)稱(chēng)分行（列）相加。即 證 由性質(zhì)4，顯然可以推廣到某一行為多組數(shù)的和的情形，則有推論4。推論4 性質(zhì)5 行列式的某一行（列）元素加上另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的倍，行列式不變，即時(shí)，證 原式左端=根據(jù)性質(zhì)3，上式中的第二個(gè)行列式為零，即左端=右端，得證。性質(zhì)6 階行列式中，某一行（列）的各元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即 證 兩邊行列式按第行展開(kāi) 同理可證 如果把余子式和代數(shù)余子式的定義擴(kuò)展一下：在一個(gè)階行列式中任意選定行列，位于這些

14、行和列交點(diǎn)上的個(gè)元素，按照原來(lái)的次序組成的級(jí)行列式稱(chēng)為行列式的一個(gè)級(jí)子式；在中劃去這行列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的級(jí)行列式，稱(chēng)為級(jí)子式的余子式；設(shè)的級(jí)子式在中所在的行列指標(biāo)分別是，則的余子式前面加上符號(hào)后稱(chēng)作的代數(shù)余子式。例如 從中取出第二、三行，第一、三列交叉處元素組成一個(gè)二階子式，記為，的余子式記為，具體為： 的代數(shù)余子式為由級(jí)子式及其代數(shù)余子式的定義，有下面引理：行列式的任一個(gè)子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致。定理2 （拉普拉斯定理7）設(shè)在行列式中任意取定了個(gè)行，由這行元素所組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式，這一定

15、理是計(jì)算行列式的一種方法。性質(zhì)7 設(shè)，給行列式中每個(gè)元素加上一個(gè)，記為，則,其中是中的。證 對(duì)加邊，有 性質(zhì)8 設(shè)，則的代數(shù)余子式之和等于證由性質(zhì)7得，取， 則 性質(zhì)9 若行列式的所有元素都加上同一個(gè)數(shù)，則其代數(shù)余子式之和不變。證 ，把中每個(gè)元素同加，=性質(zhì)10 若行列式某一行元素都等于1，則行列式等于其所有代數(shù)余子式之和。證 設(shè)，則，由，得三、行列式的計(jì)算行列式計(jì)算問(wèn)題是行列式理論的重要部分，而行列式的計(jì)算方法靈活，技巧性高，計(jì)算復(fù)雜，但是計(jì)算行列式有基本的原則：（1） 利用行列式的性質(zhì)將行列式化成比較簡(jiǎn)單的、方便計(jì)算的行列式；（2） 利用行列式理論中的展開(kāi)定理等，將高階行列式化成低階行列式

16、來(lái)計(jì)算?？傊褪前驯容^繁雜的行列式轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的行列式來(lái)計(jì)算，從而可以比較容易地得到行列式的值。在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)和運(yùn)用行列式的過(guò)程中，歸納總結(jié)了計(jì)算行列式的方法，并分別舉例分析說(shuō)明計(jì)算行列式的思想策略。如下1定義法 運(yùn)用行列式定義及表達(dá)式，結(jié)合所求行列式的特點(diǎn)，分析求解的方法，稱(chēng)為定義法。例1 在一個(gè)階行列式中，等于零的元素如果多于個(gè)，那么這個(gè)階行列式必為零。證 因?yàn)樗杂呻A行列式的定義知行列式的值為項(xiàng)代數(shù)和，而其中每一項(xiàng)都是個(gè)元素的乘積，這個(gè)元素又需要取自不同行不同列，又因?yàn)殡A行列式中一共有個(gè)元素，如果等于零的元素比還多，那么其中不等于零的元素一定比還少，也就是說(shuō)中最多有個(gè)元素不為零，所以的項(xiàng)

17、中每一項(xiàng)的各元素中必有零元素出現(xiàn)，即項(xiàng)的每一項(xiàng)都為零，故。例2 用行列式定義證明 證 展開(kāi)式中的一般乘積項(xiàng)，其中分別取自第行，它們又不能取自相同的列，所以這個(gè)數(shù)中最多有個(gè)分別取自第列，而至少有個(gè)數(shù)為零，所以原式?？梢?jiàn)，定義法雖然在計(jì)算中應(yīng)用較少，但并不是沒(méi)有用處，有些行列式運(yùn)用定義法才能快捷的得出答案。2化三角形法 利用行列式的性質(zhì)，將行列式化成上（下）三角形行列式，然后再計(jì)算行列式的值的方法稱(chēng)為化三角形法。例3 計(jì)算階行列式 解 顯然第一個(gè)等號(hào)由提取每列公因子得到的，第二個(gè)等號(hào)，由后邊各列的（-1）倍加到第一列得到的，所以，一般地對(duì)于箭形行列式 如果，則將第列的倍加至第一列就將行列式化成了上

18、三角行列式，如果有某則利用降階法可將行列式化成對(duì)角行列式。3降階法 利用行列式的性質(zhì)將行列式的階數(shù)降低，然后再計(jì)算行列式的值的方法，稱(chēng)為降階法。例4 計(jì)算階行列式，解（一）（降階法）將按第一行展開(kāi)，得右端兩個(gè)階行列式再按第行展開(kāi)得對(duì)用相似的方法推導(dǎo)下去，則解（二）（化三角形法）將的第列加到第行，第列加到第列，依次類(lèi)推，將第列加到第列，再?gòu)那傲兄卸继岢?，得第行減第行，第行減第行，直到第行減第行，得 可見(jiàn)，一個(gè)行列式可以有多種解法，并不是只有一種方法適用，上題的降階法，也可以說(shuō)是遞推法，它們是相輔相承的，無(wú)明顯界線。4遞推法 利用行列式的性質(zhì)，把某一行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的關(guān)系式稱(chēng)

19、為遞推關(guān)系式，根據(jù)所得遞推關(guān)系式及低階某初始行列式的值，便可遞推求得所需的結(jié)果。有時(shí)要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種計(jì)算行列式值的方法稱(chēng)為遞推法。例5 計(jì)算階行列式解 把第行都加到第行，得按第一行展開(kāi)，得到遞推關(guān)系式，可推出=5換元法 將行列式的元素進(jìn)行變換，然后再計(jì)算行列式的值的方法稱(chēng)為換元法。例6 計(jì)算行列式 解（一）（換元法）將中所有元素減去,得由性質(zhì)7得，所以 。解（二）（化三角形法）從第行開(kāi)始，各行減去第行，得依次從第列，第列，直到第列中提出，得，將所有各列加于第列，將寫(xiě)成，得 6數(shù)學(xué)歸納法 利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟，處理行列式的方法，稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法。一般用于證明行列式的正確性。例7 證

20、明行列式證 當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)對(duì)于時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，從第行開(kāi)始，逐行減去上面相鄰行的倍得按第一行展開(kāi)得提取各列公因子得到的階行列式，由數(shù)學(xué)歸納的假設(shè)知其值為于是稱(chēng)上述行列式為范德蒙行列式。在計(jì)算行列式中，如果有行列式可以化成范德蒙行列式則可以直接利用范德蒙行列式的計(jì)算結(jié)果，會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)便。7公式法 把一些典型行列式已有的性質(zhì)和定義的結(jié)果稱(chēng)為公式。在計(jì)算行列式時(shí)，直接利用公式，或適當(dāng)變形后，再利用公式，計(jì)算行列式的值的方法，稱(chēng)為公式法。例8 計(jì)算階行列式（其中） 解 如果，則為一個(gè)階范德蒙行列式。一般情況下，并不是范德蒙行列式，為了把化成范德蒙行列式，從中的第列提取因子得利用范德蒙行列式的結(jié)果

21、即得 例9 計(jì)算5階行列式 解 （利用拉普拉斯展開(kāi)定理）的前行有較多的元素為零，所以把按前兩行展開(kāi)，前兩行共有個(gè)二階子式，但其中不為的只有個(gè)，即，且第三個(gè)子式的余子式為。所以，拉普拉斯定理得8輔助函數(shù)法 將行列式與某一函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，然后借助這個(gè)函數(shù)求出行列式的值的方法叫做輔助函數(shù)法。例10 計(jì)算行列式4 解 將添加一行一列，加邊后，得階范德蒙行列式，令從上式的左端看，多項(xiàng)式的的系數(shù)為，但從上式右端看，的系數(shù)為 二者應(yīng)該相等。故例11 計(jì)算行列式解 將看成是關(guān)于的函數(shù)，即令，由行列式定義知，為關(guān)于的次多項(xiàng)式且的系數(shù)為，由行列式元素特點(diǎn)知，當(dāng)時(shí)，因此含有因式，又將的第列均加到第一列后，提出因子，得

22、所以也是的因式，得除上述方法外，一些典型的行列式在計(jì)算應(yīng)用中有一些技巧性的解決方法（如加邊法，范德蒙行列式法），雖然沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)范的定式，但其思路，技巧值得掌握。例12 計(jì)算階行列式 解 （加邊法，升降法）在的第一行前加一行，又在所得的行列式前加一列，且使所得的階行列式是值與原來(lái)行列式的值相等， 可見(jiàn)，行列式的計(jì)算方法千變?nèi)f化，有些行列式解法十分靈活，可以用多種方法分別解決，有些比較復(fù)雜的行列式要用多種方法綜合運(yùn)用才能解決，這些無(wú)規(guī)律又似有規(guī)律的方法，只有在長(zhǎng)期的研究運(yùn)用中才能容易上手，比較容易縷清思路。四、行列式的應(yīng)用（一）利用行列式解線性方程組克萊姆法則1 設(shè)含有個(gè)未知量和個(gè)方程組若系數(shù)行列式則方程組有唯一解 其中，例1 解線性方程組解 系數(shù)行列式 所以方程組的解為（二）利用行列式證明恒等式例2 已知 ， 證明 證 由已知得 所以 （三）應(yīng)用行列式解分式方程例3 解方程解 方程為 (四) 應(yīng)用行列式分解因式例4 分解因式解 （五）求通過(guò)定點(diǎn)的曲線曲