概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案

1、隨機事件及其概率1.1 隨機事件習題 1 試說明隨機試驗應具有的三個特點 習題 2 將一枚均勻的硬幣拋兩次 ，事件 A，B，C 分別表示 “第一次出現(xiàn)正面 ”，兩“次出現(xiàn)同一面 ”，至“少有一次出現(xiàn)正面 ”，試寫出樣本空間及事件 A，B，C 中的樣本點 .word 資料可編輯word 資料可編輯1.2 隨機事件的概率word 資料可編輯word 資料可編輯1.3 古典概型與幾何概型word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯1.4 條件概率word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯

2、word 資料可編輯1.5 事件的獨立性word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯復習總結與總習題解答習題 3. 證明下列等式word 資料可編輯習題 5.習題 6.word 資料可編輯習題 7習題 8word 資料可編輯習題 9習題 10習題 11word 資料可編輯習題 12習題 13習題 14word 資料可編輯習題 16word 資料可編輯習題 17習題 18word 資料可編輯習題 19習題 20word 資料可編輯習題 21習題 22word 資料可編輯習題 23習題 24習題 25word 資料可編輯習題 26word 資

3、料可編輯word 資料可編輯第二章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量習題 1 隨機變量的特征是什么 ？解答 ：隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù) . 隨機變量的取值是隨機的 ，事先或試驗前不知道取哪個值 . 隨機變量取特定值的概率大小是確定的 .習題 2 試述隨機變量的分類 .解答：若隨機變量 X 的所有可能取值能夠一一列舉出來 ，則稱 X為離散型隨機變量 ；否則稱為非離散型 隨機變量 .若 X的可能值不能一一列出 ，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值 ，則稱 X 為連續(xù)型隨機變量 .習題 3盒中裝有大小相同的球 10個，編號為 0,1,2,? ,9, 從中任取 1個，觀察號碼是 “小于 5”，“

4、等于5”，“大 于 5”的情況 ，試定義一個隨機變量來表達上述隨機試驗結果， 并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率 .解答 ：分別用 1,2,3表示試驗的三個結果 “小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，則樣本空間S= 1, 2, 定義3隨, 機變量 X 如下 ：X=X( )=0, = 11, = 2,2, = 3則X 取每個值的概率為PX=0=P 取出球的號碼小于 5=5/10,PX=1=P 取出球的號碼等于 5=1/10,PX=2=P 取出球的號碼大于 5=4/10.2.2 離散型隨機變量及其概率分布 習題 1設隨機變量 X 服從參數(shù)為 的泊松分布 ，且 PX=1=PX=2, 求 .解答

5、：由 PX=1=PX=2, 得e- =2/2e- 解,得 =2.習題 2設隨機變量 X 的分布律為 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5, 試求 (1)P12X3.解答 ： (1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.習題 3已知隨機變量 X只能取-1,0,1,2 四個值，相應概率依次為 12c,34c,58c,716c, 試確定常數(shù) c, 并計算 PX1 X 0.解答 ：依題意知 ， 12c+34c+58c+716c=1, 即 3716c=1, 解得 c=3716=2.3125.由條件概率知 PX1 X0=PX60, 即 PX20, PX20=PX=30+PX=40=0.

6、6.就是說 ，加油站因代營業(yè)務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為 0.6.習題 6 設自動生產線在調整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1, 當生產過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調整 ，X 代表在兩次調整之間生產的合格品數(shù) ，試求 ：(1) X 的概率分布 ； (2)PX 5;(3) 在兩次調整之間能以 0.6 的概率保證生產的合格品數(shù)不少于多少 ?解答 ： (1)PX=k=(1- p)kp=(0.9)k 0.1,k=0,1,2,? ;(2) PX 5= k=5 PX=k= k=5 (0.9)k 0.1=(0.9)5;(3) 設以 0.6 的概率保證在兩次調整之間生產的合格品不少于m 件 ，則 m

7、應滿足PX m=0.6即, PX m-1=0.4. 由于PX m- 1= k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為 1-0.9m=0.4, 解上式得 m 4.85 5,因此，以 0.6 的概率保證在兩次調整之間的合格品數(shù)不少于 5.習題 7設某運動員投籃命中的概率為 0.6, 求他一次投籃時 ，投籃命中的概率分布 .解答：此運動員一次投籃的投中次數(shù)是一個隨機變量 ，設為 X, 它可能的值只有兩個 ，即 0 和 1.X=0 表示未投中 ， 其概率為 p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1 表示投中一次 ，其概率為 p2=PX=1=0.6. 則隨機變量的分布律為X01P

8、0.40.6習題 8某種產品共 10 件，其中有 3 件次品 ，現(xiàn)從中任取 3 件，求取出的 3 件產品中次品的概率分布word 資料可編輯解答：設X表示取出 3件產品的次品數(shù) ，則X的所有可能取值為 0,1,2,3. 對應概率分布為PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120, PX=3=C33C103=1120.X 的分布律為X0123P3512036120211201120習題 9一批產品共 10件，其中有 7件正品， 3件次品，每次從這批產品中任取一件 ，取出的產品仍放回 去， 求直至取到正品為止所需次數(shù)

9、 X 的概率分布 .解答 ：由于每次取出的產品仍放回去 ，各次抽取相互獨立 ，下次抽取時情況與前一次抽取時完全相同 ，所 以X 的可能取值是所有正整數(shù) 1,2,? ,k,? .設第 k次才取到正品 (前 k-1 次都取到次品 ), 則隨機變量 X的分布律為PX=k=310 31?0 310 710=(310-)k1 710,k=1,2,? .習題 10 設隨機變量 Xb(2,p),Y b(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1.解答 ：因為 Xb(2,p), PX=0=(1-p)2=1- PX 1=-15/9=4/9, 所以 p=1/3.因為 Yb(3,p), 所以PY1=1-PY=0=1

10、-(2/3)3=19/27.習題 11 紡織廠女工照顧 800 個紡綻 ， 每一紡錠在某一段時間 內斷頭的概率為 0.005, 在 這段時間內斷 頭次數(shù)不大于 2 的概率 .解答 ： 以 X 記紡錠斷頭數(shù) , n=800,p=0.005,np=4, 應用泊松定理 ，所求概率為 ：P0 X 2=?P0 xi 2X=xi= k=02b(k;800,0.005) k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!) 0.2381.習題 12 設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù) X 服從泊松分布 ， 經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上 ，有一個印刷錯誤與有 兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同 ， 求任意檢驗 4 頁 ，每頁上都沒有印

11、刷錯誤的概率 .解答 ： becausePX=1=PX=2, 即 11!-e = 2-2!e ? =2,PX=0=e-2, p=(e-2)4=e-8.2.3 隨機變量的分布函數(shù)習題 1F(X)=0,x-20.4,- 2x01,x 0,是隨機變量 X 的分布函數(shù) ，則 X 是型_的隨機變量 .解答 ：離散.由于 F(x)是一個階梯函數(shù) ，故知 X 是一個離散型隨機變量 .習題 2 設 F(x)=0x0x20 1,1x 1問 F(x)是否為某隨機變量的分布函數(shù) . 解答：首先，因為 0F(x) 1,?x(-,+).其次 ，F(xiàn)(x)單調不減且右連續(xù) ，即word 資料可編輯F(0+0)=F(0)=0

12、, F(1+0)=F(1)=1, 且 F(- )=0,F(+ )=1, 所以 F(x)是隨機變量的分布函數(shù) . 習題 3 已知離散型隨機變量 X 的概率分布為 PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2, 試寫出 X 的分布函數(shù) F(x)， 并畫出圖形 . 解答 ：由題意知 X 的分布律為 ：X135Pk0.30.50.2所以其分布函數(shù) F(x)=P Xx=0,x10.3,1 x30.8,3 x51,x 5.F(x)的圖形見圖 .習題 4設離散型隨機變量 X的分布函數(shù)為 F(x)=0,x-10.4,- 1x10.8,1 x31,x 3, 試求：(1)X 的概率分布 ； (2)PX2

13、X1.解答 ：(1)X-113pk0.40.40.2(2)PX2 X 1=PX=-1PX 1=23. 習題 5 設 X 的分布函數(shù)為F(x)=0,x0x2,0-1x2,11x x1.51,x 1.5,求 P0.40.5,P1.7X 2.解答 ： P0.40.5=1- PX 0.5=-1F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X 2=F(-2F)(1.7)=1-1=0.習題 6 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(- x+ ), 試求：(1)系數(shù) A與 B;(2)X 落在(-1,1 內的概率 .解答 ：(1)由于 F(-)=0,F(+ )=1, 可知A+B(- 2

14、)A+B( 2)=1=0?A=12,B=1 ,于是 F(x)=12+1 arctanx, - x+;(2)P- 1X 1=F(1-)F(-1)=(12+1 arctan1-)12+1 arctanx-1( )=12+1 ?4-12- 1 -( 4)=12.習題 7在區(qū)間0,a上任意投擲一個質點 ，以 X表示這個質點的坐標 .設這個質點落在 0,a中任意小區(qū)間內的 概率與這個小區(qū)間的長度成正比例 ，試求 X 的分布函數(shù) .解答 ： F(x)=PX x=0,x0xa,0 xa.1,x a2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題 1 設隨機變量 X 的概率密度為word 資料可編輯f(x)=12 -(

15、xe+3)24(- x+ 則), Y=N(0,1).解答 ：應填 3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知 =-3,=2由Y=X- N(0,1), 所以 Y=3+X2 N(0,1).習題 2 已知 Xf(x)=2x,0x10, 其它 , 求 PX0.5;PX=0.5;F(x).解答 ：PX0.5= - 0.5f(x)dx= - 00dx+00.52xdx=x2 00.5=0.25, PX=0.5=PX-P0.5X0.5= - 0.5f(x)dx- 0.5f(x)dx=0.當 X0時， F(x)=0;當 0x1 時，F(xiàn)(x)= - xf(t)dt= -00dt+0x2tdt=t2 0x=x2;當X1時，

16、F(x)= - xf(t)dt= -00dt+0x2tdt+ 1x0dt=t2 01=1,故F(x)=0,x 0x2,0x00,x試求0,： (1)A,B 的值； (2)P-1X1; (3) 概率密度函數(shù) F(x).解答 ：becauseF(+)=limx +(A+Be -2x)=1, A=1;又 becauselimx 0+(A+Be -2x)=F(0)=0,B=-1.(2) P-1X20e0,x 0.習題 4 服從拉普拉斯分布的隨機變量 X 的概率密度 f(x)=Ae- x, 求系數(shù) A 及分布函數(shù) F(x).解答 ：由概率密度函數(shù)的性質知 ，- +f(x)dx=1, 即- + A-exd

17、x=1,而- +Ae - xdx=- 0Aexdx+0+Ae -xdx=Aex - 0+(-Ae-x 0+ )=A+A=2A或 - + Ae - xdx=2 0+ Ae -xdx=-2Ae-x 0+ =2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2.從而 f(x)=12e- x,-x+, 又因為 F(x)= - xf(t)dt, 所以當 x0 時 ，F(xiàn)(x)= - x12e- t dt=12 -xetdt=12et -x=12ex;當 x0時，F(xiàn)(x)= - x12e- xdt= -012etdt+ 0x12e -tdt=12et- 0-12e-t 0x=12-12e-x+12=1-12e-x,從而

18、 F(x)=12ex,x150= 150+ f(x)dx= 150+ 100x2dx=-100x 150+ =100150=23, 從而三個電子管在使用 150 小時以上不需要更換的概率為 p=(2/3)3=8/27.習題 6設一個汽車站上 ，某路公共汽車每 5分鐘有一輛車到達 ，設乘客在 5 分鐘內任一時間到達是等可能 的， 試計算在車站候車的 10 位乘客中只有 1 位等待時間超過 4 分鐘的概率 .word 資料可編輯解答：設X為每位乘客的候車時間 ，則X服從0,5上的均勻分布 . 設 Y表示車站上 10位乘客中等待時間超 過4分鐘的人數(shù) . 由于每人到達時間是相互獨立的 .這是 10重

19、伯努力概型 . Y服從二項分布 ，其參數(shù) n=10,p=PX 4=15=0.2,所以PY=1=C1010.2 0.89 0.268.習題 7設XN(3,22).(1)確定 C, 使得PXc=PXc;(2)設d滿足PXd0.9, 問d至多為多少 ?解答 ：因為 XN(3,22), 所以 X-32=Z N(0,1).(1)欲使 PXc=PX 必c有, 1-PX c=PX 即c,PX c=1/2,亦即 (c-32)=12, 所以 c-32=0, 故 c=3.(2)由 PXd 0可.9得 1-PX d 0即.9,PX d 0.1.于是 (d-32)0.1, (-3d2)0.9.查表得 3-d21.28

20、2, 所以 d0.436.習題 8設測量誤差 X N(0,102), 先進行 100 次獨立測量 ，求誤差的絕對值超過 19.6 的次數(shù)不小于 3 的概率 . 解答 ：先求任意誤差的絕對值超過 19.6 的概率 p,p=P X19.6=1-P X 19.6=1-P X10 1.96=1- (1.96-)(-1.96)=1- 2 (1.96-1)=1- 2 0.97-51=1-0.95=0.05.設Y為 100次測量中誤差絕對值超過 19.6的次數(shù)，則 Yb(100,0.05).因為 n很大，p 很小，可用泊松分布近似 ，np=5=,所以PY 31-50e-50!-51e-51!-52e-52!

21、=1-3722-50.87.習題 9 某玩具廠裝配車間準備實行計件超產獎 ，為此需對生產定額作出規(guī)定 . 根據以往記錄 ，各工人每月 裝配產品數(shù)服從正態(tài)分布 N(4000,3600). 假定車間主任希望 10%的工人獲得超產獎 ， 求：工人每月需完成 多少件產品才能獲獎 ？解答：用 X表示工人每月需裝配的產品數(shù) ，則XN(4000,3600).設工人每月需完成 x 件產品才能獲獎 ，依題意得 PXx=0.1, 即1-PXx=0.1,所以 1-F(x)=0.1, 即 1- (x-400060)=0.1, 所以 (x-400060)=0.9.查標準正態(tài)人分布表得 (1.28)=0.8997, 因此

22、 x-400060 1.28, 即 x=4077 件，就是說 ， 想獲超產獎的工人 ，每月必須裝配 4077 件以上 .習題 10 某地區(qū) 18 歲女青年的血壓 (收縮壓 ， 以 mm-HG 計)服從 N(110,122). 在該地區(qū)任選一 18 歲女青年，測量她的血壓 X.(1)求 PX105,P100x0.005.解答 ：已知血壓 X N(110,122).(1)PX 105=P-1X1012 -512 1- (0.42)=0.3372,P100x 0.0求5, x, 即 1-PX x ,0 亦.05即 (x-11012) 0.95,查表得 x- 100121.645, 從而 x129.7

23、4.word 資料可編輯習題 11 設某城市男子身高 XN(170,36), 問應如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機會小于0.01.解答 ： XN(170,36), 則 X-1706 N(0,1).設公共汽車門的高度為 xcm ， 由題意 PXxx=1- PX x=-1 (-x1706)0.99, 查標準正態(tài)表得 x-17062.33, 故 x183.98cm.因此 ，車門的高度超過 183.98cm 時，男子與車門碰頭的機會小于 0.01.習題 12 某人去火車站乘車 ，有兩條路可以走 . 第一條路程較短 ，但交通擁擠 ，所需時間 (單位：分鐘 )服從 正態(tài)分布 N(40,102

24、); 第二條路程較長 ，但意外阻塞較少 ，所需時間服從正態(tài)分布 N(50,42), 求：(1) 若動身時離開車時間只有 60 分鐘 ，應走哪一條路線 ？(2) 若動身時離開車時間只有 45 分鐘 ，應走哪一條路線 ？解答：設 X,Y分別為該人走第一 、二條路到達火車站所用時間 ，則 XN(40,102),Y N(50,42). 哪一條路線在開車之前到達火車站的可能性大就走哪一條路線 .(1)因為 PX60= (-640010)= (2)=0.97725,PY60= (-65004)= (2.5)=0.99379, 所以有 60 分鐘時應走第二條路 .(2)因為 PX45= (-445010)=

25、 (0.5)=0.6915,PX0 時， fY(y)=1c(b- a),ca+d ycb+d0,其它 ,當 c0 時， fY(y)=-1c(b-a),cb +dyca+d0, 其它 .習題 4 設隨機變量 X 服從 0,1 上的均勻分布 ，求隨機變量函數(shù) Y=eX 的概率密度 fY(y).解答 ：f(x)=1,0 x1其0,它 , f=ex,x (0,1)是單調可導函數(shù) ， y(1,e), 其反函數(shù)為 x=lny, 可得f(x)=fX(lny) ln y,1ye其0,它 =1y,1y1y(時 )=P-y- 12 X-1y2= -y-12y- 1212 -ex2dx,所以 fY(y)=F Y(y

26、)=22 -1e2 ?y-12 ?122y-1,y1, 于是fY(y)=12-1)e(-yy- 14,y10,y 1.習題 6設連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 f(x), 分布函數(shù)為 F(x), 求下列隨機變量 Y的概率密度 ：(1)Y=1X; (2)Y= X.解答：(1)FY(y)=PY y=P1/X y.當 y0 時， FY(y)=P1/X 0+P01/X y=PX 0+PX 1/y=F(0-)F+(11/y),故這時 fY(y)=- F(1y) =1y2f(1y); ；當 y0 時， FY(y)=P1/y X0=-F(10/)y),故這時 fY(y)=1y2f(1y);當 y=0 時 ，

27、 FY(y)=P1/X 0=PX0 時，F(xiàn)Y(y)=P- y X y=F(-yF)(-y)這時 fY(y)=f(y)+f(-y); 當 y00,y 0.習題 7 某物體的溫度 T(F)是一個隨機變量 , 且有 TN(98.6,2), 已知 =5(T-32)/9, 試求 (F)的概率密度 . 解答 ：已知 TN(98.6,2). =59(T-32), 反函數(shù)為 T=59+32, 是單調函數(shù) ，所以f (y)=fT(95y+32)?95=12 ?2e-(95y+32-98.6)24 ?95word 資料可編輯=910 e-81100(y-37)2.習題8設隨機變量 X在任一區(qū)間 a,b上的概率均大

28、于 0, 其分布函數(shù)為 FY(x), 又Y在0,1上服從均勻分布 ， 證明:Z=FX-1(Y) 的分布函數(shù)與 X 的分布函數(shù)相同 .解答：因X在任一有限區(qū)間 a,b上的概率均大于 0, 故 FX(x)是單調增加函數(shù) ，其反函數(shù) FX-1(y)存在，又Y 在0,1上服從均勻分布 ，故 Y的分布函數(shù)為FY(y)=PY y=0,y0,于是，Z 的分布函數(shù)為FZ(z)=PZ z=P-1F(XY) z=PY FX(z)=0,FX(z)1由于 FX(z)為 X 的分布函數(shù) ，故 0FX(z) 1.FX(z)1 均勻不可能 ，故上式僅有 FZ(z)=FX(z), 因此，Z與 X的分布函數(shù)相同 . 總習題解答

29、習題 1從 120的整數(shù)中取一個數(shù) ，若取到整數(shù) k的概率與 k成正比，求取到偶數(shù)的概率 . 解答：設Ak 為取到整數(shù) k, P(Ak)=ck, k=1,2, ? ,20.因為 P(? K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，所以 c=1210,P 取到偶數(shù) =PA2 A4 ? A20 =1210(2+4+ ? +20)=1121.習題 2 若每次射擊中靶的概率為 0.7, 求射擊 10 炮,(1) 命中 3炮的概率 ;(2)至少命中 3炮的概率 ;(3)最可能命中幾炮 .解答：若隨機變量 X表示射擊 10 炮中中靶的次數(shù) . 由于各炮是否中靶相互獨立 ，所以是一個 10

30、重伯努利 概型，X 服從二項分布 ，其參數(shù)為 n=10,p=0.7, 故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)7 0.009;(2) PX 3-P=1X300000 即 X15( 人).因此 ，P保險公司虧本 =PX15= k=162500C2500k(0.002)k (0.99-k8 )25001- k=015e-55kk! 0.000069,由此可見 ,在 1 年里保險公司虧本的概率是很小的 .word 資料可編輯(2)P保險公司獲利不少于 100000 元=P300000-2 00000X 100000=PX 10= k=010C2500k(0.002) (0.998-k)250

31、0 k=010e-55kk! 0.986305,即保險公司獲利不少于 100000 元的概率在 98%以上 .P保險公司獲利不少于 200000 元 =P300000- 200000X 200000=PX 5= k=05C2500k(0.002)k (0.998-k)2500 k=05e-55kk! 0.615961,即保險公司獲利不少于 200000 元的概率接近于 62%.習題 4一臺總機共有 300 臺分機，總機擁有 13 條外線，假設每臺分機向總機要外線的概率為 3%, 試求每 臺分機向總機要外線時 ，能及時得到滿足的概率和同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù) .解答：設分機向總機要到外

32、線的臺數(shù)為 X, 300 臺分機可看成 300 次伯努利試驗 ，一次試驗是否要到外線 . 設要到外線的事件為 A, 則 P(A)=0.03, 顯然 Xb(300,0.03), 即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2, ? ,300),因 n=300 很大 ， p=0.03 又很小 , =np=300 0.03=9,可用泊松近似公式計算上面的概率 . 因總共只有 13 條外線 ， 要到外線的臺數(shù)不超過 13，故PX 13 k=0139kk!e-9 0.9265, ( 查泊松分布表 ) 且同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù)k0=(n+1)p=301 0.03=9

33、.習題5在長度為 t的時間間隔內 ，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù) X服從參數(shù) t2 的泊松分布 ，而與時間間 隔的起點無關 (時間以小時計 ), 求：(1) 某一天從中午 12 至下午 3 時沒有收到緊急呼救的概率 ；(2) 某一天從中午 12 時至下午 5 時至少收到 1 次緊急呼救的概率 .解答 ：(1)t=3, =3/2 ,PX=0=e-3/2 0.223;(2)t=5, =5/2,PX1=1 -PX=0=1-e-5/2 0.918. 習題 6 設 X 為一離散型隨機變量 ，其分布律為X-101pi1/21-2qq2試求 ：(1)q 的值 ； (2)X 的分布函數(shù) .解答 ： (1)be

34、cause 離散型隨機變量的概率函數(shù) PX=xi=pi, 滿足 ipi=1, 且 0pi 1, 1/2+1- 2q+q2=10 1-2q 1q2 1,解得 q=1-1/2. 從而 X 的分布律為下表所示 ：X-101pi1/22-13/2-2(2)由 F(x)=PX 計算x X 的分布函數(shù)F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1 x00 x0x 1.習題 7 設隨機變量 X 的分布函數(shù) F(x)為F(x)=0,x /2word 資料可編輯則 A=,P X/6= .解答 ：應填 1;1/2.由分布函數(shù) F(x)的右連續(xù)性 ，有 F(2+0)=F( 2)? A=1.因 F(x)在 x=6處

35、連續(xù) ， 故 PX=6=12, 于是有P X 6=P- 6X 6=P- 60是常數(shù) ，求電子管在損 壞前已使用時數(shù) X 的分布函數(shù) F(x)，并求電子管在 T 小時內損壞的概率 .解答：因 X的可能取值充滿區(qū)間 (0,+ ),故應分段求 F(x)=PX x.當 x0時，F(xiàn)(x)=PX x=P(? )=0;當 x0 時，由題設知 PxXx+x/X= x+o(x),而PxX x+ x/X=PxxPXx=Px0, 0故, X 的分布函數(shù)為F(x)=0,x-e- 01 x,x0( 0),從而電子管在 T 小時內損壞的概率為PX T=F(T)=-1e- T.習題 9 設連續(xù)型隨機變量 X的分布密度為f(

36、x)=x,0x-x,112x 2其0它, ,求其分布函數(shù) F(x).解答 ：當 x0時，F(xiàn)(x)= - x0dt=0;當0x1時，F(xiàn)(x)= - xf(t)dt= -00tdt+ 0xtdt=12x2;當 12 時，F(xiàn)(x)= - 00dt+01tdt+ 12(2- t)dt+ 2x0dt=1, 故F(x)=0,x 212x2,0-x1+2x- x122,12.習題 10 某城市飲用水的日消費量 X(單位：百萬升 )是隨機變量 ，其密度函數(shù)為 ：f(x)=19xe-x3,x00,其它 ,試求：(1)該城市的水日消費量不低于 600 萬升的概率 ； (2)水日消費量介于 600萬升到 900萬升的概率 .