離散型l連續(xù)型概率分布綜述

1、離散型分布1、 兩點(diǎn)分布： binom（1， p ）意義： 一次實(shí)驗(yàn)中有二個(gè)事件：成功（記 1）與失?。ㄓ?0），出現(xiàn)的 概率分別為 p和1 p ，則一次試驗(yàn)（稱為貝努利試驗(yàn)）成功的次數(shù)服 從一個(gè)參數(shù)為 p 的貝努利試驗(yàn)。例子（投一次硬幣）分布律：f(x|p) px(1 p)1 x,x 0,1(0 p 1)數(shù)字特征：E(X) p,Var(X) p(1 p)2、 二項(xiàng)分布： binom（n， p ）意義：貝努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù) n 次，則試驗(yàn)成功的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)為（n， p ）的二項(xiàng)分布。（投 n 次硬幣）分布律：f (x | p) n px (1 p)n x, x 0,1, , n.(0 p 1

2、) p數(shù)字特征：E(X) np ,Var(X) np(1 p)3、 多項(xiàng)分布： multinon（n, p1, , pk ）意義：一試驗(yàn)中有 k個(gè)時(shí)間 Ai,i 1,2, ,k ，且PA（ ）i p0（i p i,1p）1iik 1將此試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù) n 次，則時(shí)間 A1,A2, , Ak出現(xiàn)的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù) （n,p） 的多項(xiàng)式分布，其中 P （p1,p2, , pk ） （仍骰子問(wèn)題） 分布律：kf (x1, ,xk |n, p)px1 px2 pxk,0 xi n, xi ni1數(shù)字特征：E(X) np,Var(X) np(1 p),Cov(X i ,X j )npi pj4、負(fù)二項(xiàng)分

3、布： nbinom(k, p)意義：貝努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行， 一直到出現(xiàn) k 次成功時(shí)停止試驗(yàn)，則試驗(yàn)失敗的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù) (k, p) 的負(fù)二項(xiàng)分布。分布律：f(x|k,p)(kk) (xx) pk(1 p)x,x 0,1,數(shù)字特征：E(X ) k(1 p) p, V ar( Xk )(21 p ) p5、幾何分布：geom( p)意義：伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行，一直到出現(xiàn)有成功出現(xiàn)時(shí)停止試驗(yàn)，則試驗(yàn)失敗的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)p 的集合分布。分布律：f(x| p) p(1 p)x,x 0,1,2,數(shù)字特征：6、E(X) (1 p) ,Var(X)p超幾何分布： hyper (N , M ,n

4、)(1 p)2p2意義： 從裝有 N 個(gè)白球和 M 個(gè)黑球的罐子中不放回地取出 k 其中k N M 則其中的白球服從超幾何分布。分布律：NMx k xf (x|N,M ,k) N M ,x 0,1,2, ,minN,kk數(shù)字特征：E(X) (kN) , Var(X) (N M k) kN (1 N )N M N M 1 N M M N7、 泊松分布： pois ( ) 意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間，單位長(zhǎng)度，單位面積，單位體積中發(fā)生某一事件的 次數(shù)?？梢允褂貌此煞植紒?lái)刻畫(huà)， 例如某高速公路上一年內(nèi)交通事故 和某辦公室一天中收到的電話次數(shù)可以認(rèn)為近似服從泊松分布。 分布律：xf (x| ) e , x 0,1

5、,2, . x!數(shù)字特征：E (X) ,Var(X)二、 連續(xù)分布的密度函數(shù)1、 貝塔分布 Beta(a, b)意義：在貝葉斯分析中， 貝塔分布常常作為二項(xiàng)分布參數(shù)的共軛先驗(yàn) 分布。密度函數(shù)：f(x|a,b) 1 xa 1(1 x)b 1,0 x 1(a,b 0)B(a,b)數(shù)字特征：E(X)aab,Var(X)ab(a b)2 (a b 1)當(dāng)(a 1,b 1)時(shí)的分布為 0,1 上的均勻分布2、 均勻分布： unif ( a,b)密度函數(shù)：數(shù)字特征：意義： 區(qū)間 a, b上隨機(jī)投點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)服從 a,b上的均勻分布。1f (x | a,b) , a x bbaa bb2 a2E(X) a

6、b ,Var(X)b a2 123、 柯西分布：cauchy(a,b)意義： 柯西分布(又稱為 Lorentz 分布)用于描述共振行為。以一隨機(jī)的角度投向 X 軸的水平距離服從柯西分布密度函數(shù)：f (x | a,b)1 ,0 x 1(a,b 0)b1 xba 數(shù)字特征 ：均值和方差均不存在。4、 威布爾分布： weibull ( a,b) 意義：最為常見(jiàn)的壽命分布，用來(lái)刻畫(huà)滾珠軸承、電子元器件等產(chǎn)品 的壽命。密度函數(shù)：bf (x| a,b) abxb 1eax ,x 0(a,b 0)數(shù)字特征：1 21 2(1 1) (1 2) (1 1) 2 E(X) 1 b ,Var(X) 2b2baba

7、bab特例： b =1 時(shí)為指數(shù)分布。5、 指數(shù)分布： exp( )意義： 泊松過(guò)程的等待時(shí)間服從指數(shù)分布。形狀參數(shù) b 1的 weibull 分布為指數(shù)分布 。密度函數(shù)：f (x|a,b) e x, x 0( 0)數(shù)字特征： E(X) 1 , Var(X) 126、瑞利( Rayleigh )分布： rayl (b)意義： 瑞利( Rayleigh )分布為 weibull 分布的又一個(gè)特例：它是參數(shù) 為 (1/ 2b2 ),2) 的 weibull 分布。密度函數(shù)：2 xx f (x |b) 2 exp(2 )b 22b 2數(shù)字特征：42E(X) 2b,Var(X) 4 2 b27、正態(tài)分

8、布 / 高斯分布： norm( , 2 )意義：高斯分布式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的一個(gè)分布。 中心極限 定理表明， 一個(gè)變量如果是由大量微小的、 獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié) 果，那么這個(gè)變量一定是正態(tài)變量。 因此許多隨機(jī)變量可以用高斯分 布表述或近似描述。密度函數(shù)：1( x2 2)f ( x | , ) e 2 , x ,( , 0)數(shù)字特征： E(X) ,Var(X) 28、 對(duì)數(shù)正態(tài)分布： lnorm( , 2 )意義： ln(X) 服從參數(shù)為 ( , 2)的正態(tài)分布，則 X服從參數(shù)為 ( , 2)的 對(duì)數(shù)正態(tài)分布。密度函數(shù)：(ln( x) )21f (x| , ) 1 e2x22 , x

9、0,( , 0)數(shù)字特征： E(X) exp( 1 2), Var(X) e (e 1)e229、逆正態(tài)分布： inorm ( , )意義：正態(tài)隨機(jī)變量的倒數(shù)服從的分布。密度函數(shù)：( x )2 x3e 2 x ,( , 0)f (x| , )數(shù)字特征：E(X),Var(X)10、伽馬分布： gamma(a, b)意義： k 個(gè)相互獨(dú)立的參數(shù)為1/ b的指數(shù)分布的和服從 (k,b)的伽馬分布。密度函數(shù)：f ( x | a, b)1(a)ba xa1e x/b, x 0,(a 0,b 0)數(shù)字特征： E(X) ab,Var(X) ab2特例： a 1 時(shí)的分布為指數(shù)分布；a 2n,b 2 的分布為

10、卡方分布。11、伽馬分布： igamma ( a, b)意義：伽馬分布隨機(jī)變量的倒數(shù)服從逆伽馬分布。密度函數(shù)：f (x|a,b) 1 a x (a1)e 1/bx,x 0,(a 0,b 0) (a)ba數(shù)字特征 ：11E(X) (a 1),Var(X) 2 2 (a 2) ( a 1)b(a 1) ( a 2)b特例： a n ,b 2的分布為逆卡方分布。212、 卡方( 2 )分布： chisq ( n)意義： n 個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的平方和服從自由度為 n 的卡方分布。 密度函數(shù)：n/2 x/2f (x |n)nx/2 e, x 02n/2 (n/ 2)數(shù)字特征：E (X) n,Var(X

11、) 2n(n 2)13、 逆卡方分布： ichisq (n)意義：卡方分布隨機(jī)變量的倒數(shù)服從逆卡方分布。 密度函數(shù)：(n/2 1) 1/2 x xef (x |n)n/2 , x 02n/2 (n / 2)數(shù)字特征：12E(X) ( n 2),Var(X) 2 (n 4) n 2 (n 2)2 (n 4)14、 t 分布： t( n)意義:隨機(jī)變量 X 與Y獨(dú)立，X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， Y服從自由度為 n 的卡方分布，則 T X 服從自由度為 n的 t分布。Y/n密度函數(shù)：2(1f (x | n)nB(21,n2)x ) ( n 1)/2 n數(shù)字特征：E(X) 0, Var(X) n (n 2

12、)( n 2)15、 F 分布： f (n, m)意義： 隨機(jī)變量 X 與Y獨(dú)立， X 服從自由度為 n的卡方分布， Y 服從 自由度為 m的卡方分布，則 T X / n服從自由度為 (n,m)的t分布。Y/m密度函數(shù)：n n /2 n 2( ) x /2nxf ( x| n,m)m (1 nx ) (n m)/2B(n ,m)mB(2,2)數(shù)字特征 ：2m 2m (n m 2)E(X) (m 2),Var(X) (n 2)m 2 n(m 2)16、 log istic 分布： log is(a,b) 意義：生態(tài)學(xué)中的增長(zhǎng)模型常用 log istic 分布來(lái)刻畫(huà)，它也常用于 log istic

13、 回歸中。密度函數(shù)：f (x |a,b) 1 e (x a)/ b 1數(shù)字特征：22E (X) a,Var(X)b 2317、 Dirichlet 分布： Dirichlet ( 1, , k ) 意義：在貝葉斯分析中作為多項(xiàng)分布參數(shù)的共軛分布。 Dirichlet 分布 的密度函數(shù)表示在已知 k 個(gè)競(jìng)爭(zhēng)事件已經(jīng)出現(xiàn)了 i 1次條件下，他們 出現(xiàn)的概率為 xi ,i 1,2, ,k 的信念。密度函數(shù)：f (x1, ,xk | )1B( )ki1kxi i 1,xi 0, xi 1( i 0), B( )i1k( ik 1 i )數(shù)字特征：E(X) i ,Var(X)i(2 0 i) ,Cov(

14、X i ,X j) 2 i 0 , 0ik1 i0 0 ( 0 1) 0 ( 0 1) i 118、 Pareto 分布： pd (a,b)意義：財(cái)富的分配的規(guī)則(稱為 Pareto 規(guī)則)是大部分的財(cái)富( 80%)被少數(shù)( 20%)的人擁有，這可以較好地用 Pareto 分布來(lái)刻畫(huà)。密度函數(shù)：f (x|a,b) ab ax axb1, x a(b 0)a2b數(shù)字特征：E(X) bab1(b 1),Var(X) (b 1)2(b 2) (b 2)19、非中心分布 .與前面卡方分布， t 分布和 F 分布相對(duì)應(yīng)還有三個(gè)非中心的分布：非 中 心 的 卡 方 分 布 ： chisq ( n, ) ， n 個(gè) 獨(dú) 立 正 態(tài) 隨 機(jī) 變 量N( i, 2),i 1,2, ,n 的 平 方 服 從 自 由 度 為 n