概率論與隨機(jī)過程習(xí)題

1、概率論與隨機(jī)過程第一章習(xí)題1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。（ 1） 記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分） 。（ 2） 同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和。（3）10只產(chǎn)品中有 3只是次品，每次從其中取一只（取出后不放回） ，直到將 3 只次品都取出，記錄 抽取的次數(shù)。（ 4） 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10 件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（5） 一個(gè)小組有 A，B，C，D，E5 個(gè)人，要選正副小組長各一人（一個(gè)人不能兼二個(gè)職務(wù)），觀察選舉的結(jié)果。（ 6） 甲乙二人下棋一局，觀察棋賽的結(jié)果。（7） 一口袋中有許多紅色、白色、藍(lán)色乒乓球，在其中任意取 4 只，觀察它們具有哪幾種顏色。（

2、 8） 對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品” ，不合格的蓋上“次品” ，如連續(xù)查出二個(gè)次 品就停止檢查，或檢查 4 個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。（9） 有 A，B，C 三只盒子， a，b，c 三只球，將三只球裝入三只盒子中，使每只盒子裝一只球，觀察 裝球的情況。（ 10） 測量一汽車通過給定點(diǎn)的速度。（ 11） 將一尺之棰折成三段，觀察各段的長度。2. 設(shè) A ，B，C為三事件，用 A，B，C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1） A 發(fā)生， B 與 C 不發(fā)生。（ 2） A 與 B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生。（3） A ， B，C 都發(fā)生。（4）A ， B，C 中至少有一個(gè)發(fā)生。（5

3、）A ， B，C 都不發(fā)生。（6）A ， B，C 中至多有一個(gè)發(fā)生。（7）A ， B，C 中至多有二個(gè)發(fā)生。（8）A ， B，C 中至少有二個(gè)發(fā)生。3.設(shè) S 1,2, ,10 ,A 2, 3, 4 ，B 3, 4, 5 ， C 5,6,7 ，具體寫出下列各等式4.1） AB。 （2） A B。3）AB 。4) ABC 。5) A(B C) 。設(shè)S x 0 x 2， A，具體寫出下列各式。1） A B 。 （2） A B 。3) AB 。4) AB 。5. 設(shè) A，B，C 是三事件，且 P（A） P（B） P（C） 1 4， P（AB） P（CB） 0，P（AC） 18，求 A， B， C 至

4、少有一個(gè)發(fā)生的概率。6. 在 1500 個(gè)產(chǎn)品中有 400 個(gè)次品， 1100 個(gè)正品，任意取 200 個(gè)。 （ 1） 求恰有 90 個(gè)次品的概率。（ 2） 至少有 2 個(gè)次品的概率。7.1）在房間里有2）在房間里有500 個(gè)人，問至少有一個(gè)人的生日是 10月 1 日的概率是多少（設(shè)一年以 365天計(jì)算）？4 個(gè)人，問至少有二個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？8. 甲、乙位于二個(gè)城市，考察這二個(gè)城市六月份下雨的情況。以A， B 分別表示甲，乙二城市出現(xiàn)雨天這一事件。根 據(jù)以往 的氣象記 錄已知 P（A） P（B） 0.4， P（AB） 0.28 ，求 P（A/B）， P（B/A）及 P（A B

5、） 。9. 已知在 10只晶體管中有 2 只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概 率。（ 1） 二只都是正品。（ 2） 二只都是次品。（ 3） 一只是正品，一只是次品。（ 4） 第二次取出的是次品。10. 某工廠中，機(jī)器 B1 , B2 , B3 分別生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)的 25%，35%和 40%。它們生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別有 5%，4%，2% 的次品，將這些產(chǎn)品混在一起，今隨機(jī)地取一只產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品。問這一次品是機(jī)器B1, B2, B3生產(chǎn)的概率分別是多少？p ，且設(shè)各繼電器接點(diǎn)11. 將二信息分別編碼為 A和 B 傳送出去，接收站接收時(shí)， A被誤收作 B的概率為 0.0

6、2 ，而 B被誤收作 A的 概率為 0.01 。信息 A與信息 B傳送的頻繁程度為 2:1 。若接收站收到的信息是 A，問原發(fā)信息是 A的概率 是多少？12. 如圖所示 1，2，3，4，5，6 表示繼電器接點(diǎn)。假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為閉合與否相互獨(dú)立。求 L 至 R 連通的概率是多少？13. 對(duì)飛機(jī)進(jìn)行三次獨(dú)立的射擊，第一次射擊的命中率為 而被擊落的概率為 0.2 ，擊中二次而被擊落的概率為 而擊落飛機(jī)的概率 （ 包括射擊一次、二次、三次擊落0.4 ，第二次為 0.5 ，第三次為 0.7 。飛機(jī)擊中一次0.6 ，若被擊中三次則飛機(jī)必然被擊落，求射擊三次 ）。14. 一袋中有 5 只乒乓球

7、，編號(hào)為 1， 2， 3，4，5，在其中同時(shí)取三只。以 X 表示取出的三只球中的最大號(hào) 碼，寫出隨機(jī)變量 X 的概率密度。k15. （1）設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 P X k a ，k 0,1,2, ,0 為常數(shù)，試確定常數(shù) a。k!（2） 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 PX k a ，k 0,1,2, , N 1 ，試確定常數(shù) a。N16. 設(shè)事件 A 在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 0.3，當(dāng) A 發(fā)生不少于 3 次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)。 （ 1）進(jìn)行了 5 次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。 （2）進(jìn)行了 7 次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。17. 一電話交換機(jī)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)

8、為4 的泊松分布，求： （1）每分鐘恰有 8 次呼喚的概率。 （ 2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于 10 的概率。18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為F(x)0,x 0,x 0.1) 求PX 2, PX 3 ，2)求概率密度 f (x) 。工廠生 產(chǎn)的電子管的壽命 X(以小時(shí)計(jì))服從 參數(shù)為 160 ， 的正態(tài)分布， 若要求P120 X 200 0.80 ,允許 最大為多少？設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為X21013pk11111156515302求Y X 2 的概率密度。設(shè) X 的概率密度為2x f(x) 20,0 x ，求 Y sinX 的概率密度

9、。 其它設(shè)隨機(jī)變量( X， Y)的概率密度為x2 xy , 0 x 1,0 y 2, f (x, y) x 3 , 0 x 1,0 y 2,0, 其它.求 PX Y 1 。2 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命(以小時(shí)計(jì))近似地服從N (160, 202 )分布，隨機(jī)地選取 4 只，求其中沒有只壽命小于 180 小時(shí)的概率。設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率質(zhì)量函數(shù)為X-202pk0.40.30.3求E(X),E(X2 ), E( 3X 2 5)。設(shè) X 服從二項(xiàng)分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為nP X k n pk(1 p)n k, k 0,1,2, ,n. 0 p 1. 求E(X) 和D(X)。 k設(shè) X 服從泊松分布，

10、其概率質(zhì)量函數(shù)為keP X k e , k 0,1, 2, , 0. 求 E(X)和 D(X)。 k!設(shè) X 服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為f (x) b a0，a x b, 其它，求 E(X)和 D(X)。設(shè) X 服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X ，Y，證明下式成立： (1) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) ； (2) Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 。設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為f(x)ex0,x。求 E(X)和 D(X)。x 0。求( 1)Y=2X ，(2)Y e 2x的數(shù)學(xué)期望。 x028.29.30.31.32.33.3

11、4.35.36.37.38.39.K ，并求 E(XY) 。設(shè)隨機(jī)變量( X， Y)的概率密度函數(shù)為K, 0 x 1,0 y x,f( x,y) 試確定出常數(shù)0, 其它，已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是毫升含白細(xì)胞數(shù)在 52009400 之間的概率。7300，均方差是 700。 利用契比雪夫不等式估計(jì)每設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為f(x) e , x 0，其中0為常數(shù)。求 E(X) 和 D(X) 。0, x 0xx 2f(x) 2 exp( 2 2), x 0，其中0為常數(shù)。求 E(X) 和D(X)。0, x 0設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率質(zhì)量函數(shù)為

12、 P X k pqk 1， k 1,2, 。其中 0 p 1, q 1 p為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 p的幾何分布。試求 E(X)和 D(X)。1設(shè)隨機(jī)變量 (X ，Y)的概率密度函數(shù)為 .f(x,y) (x y), 0 x 2,0 y 2。求 E( X ) 、E(Y ) 、Cov( X ,Y ) 。 8計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)取整(取為接近于它的整數(shù)) ，設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的，且它 們都在( -0.5，0.5)上服從均勻分布。(1) 若將 1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對(duì)值超過15 的概率是多少？(2) 幾個(gè)數(shù)可加在一起使得誤差總和的絕對(duì)值小于 10 的概率為 0.90？(1)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)， 由 100 個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。 在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率0.10。為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必需有 85 個(gè)部件工作，求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率。(2)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由 n