精編軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)點(diǎn)歸納并練習(xí)

1、第十三章 （精編）軸對(duì)稱(chēng) 軸對(duì)稱(chēng)、線段垂直平分線、 、等腰三角形、等邊三角形 軸對(duì)稱(chēng)圖形如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，?這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸有的軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不止一條，如圓就有無(wú)數(shù)條 對(duì)稱(chēng)軸軸對(duì)稱(chēng) 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，?那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)兩個(gè) 圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)也叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)， ?那么 對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱(chēng) 圖形的對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線畫(huà)一圖形關(guān)

2、于某條直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形的步驟： 找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫(huà)出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，按照原 圖順序依次連接各點(diǎn)。軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，?成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是 全等形，并且成軸對(duì)稱(chēng)考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對(duì)稱(chēng)圖形”與“軸對(duì)稱(chēng)”的認(rèn)識(shí)1. 下列幾何圖形中， 1 線段2 角3直角三角形4 半圓，其中一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有 【 】A1個(gè)B 2 個(gè)C 3 個(gè)D 4 個(gè)2圖中，軸對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)是【】A4 個(gè) B 3 個(gè)C 2 個(gè)D 1 個(gè)1 / 19線段的垂直平分線（ 1）經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條

3、線段的直線，?叫做這條線段的 垂直平分線 （或線段的中垂線）（ 2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，?與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 因此線段的垂直平分線可以看成與線段 兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合考點(diǎn)二、線段垂直平分線的性質(zhì)4如圖， ABC中， A90， BD為 ABC平分線， DEBC，E是 BC的中點(diǎn)，求 C的 度數(shù)。5如圖， ABC中， AB AC，PBPC，連 AP并延長(zhǎng)交 BC于 D，求證： AD垂直平分 BC6如圖 ,DE 是 ABC中 AC邊的垂直平分線，若 BC 8 厘米， AB10 厘米，則 EBC 的周長(zhǎng)為【 】A.1

4、6 厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米2 / 19A7如圖， BAC30， P 是 BAC平分線上一點(diǎn)， PM AC，PDAC，PD30 , 則 AM軸對(duì)稱(chēng)變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱(chēng)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)變換 ? 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到 軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)（1）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所

5、得到的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P（ x， y）關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ x，y）點(diǎn) P（ x， y）關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P（ x， y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ x， y）3 / 19關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P（x， y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線點(diǎn) P（ x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線 關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱(chēng)yx 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ y，x） y x 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ y， x）點(diǎn) P（x， y）關(guān)于直線 x m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 2m x ， y）； 點(diǎn) P（ x， y）關(guān)于直線 yn 對(duì)稱(chēng)的

6、點(diǎn)的坐標(biāo)是（ x，2ny）； 考點(diǎn)三、軸對(duì)稱(chēng)變換及用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng) 8 點(diǎn) A （-3 ，2）關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ）A （-3 ，-2） B （3 ，2） C （-3 ，2） D （ 2 ，-3）9點(diǎn) P（ a， b）關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P（ 1， -6 ），則 A、 B的值分別為 （ ）A 1 ， 6 B -1 ， -6 C -1 ，6 D 1 ， -610. 點(diǎn) P關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 4，-5 ）,那么點(diǎn) P關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P的坐標(biāo)為：A （-4 ，5） B （4 ，-5）C （-4 ，-5） D （-5 ，-4）11. 平面內(nèi)點(diǎn) A（-1 ，2）和點(diǎn) B（

7、-1 ，6）的對(duì)稱(chēng)軸是 （ ）A.x 軸B.y 軸C. 直線 y=4D. 直線 x=-112. 下列關(guān)于 直線 x=1 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是 （ ）A 點(diǎn)（0 ， -3 ）與點(diǎn)（ -2 ，-3 ）B 點(diǎn)（ 2 ，3）與點(diǎn)（ -2 ， 3）C 點(diǎn)（ 2 ， 3）與點(diǎn)（ 0 ，3）D 點(diǎn)（2 ，3）與點(diǎn)（ 2 ，-3 ）13. 已知 A（-1 ，-2） 和 B（1 ，3），將點(diǎn) A向平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)與點(diǎn) B關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)14. 如下圖：若正方形 ABCD 關(guān)于 x 軸與 y 軸均成軸對(duì)稱(chēng)圖形， 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 2， 1），標(biāo)出點(diǎn) B 、C 、D 的坐標(biāo)分別為： B（ ， ） ， C（ ， ） ，

8、D（， ） 。15. 若 A （ m-1，2n+3）與 B（ n-1，2m+1 ）關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，則 m= ,n=16. 已知 a0，那么點(diǎn) P（-a2-2，2-a）關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P在第 象限 三、解答題17. 已知點(diǎn) M（1-a ，2a+2 ），若點(diǎn) M關(guān)于 x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第三象限，求 a的取值范圍？4 / 1918. 已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 2x+y-3 ，x-2y ）。它關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ x+3 ，y-4 ）， 求點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。19. 如圖， 從 ABC到 A BC是進(jìn)行的平移變換還是軸對(duì)稱(chēng)變換， 如果是軸對(duì)稱(chēng)變換，找出對(duì)稱(chēng)軸，如果是平

9、移變換，是怎樣平移的？20. 如圖， ABC，求頂點(diǎn) A、B、C關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)并在坐標(biāo)系中畫(huà)出 ABC關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的 EDF。21. 已知兩點(diǎn) A（ 1， 2） B（3，1）（1）P點(diǎn)在 X 軸上移動(dòng)。求 PA+PB的最小值。（2）Q點(diǎn)在 Y 軸上移動(dòng)。求 QA+QB的最小值。（3）并求出 P.Q 的坐標(biāo)。5 / 19考點(diǎn)四、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形22如圖， RtABC，C90,B30,BC8，D為 AB中點(diǎn)， P為 BC上一動(dòng)點(diǎn)，連 接 AP、DP,則 AP DP

10、的最小值是23已知等邊 ABC， E在 BC的延長(zhǎng)線上， CF平分 DCE，P 為射線 BC上一點(diǎn)， Q為 CF上一點(diǎn)，連接 AP、 PQ.若 APPQ，求證 APQ是多少度作點(diǎn) Q 關(guān)于 BE 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) R ，交 BE 于點(diǎn) H， 從而可得 QCH RCH, QCH= RCH=60 度。 A ,C,R 在同一直線上。易證 PCQPCR,從而 QPH= RPH,PR=PQ, PQC= PRC. 又由于 AP=PQ, 從而 AP=PR, 得到 PRA= PAR BAP+ PAC=PQC+ QPC BAP= QPC 即有： BAP+ B=QPC+ APQ 即 APQ=60o6 / 19等腰三角形

11、有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所 夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì) 1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì) 2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別的：（ 1）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 . （2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊” ） 特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形 （2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（ 3）有兩邊上的

12、中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（ 4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形 考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識(shí)別 24如圖， ABC 中， ABAC8，D在 BC上，過(guò) D作 DE AB 交 AC于 E，DFAC交 AB 于 F，則四邊形 AFDE的周長(zhǎng)為 。25如圖， ABC中， BD、CD分別平分 ABC與 ACB， EF過(guò) D且 EFBC，若 AB 7 ， BC 8，AC 6 ，則 AEF周長(zhǎng)為【】A. 15 B . 14 C. 13 D. 1826如圖 ,點(diǎn) B、D、F在 AN上,C、E在 AM上，且 ABBCCDEDEF,A20o,則FEB7 / 19度27已知等腰三角形一腰上的高

13、與另一腰的夾角為40，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是 28如圖：在 ABC中，ABAC，ADBC， DEAB于點(diǎn) E, DF AC于點(diǎn) F。試說(shuō)明 DEDF。A29如圖 ,E 在 ABC的 AC邊的延長(zhǎng)線上， D 點(diǎn)在 AB邊上， DE交 BC于點(diǎn) F，DFEF，BD30已知：如圖， ABC中， ACB的平分線交 AB 于 E，EF BC交 AC于點(diǎn) F，交 ACB的 外角平分線于點(diǎn) G試判斷 EFC的形狀，并說(shuō)明你的理由等邊三角形8 / 19 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等， ?并且每一個(gè)內(nèi)角都等于 60 等邊三角形的判定方法（1）三條

14、邊都相等的三角形是等邊三角形； （2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（ 3）有一個(gè)角是 60的等腰三角形是等邊三角形 考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識(shí)別31下列推理中，錯(cuò)誤的是【】A A B C， ABC是等邊三角形B ABAC，且 B C， ABC是等邊三角形C A60， B 60， ABC是等邊三角形D ABAC， B60， ABC是等邊三角形32如圖，等邊三角形 ABC中， D是 AC的中點(diǎn)， E為 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 CE CD， DM BC，垂足為 M。求證： M是 BE的中點(diǎn)。33已知 ABC是等邊三角形，分別在 AC、 BC上取點(diǎn) E、F，且 AECF， BE、AF交于點(diǎn) D，

15、則 BDF 度9 / 1934如圖，D、E、F分別是等邊 ABC各邊上的點(diǎn)， 且 ADBECF，則 DEF?的形狀是【】A等邊三角形 B 腰和底邊不相等的等腰三角形 C 直角三角形 D 不等邊三角形角平分線的性質(zhì)：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角平分線的判定： 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上三角形的角平分線的性質(zhì)：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等考點(diǎn)七、 30所對(duì)的直角邊是斜邊的一半10 / 1935如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn) D是斜梁 AB的中點(diǎn)，立柱 BC、 DE垂直于橫梁 AC，AB 8m， A30，則 DE等于【】A1mB 2mC3mD 4m3

16、6一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AOBO40cm，C0D030 cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開(kāi)的角度AOB剛好為 120，求桌面到地面的距離是多少？甲DFAC 于 F，BAC 120o，BC6，則 DEDF38在 ABC中， AB AC， A 120 ， AB的垂直平分線交 BC于點(diǎn) F，交 AB 于點(diǎn) E 如果 EF 1 ，求 BC 的長(zhǎng)39已知：在 ABC中， ABAC， BAC 120， AB的垂直平分線交 AB于 E，交 BC于F.求證： CF2BF.11 / 19作圖題專(zhuān)練1如圖：已知 AOB 和 C、D 兩點(diǎn)，求作一點(diǎn) P，使 PC=PD，且 P 到AOB 兩邊的距離

17、 相等2已知： A、B兩點(diǎn)在直線 l 的同側(cè)，試分別畫(huà)出符合條件的點(diǎn)M（ 1）如圖，在 l 上求作一點(diǎn) M，使得 AMBM 最?。?作法：2）如圖，在 l 上求作一點(diǎn)M，使得 AM BM最大作法：3）如圖，在l 上求作一點(diǎn) M，使得 AMBM 最小12 / 194）如果兩點(diǎn)位于直線異側(cè)，請(qǐng)你去解決上述問(wèn)題 變式練習(xí)1、如圖，已知直線 MN 與MN 同側(cè)兩點(diǎn) A、B求作：點(diǎn) P，使點(diǎn) P在MN 上，且 APM BPN2如圖點(diǎn) A、B、C在直線 l 的同側(cè)，在直線 l上，求作一點(diǎn) P，使得四邊形 APBC的周長(zhǎng) 最??；3. 如圖已知線段 a，點(diǎn)A、B在直線 l的同側(cè)，在直線 l 上，求作兩點(diǎn) P、

18、Q （點(diǎn) P在點(diǎn) Q 的左側(cè)）且 PQ a，四邊形 APQB 的周長(zhǎng)最小4、已知：如圖點(diǎn) M 在銳角 AOB 的內(nèi)部，在 OA 邊上求作一點(diǎn) P，在 OB 邊上求作一點(diǎn) Q，使得 PMQ 的周長(zhǎng)最??；13 / 195、已知：如圖 3 14，點(diǎn) M 在銳角 AOB 的內(nèi)部，在 OB 邊上求作一點(diǎn) P，使得點(diǎn) P 到 點(diǎn) M 的距離與點(diǎn) P 到 OA 邊的距離之和最小6、一條河兩岸有 A、B 兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋，用來(lái)連接A、B兩地，問(wèn)路線怎樣走，橋應(yīng)架在什么地方，才能使從A到 B 所走的路線最短？軸對(duì)稱(chēng)專(zhuān)題訓(xùn)練一、選擇題（每題 3 分，共 24分）1、下列圖案中，不是

19、軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A B C14 / 192、（易錯(cuò)易混點(diǎn)） 下列長(zhǎng)度的三線段 ,能組成等腰三角形的是A . 1 1 2 B. 2 2 5 C. 3 3 5 D. 3 4 53. 如圖，已知 ACBD ，OA=OC，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）A . B= DB. A=BC. AD=BCD. OA=OB4（易錯(cuò)易混點(diǎn)） 下列說(shuō)法正確的是 （ ）A 等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等C等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D等腰三角形的兩個(gè)底角相等 5、如圖， ABC與ABC 關(guān)于直線 l 對(duì)稱(chēng)，且 A 78， C 48，則 B的度數(shù)為（ ）A 48B 546、如

20、圖所示， 把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF 折疊后，點(diǎn) D，C 分別落在 D ，C的位置若 EFB 65，則 AED 等于A. 70 B. 65C. 50 D. 257、已知 M（a,3）和 N（4，b）關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，則（a b）2012 的值為（A.1B、12009C.7D. 7200915 / 198、如圖 ,BAC=110 若 MP 和 NQ分別垂直平分 AB和 AC,則 PAQ的度數(shù)是 （）A.20 B. 40 C. 50 D. 60 二、填空題（每題 3 分，共 24分）9軸對(duì)稱(chēng)是指 個(gè)圖形的位置關(guān)系 ;軸對(duì)稱(chēng)圖形是指 個(gè)具有特殊形狀的圖形 .10、有一條對(duì)稱(chēng)軸的三角形是 三角形 ,有三條對(duì)稱(chēng)軸的三角形是 三角形 .11. 如圖，在 ABC 中， A 900 ， BD 是 ABC 的平分線， DE 是 BC 的垂直平分線， 則 C=.12、（易錯(cuò)易混點(diǎn)） 在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分線與 AC 所在的直線相交所得到銳角為 50，則 B 等于 度13、如圖，在 ABC 中， AB=AC， A 500，P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 PBC= PCA，則 BPC = 14、如圖， ABC 中,A=36，AB=AC，BD 平分 ABC,DE BC ,則圖中等腰三角形有個(gè).15、如圖