冪函數(shù)與二次函數(shù)2

1、主頁主頁 冪函數(shù)與二次函數(shù)冪函數(shù)與二次函數(shù)2 主頁主頁 涉及方程涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的實(shí)根分布問題的實(shí)根分布問題, 一般情況下要從四個方面考慮一般情況下要從四個方面考慮: f(x) 圖象的開口方向圖象的開口方向; 方程方程 f(x)=0的判別式的判別式; 區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號. f(x) 圖象的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系圖象的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系; 1. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn) 主頁主頁 方程方程 f(x)=0 有兩正根有兩正根 方程方程 f(x)=0 有兩負(fù)根

2、有兩負(fù)根 方程方程 f(x)=0 有一正根一負(fù)根有一正根一負(fù)根 12 12 0, 0, 0 b xx a c x x a 0, 0 2 (0)0 b a f 12 12 0, 0, 0 b xx a c x x a 0, 0 2 (0)0 b a f 0 c a 0c 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn) 記記 f(x)=ax2+bx+c(a0) 1. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題 主頁主頁 根的分布根的分布圖象圖象充要條件充要條件 0 2 ( )0 b k a f k 12 xxk 0 2 ( )0 b k a f k 12 kxx ( )0f

3、 k 12 xkx 主頁主頁 根的分布根的分布圖象圖象充要條件充要條件 12 1 2 0 2 ()0 ()0 b kk a f k f k 1122 kxxk ()0 ( )0 ( )0 ( )0 f m f n f p f q 1 mxn 2 pxq m n p q 主頁主頁 根的分布根的分布圖象圖象充要條件充要條件 兩個實(shí)根有兩個實(shí)根有 且僅有一根且僅有一根 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi) 12 ( )( ) 0f kf k 1 12 1 ()0 22 f k kk b k a 12 ,k k 2 12 2 ()0 22 f k kk b k a 主頁主頁 對勾函數(shù)對勾函數(shù) 1 yx x 定定義義域域

4、：（， ）（ ，）00 增增區(qū)區(qū)間間 : :， ， 減減區(qū)區(qū)間間 : :， ， ， 11 1 001 值值域域：（， ，) )22 奇偶性奇偶性:奇函數(shù)奇函數(shù) x y o 單調(diào)性單調(diào)性 主頁主頁 22 2(1)1 1,1yxxxx即即, , 與直線與直線y=k有交點(diǎn)有交點(diǎn), minmax ( )( ),fxkfx (1)( 1).fkf 13.k x y -11 y=k 【1】若方程】若方程x2- -2x=k在區(qū)間在區(qū)間- -1,1上有解上有解,則則 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k的取值范圍為的取值范圍為_. 2 2xx k解解：方方程程= 在= 在-1, 1有-1, 1有解解, , - -1k3 由圖象，得由圖

5、象，得 主頁主頁 , 1 . 1, m m 解解： 1 (1,2)(1,2),m 又又且且在在上上是是增增函函數(shù)數(shù) 51 112,(2, ). 22 mm 即即 【2】方程】方程x2- -mx+1=0的兩根為的兩根為,且且 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 0,12, 5 2 2 m 主頁主頁 112,且且 01. 5 2. 2 m 由圖可知，由圖可知， 方法方法2:設(shè)設(shè)f(x)=x2- -mx+1, 則則 f(0)=1. (0)10, (1)20, (2)520. f fm fm 【2】方程】方程x2- -mx+1=0的兩根為的兩根為,且且 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_

6、. 0,12, 5 2 2 m 主頁主頁 例1 若關(guān)于x的方程x-2ax+2+a=0 有兩個不 相等的實(shí)根,分別滿足下列條件,求a的取值 范圍。 （1）方程兩根都大于1；（2）方程一根大 于1，另一根小于1。 (1) 2a3 (2)a3 主頁主頁 =b2- -4ac0=00)的圖象的圖象 方程方程ax2+bx +c=0的根的根 ax2+bx+c0 (a0)的解集的解集 ax2+bx+c0)的解集的解集 有兩不等實(shí)有兩不等實(shí) 根根x1, x2 x|xx2 有兩相等有兩相等 實(shí)根實(shí)根x1=x2 無實(shí)根無實(shí)根 x|xx1 r 3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次

7、不等式 三者之間的關(guān)系三者之間的關(guān)系 x|x1x0 恒成立問題恒成立問題 ax2+bx+c0在在r上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立 f(x)min0( (xm, n) ) 2 0 40 a bac 0 0 ab c 或或 ax2+bx+c0在在r上恒成立上恒成立 2 0 40 a bac 0 0 ab c 或或 2 ()0 b m a f m 2 ( )0 b n a f n 或或 2 2 40 b mn a bac 或或 f(x)=ax2+bx+c0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立 ()0 ( )0 f m f n 主頁主頁 則問題

8、轉(zhuǎn)化為則問題轉(zhuǎn)化為mg(x)min 解：解：m- -2x2+9x在區(qū)間在區(qū)間2，3上恒成立，上恒成立， （1）變量分離法）變量分離法(分離參數(shù)分離參數(shù)) 例例1. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3 上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9m 2 ( )29 ,2,3,g xxx x 記 min( ) (3)9,gxg 9.m 【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)ⅰ驹u注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)?不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位

9、于不 等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸 為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題 主頁主頁 問題等價于問題等價于f(x)max0, 解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù) 2 ( )29,2,3,f xxxm x 2981 ( ) 2(),2,3, 48 f xxmx max( ) (3)90,fxfm 9.m 23 y . . xo （2）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值 例例1. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3 上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9

10、m 主頁主頁 (2)0 (3)0 f f 則則 100 90 m m 解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù) 2 ( )29,2,3,f xxxm x 9.m 23 y . . xo 例例1. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3 上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9m （）數(shù)形結(jié)合思想（）數(shù)形結(jié)合思想 主頁主頁 解：據(jù)題意，解：據(jù)題意， 由已知得由已知得: 98189818 , 44 mm 不等式解集為：不等式解集為： 9818 3 4 9818 2 4 m m 23 a 81 80m， 9.m 例例1. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)

11、間 2, 3 上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9m （）不等式解集法（）不等式解集法 主頁主頁 例例2.設(shè)不等式設(shè)不等式 mx2- -2x- - m+10 對于滿足對于滿足|m|2的的一切一切 值都值都恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍的取值范圍. 解：解：設(shè)設(shè) f(m)=mx2- -2x- -m+1, (2 )0 , ( 2 )0 , f f 13117 . 22 x 解解得得 【點(diǎn)評】解決【點(diǎn)評】解決恒成立恒成立問題一定要搞清誰是自變量，問題一定要搞清誰是自變量， 誰是參數(shù)誰是參數(shù).一般地一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，知道誰的

12、范圍，誰就是變量，求誰求誰 的范圍，誰就是參數(shù)的范圍，誰就是參數(shù). . 則則 f(m)是一個以是一個以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象為自變量的一次函數(shù)，其圖象 是直線，由題意知該直線當(dāng)是直線，由題意知該直線當(dāng)- -2m2時，線段在時，線段在x軸下軸下 方方, 2 2 2230, 2210, xx xx 即即 所以所以實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x 的取值范圍的取值范圍是是 13117 . 22 xx | | 主頁主頁 時時，不不等等式式恒恒成成立立， 則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 的的取取值值范范圍圍是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 當(dāng)當(dāng) 21 2220 2 xaxx a 2 221 ,2 2 a x x 解解：在在上

13、上恒恒成成立立， min2 22 .uau x x 令令，則則只只需需 2111 2 22 u x ）又又（， 1111 ,2,24,. 222 xu x 當(dāng)當(dāng)從從而而時時， 1 . 2 a 1 2 a 【3】 主頁主頁 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=- -x2+8x,求函數(shù)求函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 t, t+1上的上的 最大值最大值h(t). 解解： f(x) =- -x2+8x=- -(x- -4)2+16. 當(dāng)當(dāng)t+14, 即即t4時，時，f(x)在在t,t+1上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. 此時此時h(t)=f(t)=- -t2+8t. 2 2 67, (3), ( )16,(34), 8 ,(

14、4). ttt h tt ttt 綜上可知綜上可知 定直線動區(qū)間定直線動區(qū)間 主頁主頁 【例例3】 已知函數(shù)已知函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0, 1 上的最大值是上的最大值是2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的值的值. 21 42 a yxax 221 ()(2), 24 a yxaa 解解： . 2 a x 對稱軸為對稱軸為 當(dāng)當(dāng)0 1，即，即0a2時，時， 2 a 22 max 11 (2)(2)2, 44 yaaaa，由由 得得a=3或或a=- -2,與與0a2矛盾矛盾.不合要求；不合要求； 當(dāng)當(dāng) 0，即，即a1，即，即a2時，時，y在在0，1上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 2 a 10 . 3 a 解解之之，得

15、得 綜上，得綜上，得 有有ymax=f(1)=2, 主頁主頁 例例3.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)|x24x3|. (1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性； (2)求集合求集合mm|使方程使方程f(x)mx有四個不相等的實(shí)根有四個不相等的實(shí)根. (2)由圖象可知，由圖象可知，yf(x)與與ymx圖象有四個不同的圖象有四個不同的 交點(diǎn)，直線交點(diǎn)，直線ymx應(yīng)介于應(yīng)介于x軸與切線軸與切線l1之間之間. 解解: 作出圖象如圖所示作出圖象如圖所示. (1)遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為1,2和和3，)， 遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為(，1和和2, 3. 得得 x2(m4)x30. 主頁主頁 由由0，得，得42 3.m 當(dāng)當(dāng) 時，時，42 3m 3(1,3),x 舍去舍去. 42 3.m (0,42 3).m 所以集合所以集合mm|0m42 . 3 例例3.已知函數(shù)已知函數(shù)f