公因數(shù)與公倍數(shù)

1、公因數(shù)與公倍數(shù)公因數(shù)問題1:用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)。12和1834和102 15和5012、24和36想：用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，一般用這兩個數(shù)除以它們的公因數(shù)，一直除到所得的兩個商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)連乘起來，所得積就是這兩個數(shù)的最大公 因數(shù)。兩個數(shù)的最大公因數(shù)用（）表示。解I 1 1I 3 10I 1 5 I1 2 33L6-9-13 12 6 112 31 3（ 15、50） 3 3 6 9（12、18） = 234、102） =1 2 3同時除以公因數(shù)2（15、24、36）=同時除以公因數(shù)2 同時除以公因數(shù)3除到三個商只有公因數(shù)1為止試一試：求下列各組數(shù)的最

2、大公因數(shù)（用短除法）54和9020和3028和84 30、45 和 60問題2:求24、60和132三個數(shù)，共有多少個公因數(shù)？其中 最大的公因數(shù)是多少？想：這道題可用列舉法來解答，但比較麻煩。我們可以 用短除法求出這三個數(shù)的最大公因數(shù)，然后根據(jù)幾個自然數(shù) 最大公因數(shù)的因數(shù)個數(shù)等于這幾個自然數(shù)公因數(shù)的個數(shù)的規(guī) 律，找到這三個數(shù)的公因數(shù)。22 6 1322 13 63 6 12 5 1（24、60、132） = 2 X 2 X 3=12,因為 24、60 和 132的最大公因數(shù)是12,試一試：先用短除法求出每一組數(shù)的最大公因數(shù)，再求出每 組數(shù)中公因數(shù)的總個數(shù)。16和24 60、75 和 15028

3、和70150和180問題3:有三根木棒，分別長12厘米，44厘米，56厘 米，把它們都截成同樣長的小棒（整厘米），不許有剩余，每 根小棒最長能有多少厘米?想：把每根木棒截成同樣長的小棒后不許有剩余，每根小棒的長度必須是各自木棒長度的因數(shù)；把三根小棒截成同 樣長的小棒，不許有剩余，每根小棒的長就是這三根小棒的 公因數(shù)；每根小棒最長多少厘米，就是求這三根小棒的最大 公因數(shù)解 21 4 56（ 12、44、56） = 2X 2=4試把它2 6 2 23 1 1一試：1、有三根鋼筋，分別長12分米，18分米、30分米，們都截成同樣長的小段（整分米），不許有剩余，每小段最 長是多少分米？2、有50個梨、

4、75個蘋果和100個桔子，要把這些水果平 均分給幾個小組，并且每個小組分得的三種水果的個數(shù)也 相同，最多可以分給幾個小組？每組中每樣水果各幾個？問題4: 一張長方形紙，長7分米5厘米，寬6分米， 把它截成一塊塊相同的正方形。而且正方形邊長為整厘米數(shù)， 有幾種截法？如果要使截得的正方形面積最大，可以截多少 塊？想：7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因為截成 的小正方形的邊長既是75厘米的因數(shù)又是60厘米的因數(shù)， 也就是75厘米和60厘米的公因數(shù)，75和60的公因數(shù)是1、3、5、15,所以有4種截法。要使截成的正方形面積最大， 那么邊長也應(yīng)該最大，應(yīng)該取75和60的最大公因數(shù)15作為 正方

5、形的邊長。3760251（75、60） = 3 X 5=15 （75十 15）X（ 60- 15）試一試1、一塊長45厘米，寬30厘米的長方形木板，把它 鋸成若干塊相同的正方形而沒有剩余，所鋸成的正方形的邊 長（整厘米數(shù)）最長是多少厘米？共能鋸成多少塊？2、把一張長1米5厘米，寬7分米的長方形紙，截成同樣的 小正方形紙（邊長為整厘米），而沒有剩余，至少能截成多少 塊？問題5： 一個數(shù)除150余6,除250余10，除350余14, 這個數(shù)最大是多少？想：一個數(shù)除150余6,可以轉(zhuǎn)化為144（ 150 6），同時除250余10也可以轉(zhuǎn)化成240（ 25010），除350余14可以轉(zhuǎn)化為336（35

6、014），轉(zhuǎn)化后的三個數(shù)都有某數(shù)這個因數(shù)。求這個數(shù)最大是多少,也就是求144、240和336的最大公因數(shù)是多少2 6（144、240、336）= 2X 2X 2X 2X 3=48271462682 343 12357試一試：1、一個數(shù)除200余4，除300余6，除500余10這個數(shù)最大是多少?1、如果把110塊糖平均分給五（2）班同學，則多5塊； 如果把210塊糖平均分給這個班正好分完；如果把 240塊 糖平均分給這個班同學，還少5塊。五（2）班最多有多少 個同學？綜合練習：1用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)。39和9174和11130、45和105 28、42 和 842、42、70和84三

7、個數(shù)的公因數(shù)，共有多少個？其中最大的 一個是多少？2、有A、B、C三根金屬條，長度分別是 4.8分米，6.4分 米，8分米，把它們截成同樣的小段，每段為整厘米，不 許剩余，每段最長是多少厘米？共可以截成多少段？3、將一塊長60米、寬40米的長方形土地劃分成面積相等 的小正方形（邊長為整米）。小正方形的面積最大是多少？ 共可以劃分成多少塊這樣的正方形？4、把160枝鉛筆，128本練習本，96冊故事書，最多可以 分成多少份同樣的獎品？在每份獎品中，鉛筆、練習本、 故事書各是多少？5、有一個大于1的整數(shù)，除300、262、205,得到相同的 余數(shù)，問這個整數(shù)是多少？6、幼兒園老師把100塊餅干平均分

8、給大（1）班的小朋友，則多10塊；如果把120塊餅干平均分給這個班的小朋友正 好分完；如果把85塊餅干，平分給這個班的小朋友還少 5 塊。大（1）班小朋友最多有多少人？7、工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了張師傅比 其他工人多加工若干個外，其他工人加工的都同樣多。已 知他們第一批共加工2100個，其中張師傅比每個工人多加 工7個；第二批加工1800個，其中張師傅比每個工人多加 工6個；第三批加工1600個，其中張師傅比每個工人多加 工13個。這批工人最多有多少個？四公倍數(shù)問題1 :用短除法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)。12和1830和756、12和30 28、42 和 84想：用短除法求幾個

9、數(shù)的最小公倍數(shù)，一般用這幾個數(shù) 的公因數(shù)去除這幾個數(shù)（從最小的公因數(shù)開始），一直除到任 意兩個商的公因數(shù)只有1為止。再把所有的除數(shù)和商連乘起 來，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。幾個數(shù)的最小公 倍數(shù)用表示。解3l 3 75 2 | 6 1 3 I2 4 83L6-9- 5 U-3-64 7 1 2 42 32 51 2 52 2 3 612、18=2 X 36、12、30= 2x3 1 3 330、75= 328、42、84) = 2 X 7試一試：用短除法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)。40和6035、105 和 14026和65&24和36問題2:兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72,

10、這兩個數(shù)分別是多少？想：根據(jù)“兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等 于這兩個數(shù)的乘積”，可先求出這兩個數(shù)的乘積，再把這個積 分解成兩個數(shù)。ABA b AB=72 十 12=6=1 X 6=2 當A、B分別是1和6時，A、B 分別為 12X 仁 12, 12X 6=72;試一試：1、甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90, 甲數(shù)是18，乙數(shù)是多少？1、甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90,甲數(shù)是18,乙數(shù)是多少？2、兩個數(shù)的最大公因數(shù)為21,最小公倍數(shù)為126,這兩個數(shù)分別是多少?3、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12,最小公倍數(shù)是60,求這兩 個數(shù)的和。問題3:兩個自然數(shù)的積是360,最

11、小公倍數(shù)是120,這 兩個數(shù)各是多少？想：我們把這兩個數(shù)設(shè)為 A、B,因為這兩個數(shù)的積，等 于這兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積。根據(jù)這一規(guī) 律，我們可以求出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是360* 120=3。又因為3AB=120, AB的公因數(shù)是1,Ai和B可以是1和40,也可以是5和8。當A、Bi分別試一試：1、求18和24的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積2、已知兩個自然數(shù)的積是240,最小公倍數(shù)是60,求這兩個 數(shù)。3、兩個不同自然數(shù)的最小公倍數(shù)是 36,求這兩個數(shù)？（寫 出所有的答案）問題4:某市1路、2路和8路公交車都從南站出發(fā)，1 路車每隔10分鐘發(fā)出一輛車，2路車每隔12分鐘發(fā)出一輛

12、車，8路車每隔15分鐘發(fā)出一輛車，當這三種路線的車同時 發(fā)車后，至少要經(jīng)過多少分鐘又同時發(fā)車？想：從第一次三種線路的車同時發(fā)車，到下一次再次同 時發(fā)車，相隔的時間應(yīng)該是10、12、15的最小公倍數(shù)。解：因為10、12、15的最小公倍數(shù)是60,所以至少再 經(jīng)過60分鐘后又同時發(fā)車。答：至少再經(jīng)過60分鐘后又同時發(fā)車。試一試：1、A、B、C三人是朋友，他們每隔不同的天數(shù)到圖書館去一 次，A 3天去一次，B 4天去一次，C 6天去一次。7月3日 他們?nèi)饲『迷趫D書館相會，至少在幾月幾號再次在圖書館 相會？問題5:從運動場一邊的一端起到另一端全長 96米，每隔3 米插一面小旗。現(xiàn)在改成每隔 4米插一面小旗，可以不必拔 出的小旗有多少面？想：從運動場的一端開始，是 3和4的公倍數(shù)處的那一 面就不必移動。因為3和4的最小公倍數(shù)是12,所以，從第 一面開始，每隔12米就有一面小旗不必移，96* 12=8,就是 有8面小旗不必移動，再加上第一面小旗共有 9面小旗不必 移動。解：3、4=12 , 96* 12+1=9 （面）答：共有 9面小旗不必移動。試一試:1、在一條長120米的直路的一邊植樹（兩頭都栽）原來每4米挖一個樹坑，樹坑已挖好