矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應(yīng)用

1、矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應(yīng)用摘要：矩陣的初等變換是線性代數(shù)中應(yīng)用十分廣泛的重要工具。文章證明了矩陣初等變換的兩個(gè)性質(zhì), 以此為基礎(chǔ), 歸納說明了矩陣的初等變換在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用, 并給出了一些實(shí)例。關(guān)鍵詞：矩陣 初等變換 性質(zhì) 應(yīng)用Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application.Key w o rd: matrix, elementary al

2、ternate, properties, application0 引言矩陣是數(shù)域P上的m行n列矩陣,矩陣的行(列)初等變換是指對(duì)矩陣施行如下的變換:(1) 交換矩陣的兩行(列),對(duì)調(diào)i,j兩行,記作（記作）；(2) 以非零數(shù) k 乘矩陣某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,記作k(記作k)；(3) 把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)對(duì)應(yīng)元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 記作+（記作+）。矩陣的初等變換在高等代數(shù)課程中有著十分廣泛的應(yīng)用, 也是本課程的基本工具之一。 矩陣的初等行變換和初等列變換具有同等的地位和作用, 只是在使用過程中有所區(qū)別。 本文

3、首先證明初等行變換和初等列變換具有同等的地位和作用，再以具體實(shí)例說明矩陣初等變換在求極大無關(guān)組和秩的應(yīng)用。一、 初等變換的性質(zhì)證明定理1 第一種初等變換可以由第二、三種初等變換實(shí)施得到。證明: 設(shè)是為數(shù)域P上的mn 矩陣(i= 1，2，m； j=1，2，n)對(duì)矩陣A 施行第二、三種初等行變換: 上述矩陣B 與矩陣A 交換i、j兩行后得到的矩陣是相同的。定理證畢。定理2 設(shè)是數(shù)域P上一個(gè)mn 矩陣, 其中 且若A經(jīng)過初等行變換為矩陣,其中則有證明: 由初等行變換的定義知道方程組與方程組同解，因此，若，則有 證畢。上述定理1 說明只進(jìn)行兩種初等行變換就可以起到三種初等行變換的作用。定理2 說明求一

4、個(gè)矩陣中列向量組的線性關(guān)系表達(dá)式可以通過初等行變換而得到。對(duì)于列變換的情形有類似結(jié)論。二、初等變換的應(yīng)用1. 用初等變換求矩陣和向量組的秩由于初等變換不改變矩陣的秩, 且任意一個(gè)矩陣均可以經(jīng)過一系列行初等變換化為梯形矩陣; 因此, 我們要確定一個(gè)矩陣的秩, 首先要用行初等變換將其化為梯形矩陣, 然后再由梯形矩陣的秩確定原矩陣的秩.例1 設(shè), 求矩陣的秩.解 因此矩陣的秩為3.如果我們要求向量組的秩, 可以把每一向量作為矩陣的一行, 從而向量組就轉(zhuǎn)化為了一個(gè)矩陣, 使求向量組的秩轉(zhuǎn)化成求矩陣的秩, 自然使問題簡(jiǎn)單化了。例2 求向量組, , , 的秩. 解： 以為列, 構(gòu)造矩陣, 再對(duì)進(jìn)行行初等變

5、換, 化為階梯形矩陣:2. 用初等變換法求逆矩陣如果是階可逆矩陣, 我們將與并排放到一起, 形成一個(gè)的矩陣, 因?yàn)? 所以對(duì)矩陣作一系列行初等變換, 將其左半部分化為單位矩陣, 這時(shí)右半部分就是。例3 設(shè)，求.解： 因此, .同理, 如果是階可逆矩陣, 我們將與并列放到一起, 形成一個(gè) 的矩陣, 因?yàn)? 所以對(duì)矩陣作一系列列初等變換, 將其上半部分化為單位矩陣, 這時(shí)下半部分就是. 用初等變換法求逆矩陣是一種通用而較簡(jiǎn)便的方法. 正確地選擇和使用它們能更快更好地解決各類求逆矩陣問題。3. 用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)任意二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形, 即為對(duì)稱矩陣找一個(gè)可逆矩

6、陣, 使得為對(duì)角矩陣, 而可逆矩陣可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積, 所以存在初等矩陣有， 從而有是一個(gè)對(duì)角矩陣。由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下:首先, 寫出二次型的矩陣, 構(gòu)造矩陣, 然后對(duì)矩陣每進(jìn)行一次行初等變換后, 就對(duì)進(jìn)行一次同樣的列初等變換, 當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí), 單位矩陣將化為可逆矩陣, 此時(shí), 最后得到可逆矩陣和非退化線性變換, 在這個(gè)變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。例4 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 并寫出所用的非退化線性替換。解： 題中二次型的矩陣為, 由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟可知:=從而非退化線性替換為, 原二次型化為。在運(yùn)用矩陣初等變換來化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵: 對(duì)矩陣進(jìn)行的行初等變換和列初等變換必須是一致的。參考文獻(xiàn)1 王曉為矩陣初等變換的獨(dú)立性J數(shù)學(xué)通報(bào),1991,(10)2 章秋明關(guān)于初等變換的定理及其應(yīng)用 J數(shù)學(xué)通報(bào),1987,(10)3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.工程數(shù)