橢圓專(zhuān)題復(fù)習(xí)講義

1、橢圓專(zhuān)題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí), 的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng)時(shí), 的軌跡不存在; 當(dāng)時(shí), 的軌跡為 以為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)離心率準(zhǔn)線 考點(diǎn)1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1 (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣

2、的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn)a、b是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)a的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)a沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)a時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是oxydpabcqa4ab2(ac)c2(a+c)d以上答案均有可能 解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:(1),此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(ac);(2), 此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為4a,故選d【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面【新題導(dǎo)練】1.短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為f1，f2，過(guò)f1作直線交橢圓

3、于a、b兩點(diǎn)，則abf2的周長(zhǎng)為（ ）a.3 b.6 c.12 d.24解析c. 長(zhǎng)半軸a=3，abf2的周長(zhǎng)為4a=122.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（ ） a 5 b 7 c 13 d 15 解析b. 兩圓心c、d恰為橢圓的焦點(diǎn)，的最小值為10-1-2=7題型2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來(lái)解析設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)

4、化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況【新題導(dǎo)練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解析(0,1). 橢圓方程化為+=1. 焦點(diǎn)在y軸上，則2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2時(shí)，上式不成立；m2時(shí)，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1） 【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能【新題導(dǎo)練】14.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸

5、的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） a. b. c. d. 解析 ，選a.15. 如圖，在rtabc中，cab=90，ab=2，ac=。一曲線e過(guò)點(diǎn)c，動(dòng)點(diǎn)p在曲線e上運(yùn)動(dòng)，且保持|pa|+|pb|的值不變，直線l經(jīng)過(guò)a與曲線e交于m、n兩點(diǎn)。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線e的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若mbn為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以ab所在直線為x軸，ab的中點(diǎn)o為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則a（1，0），b（1，0）由題設(shè)可得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為，則曲線e方程為（2）直線mn的方程為由方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根mbn是鈍角.即解得：

6、又m、b、n三點(diǎn)不共線綜上所述，k的取值范圍是基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),f是左焦點(diǎn),直線與bf交于d,且,則橢圓的離心率為( ) a b c d 解析 b . 2. 設(shè)f1、f2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，p在橢圓上，當(dāng)f1pf2面積為1時(shí)，的值為a、0b、1c、2d、3解析 a . ， p的縱坐標(biāo)為，從而p的坐標(biāo)為，0， 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 a b c d解析 d. ,兩式相減得：，4.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 解析5. 已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),p為橢圓上一點(diǎn),若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的比是6.在平面

7、直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以o為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析綜合提高訓(xùn)練7、已知橢圓與過(guò)點(diǎn)a(2，0)，b(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)t，且橢圓的離心率求橢圓方程解析直線l的方程為：由已知由得：，即由得：故橢圓e方程為8.已知a、b分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p）在橢圓上，線段pb與y軸的交點(diǎn)m為線段pb的中點(diǎn)。 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)c是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于abc，求的值。解析（1）點(diǎn)是線段的中點(diǎn) 是的中位線又 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 （2）點(diǎn)c在橢圓上，a、b是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)acbc2a，ab2c2

8、 在abc中，由正弦定理， 9. 已知長(zhǎng)方形abcd, ab=2,bc=1.以ab的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.()求以a、b為焦點(diǎn)，且過(guò)c、d兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;oabcd圖8()過(guò)點(diǎn)p(0,2)的直線交()中橢圓于m,n兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦mn為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.解析 ()由題意可得點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)分別為.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.設(shè)m,n兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立方程: 消去整理得, 有若以mn為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以,所以,即所以,即得所以直線的方程為,或.所以存在過(guò)p(0,2)的直線:使得以弦mn為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn). 參考例題：1、從橢圓上一點(diǎn)向軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn)