一元二次方程經(jīng)典題型匯總

1、一元二次方程經(jīng)典題型匯總一元二次方程經(jīng)典題型匯總一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。一填空題：1關(guān)于x的方程mx-3x= x-mx+2是一元二次方程,則m_2方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_,二次項系數(shù)是_,一次項系數(shù)是_,常數(shù)項是_.3關(guān)于x的一元二次方程(m+3) x+4x+ m- 9=0有一個解為0 , 則m=_.4、.

2、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一個根為-1,則a、b、c的關(guān)系是_5、當 時，方程不是一元二次方程，當 時，上述方程是一元二次方程。二選擇題：6在下列各式中 x+3=x; 2 x- 3x=2x(x- 1) 1 ; 3 x- 4x 5 ; x=- +2是一元二次方程的共有( ) A 0個 B 1個 C 2個 D 3個7、下列方程中，一元二次方程是（ ）（A） （B） （C） （D） 8一元二次方程的一般形式是( )A x+bx+c=0 B a x+c=0 (a0 ) C a x+bx+c=0 D a x+bx+c=0 (a0)9方程6 x- 5=0的一次項系數(shù)是( ) A 6 B

3、5 C -5 D 010、關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則值為（ ）A、 B、 C、或 D、三、.將下列方程化為一般形式,并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項x(3x + 2)=6(3x + 2)(3 t)+ t=9二、一元二次方程的解法 1、直接開平方法:利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；II當=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；III當0時，一元二次方程沒有實數(shù)根練習：一、選擇題1、

4、一元二次方程的根的情況為（）有兩個相等的實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根 只有一個實數(shù)根沒有實數(shù)根2、若關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（） Am-1 Cml Dm-13、一元二次方程x2x20的根的情況是（） A有兩個不相等的正根 B有兩個不相等的負根 C沒有實數(shù)根 D有兩個相等的實數(shù)根圖（7）4、已知函數(shù)的圖象如圖（7）所示，那么關(guān)于的方程的根的情況是（ ）A無實數(shù)根 B有兩個相等實數(shù)根C有兩個異號實數(shù)根D有兩個同號不等實數(shù)根5、下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）（A）x240（B）4x24x10（C）x2x30（D）x22x106、下列方程中有實數(shù)

5、根的是（）（A）x22x30（B）x210（C）x23x10（D）7、已知關(guān)于x 的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是( )A m1 B m2 Cm 0 Dm08、如果2是一元二次方程x2c的一個根，那么常數(shù)c是（ ）。A、2 B、2 C、4 D、4二、填空題1、方程的解為 。2、閱讀材料：設(shè)一元二次方程的兩根為，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：，根據(jù)該材料填空：已知，是方程的兩實數(shù)根，則的值為_3、關(guān)于x的一元二次方程x2bxc0的兩個實數(shù)根分別為1和2，則b_；c_4、方程的解是 5、已知方程有兩個相等的實數(shù)根，則6、方程x2+2x=0的解為 9、已知x是一元二次方程x2

6、3x10的實數(shù)根，那么代數(shù)式的值為10、已知是關(guān)于的方程的一個根，則_11、若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是 12、寫出一個兩實數(shù)根符號相反的一元二次方程：_。13、已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是 四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。五、一元二次方程應用題 學習了一元二次方程的解法以后，就會經(jīng)常遇到解決與一元二次方程有關(guān)的生活中的應用問題，即列一元二次方程解應用題，不少同學遇到這類問題總是左

7、右為難，難以下筆，事實上，同學們只要能認真地閱讀題目，分析題意，并能學會分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關(guān)系，找到一個或幾個相等的式子，從而列出方程求解，同時還要及時地檢驗答案的正確性并作答.現(xiàn)就列一元二次方程解應用題中遇到的常見的十大典型題目，舉例說明.1、增長率問題恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.2、商品定價益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價

8、，若每件商品售價a元，則可賣出（35010a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？3、儲蓄問題王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設(shè)不計利息稅）4、趣味問題一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結(jié)果豎著比城門

9、高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？5、古詩問題讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？6、象棋比賽象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領(lǐng)司有四個同學統(tǒng)計了中全部選 手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實，有一位同學統(tǒng)計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.7、情景對話春秋旅行社

10、為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖1對話中收費標準.某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？圖1如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元.如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元.8、等積變形將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.圖2圖4圖3以上兩種方案是否都能符合

11、條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.9、動態(tài)幾何問題如圖4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.10、梯子問題一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？（2）若梯子的底端水

12、平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？圖511、航海問題如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1

13、海里）12、圖表信息圖6如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，劃分成1212個小正方形格，將邊長為n（n為整數(shù)，且2n11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放，第一張nn的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的nn個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n1)(n1)個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請你認真觀察思考后回答下列問題：（1） 由于正方形紙片邊長n的取值不同，（2） 完成擺放時所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴Ln23456使用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為S1，未被蓋住

14、的面積為S2.當n2時，求S1S2的值；是否存在使得S1S2的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.13、探索存在性問題將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.14、平分幾何圖形的周長與面積問題如圖7，在等腰梯形ABCD中，ABDC5，AD4，BC10.點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示BEF的

15、面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；圖7KG（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成12的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.15、利用圖形探索規(guī)律如圖，每個正方形有邊長為1 的小正方形組成：（1）觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢赫叫芜呴L1357n（奇數(shù)）黑色小正方形個數(shù)正方形邊長2468n（偶數(shù)）黑色小正方形個數(shù)（2）在邊長為n（n1）的正方形中，設(shè)黑色小正方形的個數(shù)為P1，白色小正方形的個數(shù)為P2，問是否存在偶數(shù)n，使P25P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.應用

16、題答案 1解設(shè)這兩個月的平均增長率是x.，則根據(jù)題意，得200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解這個方程，得x10.1，x22.1（舍去）.答這兩個月的平均增長率是10%. 說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2n求解，其中mn.對于負的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1x)2n即可求解，其中mn.2解根據(jù)題意，得(a21)(35010a)400，整理，得a256a+7750，解這個方程，得a125，a231.因為21(1+20%)25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以

17、35010a3501025100（件）.答需要進貨100件，每件商品應定價25元.說明商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點.3解設(shè)第一次存款時的年利率為x. 則根據(jù)題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得90x2+145x30.解這個方程，得x10.02042.04%，x21.63.由于存款利率不能為負數(shù)，所以將x21.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.說明這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅.4解設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.

18、8，整理，得x2+0.8x1.80.解這個方程，得x11.8（舍去），x21.所以x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.5解設(shè)周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x3.則根據(jù)題意，得x210(x3)+x，即x2-11x+300，解這個方程，得x5或x6.當x5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡為36歲. 說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數(shù)字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真

19、口味.6解設(shè)共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n1)個選手比賽一局，共計n(n1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統(tǒng)計了一次，因此實際比賽總局數(shù)應為n(n1)局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n1)分.顯然(n1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n1)1980，得n2n19800，解得n145，n244（舍去）.答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解7解設(shè)該單位這次共有x名員工去天

20、水灣風景區(qū)旅游.因為1000252500027000，所以員工人數(shù)一定超過25人.則根據(jù)題意，得100020(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解這個方程，得x145，x230.當x45時，100020(x25)600700，故舍去x1；當x230時，100020(x25)900700，符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游.說明求解本題要時刻注意對話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結(jié)論.8解都能.（1）設(shè)小路寬為x，則18x+16xx21815，即x234x+1800，解這個方程，得x，即x6.6.（2）設(shè)扇形半徑為r，則3.

21、14r21815，即r257.32，所以r7.6.說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.9解因為C90，所以AB10（cm）.（1）設(shè)xs后，可使PCQ的面積為8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.則根據(jù)題意，得(6x)2x8.整理，得x26x+80，解這個方程，得x12，x24.所以P、Q同時出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2.（2）設(shè)點P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6x)2x68.整理，得x26x+120.由于此方程沒有實數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于A

22、BC面積一半的時刻.說明本題雖然是一道動態(tài)型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據(jù)路程速度時間.10解依題意，梯子的頂端距墻角8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解這個方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m.（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設(shè)梯子頂端向下滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解這個方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向

23、外滑動1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解這個方程，得x10（舍去），x22.所以梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m.說明求解時應注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.11解（1）F位于D的正南方向，則DFBC.因為ABBC，D為AC的中點，所以DFAB100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時補給船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中

24、，根據(jù)勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200x+1000000.解這個方程，得x1200118.4，x2200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.說明求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運用勾股定理布列一元二次方程.12解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.（2）S1n2+(12n)n2(n1)2n2+25n12.當n2時，S122+2521234，S2121234110.所以S1S2341101755.若S1S2，則有n2+25n12122，即n225n+8

25、40，解這個方程，得n14，n221（舍去）.所以當n4時，S1S2.所以這樣的n值是存在的.說明求解本題時要通過閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實數(shù)根來加以判斷.13解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20x）cm.則根據(jù)題意，得+17，解得x116，x24，當x16時，20x4，當x4時，20x16，答這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20y）cm.則由題意得+12，整理，得y220y+1040，移項并配方，得(y10)240，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明本題的第（2）小問也可以運用求根公式中的b24ac來判定.若b24ac0，方程有兩個實數(shù)根，若b24ac0，方程沒有實數(shù)根，本題中的b24ac160即無解.14解（1）由已知條件得，梯形周長為12，高4，面積為28.過點F作FGBC于G，過點