10.3.1邊緣分布

1、第三節(jié) 邊緣分布 二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機變量的邊緣分布函數(shù) 定義定義:設(shè)設(shè) 為二維隨機變量，為二維隨機變量，X 和和Y 的分布的分布 函數(shù)分別為函數(shù)分別為 和和 ，則稱，則稱 (, )X Y ( ) Y F y( ) X Fx (1) 為二維隨機變量為二維隨機變量 關(guān)于關(guān)于X 的邊緣的邊緣 分布函數(shù)分布函數(shù); ( ) X Fx(, )X Y (2) 為二維隨機變量為二維隨機變量 關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣的邊緣 分布函數(shù)分布函數(shù); ( ) Y Fy(, )X Y xXPxF X )( YxXP, ),( xF x y x 邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定

2、. lim( , ) y F x y 由聯(lián)合分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù) 邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù), 逆不真逆不真. y x yyYPyF Y )( yYXP, ),(yF lim( , ) x F x y 一般，對離散型一般，對離散型 r.v ( X,Y )， 則則(X,Y)關(guān)于關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為 , 2 , 1,)( ippxXP j ijii (),1,2, jjij i P Yyppj (X,Y)關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為 X和和Y 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為 , 2 , 1,),(jipyYxXP ijji 1 y1 yj 11 p 1 i p

3、1j p ij p pjp1pj pi p1 pi xi x1 Y X 聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律及邊緣分布律及邊緣分布律 故聯(lián)合分布律及邊緣分布律為 0 1 0 1 1/25 4/25 4/25 16/25 X Y Pj 4/5 1/5 1 1/5 4/5 第一節(jié)的例一第一節(jié)的例一 放回抽樣放回抽樣 Pi 故聯(lián)合分布律及邊緣分布律為 0 1 0 1 1/45 8/45 8/45 28/45 X Y Pj 4/5 1/5 1 1/5 4/5 pi 不放回抽樣不放回抽樣 此例(1)和(2)中X和Y的邊緣分布是相同的， 但它們的聯(lián)合分布卻完全不同，由此可以 看出，聯(lián)合分布不能由邊緣分布唯一確定. 也就是

4、說，二維隨機向量的性質(zhì)不能由它 的個別分量的個別性質(zhì)來確定，還須考慮 它們之間的聯(lián)系. ( )( ,)( , ) x X FxF xf u y dydu 連續(xù)型的邊緣分布函數(shù)與邊緣連續(xù)型的邊緣分布函數(shù)與邊緣 d.f. ( )(, )( , ) y Y FyFyf x v dxdv ( )( , ) X fxf x y dy ( )( , ) Y fyf x y dx 的的連連續(xù)續(xù)點點處處，有有和和在在)()(yfxf YX ).( )( ),( )( yf dy ydF xf dx xdF Y Y X X 與離散型相同,已知聯(lián)合分布可以求 得邊緣分布；反之則不能唯一確定. 例例2 2 設(shè)二維隨

5、機變量設(shè)二維隨機變量( (X X, ,Y Y ) )在在x x=0,=0,y y=0, =0, x+y=1 x+y=1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 D D 上服從均勻分布，上服從均勻分布， 求求(X,Y)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X X與關(guān)于與關(guān)于Y Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度. . 解：解：( 利用公式（利用公式（3.5，3.6）求邊緣概率密度）求邊緣概率密度) 區(qū)域區(qū)域 D 的面積為的面積為A=1/2,則則(X,Y)的概率密度為的概率密度為 2,( , ) ( , ) 0, x yD f x y 其它 )1(22),()( 10 1 0 xdydyyxfxf x x X 時時當當 . 0)(,

6、0),(1, 0 xfyxfxx X 故故時時，或或當當 其其它它, 0 10),1(2 )( xx xf X 所以所以 )1(22),()( 10 1 0 ydxdxyxfyf y y Y 時時當當 同理可得同理可得 其其它它, 0 10),1(2 )( yy yf Y 所以所以 例例4 若二維隨機變量（若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 2 1 1 2 2 21 )( )1 (2 1 exp 12 1 ),( x yxf )()(2 2 2 2 2 2 1 1 yyx 則則 （ X,Y）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為 的的二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布. , 2121 其中其中均為常數(shù)均

7、為常數(shù),且且 , 0, 0 21 1| , 2121 正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布 xexf x X , 2 1 )( 2 1 2 1 2 )( 1 yeyf y Y , 2 1 )( 2 2 2 2 2 )( 2 在求連續(xù)型在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時，往往要的邊緣密度時，往往要 求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分. 當聯(lián)合密當聯(lián)合密 度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時 應(yīng)特別注意積分限應(yīng)特別注意積分限 . 例例5 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是 其它, xy,x),x(cy )y, x(f

8、0 0102 求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊緣密度）兩個邊緣密度. =5c/24=1, c =24/5 1 00 )2( x dxdyxcy dxdyyxf),( 解：解：(1) dxxxc 1 0 2 22/ )( 由由 1),(dxdyyxf 確定確定C (2) 求邊緣概率密度求邊緣概率密度 ( )( , ) X fxf x y dy ),2( 5 12 2 xx01x 注意積分限注意積分限 x y 01 y=x 0 24 (2) 5 x yx dy 注意取值范圍注意取值范圍 ), 2 2 2 3 ( 5 24 2 y yy ( )( , ) Y fyf x y dx 10 y 注意積分限注意積分限 注意取值范圍注意取值范圍 x y 01 y=x 124 (2) 5 y yx dx 其它, 0 10), 2 2 2 3 ( 5 24 )( 2 y y yy yfY 其它, 0 10),2( 5 12 )( 2 xxx xf X 即即 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布; 但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布