熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解問題的導(dǎo)出

1、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解問題的導(dǎo)出 1. 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 考察空間某物體G的熱傳導(dǎo)問題。以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體G在位置(x,y,z)及時刻t的溫度。 依據(jù)傳熱學(xué)中的Fourier實驗定律，物體在無窮小時段dt內(nèi)沿法線方向n流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù) ?u成正比，即 ?ndQ?k(x,y,z)?udSdt (1-1) ?n 其中k(x,y,z)稱為物體在點(x,y,z)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，它應(yīng)取正值。(1-1)式中負號的出現(xiàn)是由于熱量總是從溫度高的一側(cè)流向低的一側(cè)，因此dQ應(yīng)和?u異號。 ?n 在物體G內(nèi)任取一閉曲面?，它所包圍的區(qū)域記為?，

2、由(1-1)式，從時刻t1到t2流進此閉曲面的全部熱量為 ?u?t?Q?t12?k(x,y,z)dS?dt ?n? ?u表示u沿?上單位外法線方向n的方向?qū)?shù)。 ?n(1-2) 這里 流入的熱量使物體內(nèi)部的溫度發(fā)生變化，在實踐間隔(t1,t2)中物體溫度從u(x,y,z,t1)變化到u(x,y,z,t2)，它所應(yīng)該吸收的熱量是 ?c(x,y,z)?(x,y,z)u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)dxdydz ? 其中c為比熱，?為密度。因此就成立 ?t2?k(x,y,z)1t?u?dS?dt?c(x,y,z)?(x,y,z)u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)dxdydz

3、?n? (1-3) 假設(shè)函數(shù)u關(guān)于變量x,y,z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用格林公式，可以把(1-3)化為 ?u?u?u?t2?u?k?k?kdxdydzdt?c?dt?dxdydz ?t1?x?y?y?z?z?x?t?t2 t1 交換積分次序，就得到 ?u?u?u?u?k?c?k?k?dxdydzdt?0 ?t?x?x?y?y?z?z?t2 t1(1-4) 由于t1,t2,?都是任意的，我們得到 c?u?u?u?u?k?k?k? ?t?x?x?y?y?z?z?(1-5) (1-5)式稱為非均勻的各向同性體得熱傳導(dǎo)方程。如果物體是均勻的，此時k,c,?均為常數(shù)，記k?a2

4、，即得 c? 2?u?2u?2u?2?u?a?2?2?2? ?t?y?z?x (1-6) 如果考查的物體內(nèi)部有熱源（例如物體中通有電流或有化學(xué)反應(yīng)等情況），則在熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)中還需要考慮熱源的影響。若設(shè)在單位實踐內(nèi)單位體積中所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t)，則在考慮熱平衡時，(1-3)式左邊應(yīng)再加上一項 ?t1?F(x,y,z,t)dxdydzdt ?t2 于是，相應(yīng)于(1-6)的熱傳導(dǎo)方程應(yīng)改為 其中 2?u?2u?2u?2?u?a?2?2?2?f(x,y,z,t) ?t?y?z?x(1-7) f(x,y,z,t)?F(x,y,z,t)。 (1-8) c? (1-6)稱為齊次熱傳導(dǎo)方程，

5、而(1-7)稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程。 2. 定解問題的提法 從物理學(xué)角度來看，如果知道了物體在邊界上的溫度狀況（或熱交換情況）和物體在初始時刻的溫度，就可以完全確定物體在以后時刻的溫度。因此熱傳導(dǎo)方程最自然的一個定解問題就是在已給的初始條件和邊界條件下求問題的解。 2.1 初始條件的提法 初始條件的提法顯然為 u(x,y,z,0)?(x,y,z) (1-9) 其中?(x,y,z)為已知函數(shù)，表示物體在t?0時的溫度分布。 2.2 邊界條件的提法 2.2.1 第一邊界條件（狄利克雷（Dirichlet）條件） 最簡單的情況為物體的表面溫度是已知的，這條件的數(shù)學(xué)形式為 u(x,y,z,t)|(x,y

6、,z)?g(x,y,z,t) (1-10) 其中?表示物體的邊界曲面，g(x,y,z,t)是定義在(x,y,z)?,0?t?T上的已知函數(shù)。 這種邊界條件稱為熱傳導(dǎo)方程的第一類邊界條件（又稱狄利克雷（Dirichlet）條件）。 2.2.2 第二邊界條件（諾依曼（Neumann）條件） 在物體的表面上知道的不是它的表面溫度而是熱量在表面各點的流速，也就是說在表面各點的單位面積上在單位時間內(nèi)所流過的熱量Q是已知的。根據(jù)Fourier定律 dQ?u?k dSdt?n 就可明白，這種邊界條件實際上表示溫度u在表面上的法向?qū)?shù)是已知的。這條件的數(shù)學(xué)形式為 ?u?g(x,y,z,t) ?n(x,y,z)

7、?(1-11) 這里?u表示u沿邊界?上的單位外法線方向n的方向?qū)?shù)，而g(x,y,z,t)是定義在?n (x,y,z)?,0?t?T上的已知函數(shù)。這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第二類邊界條件。 2.2.3 第三類邊界條件 今考察物體放在介質(zhì)（例如空氣）中的情形：我們能測量到得只是與物體接觸處的介質(zhì)溫度u1，它與物體表面上的溫度u往往并不相同。在u1已知時研究邊界條件的提法還必須利用物理中另一個熱傳導(dǎo)實驗定律（牛頓定律）：從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫度差成正比： dQ?k1(u?u1)dSdt (1-12) 這里的比例常數(shù)k1稱為熱交換系數(shù)，它也取正值?？疾炝鬟^物體表面?的熱量，從物體的內(nèi)部來看

8、它應(yīng)由Fourier定律確定，而從介質(zhì)方面來看則應(yīng)由牛頓定律所確定，因此成立者關(guān)系式 即 ?k?udSdt?k1(u?u1)dSdt ?nk1u?k?u?k1u1 ?n 由于k1,k均為正數(shù)，因此這種邊界條件可以寫成 ?u?u?g(x,y,z,t) ?n?(x,y,z)?(1-13) 這里?u表示u沿邊界?上的單位外法線方向n的方向?qū)?shù)，而g(x,y,z,t)是定義在?n (x,y,z)?,0?t?T上的已知函數(shù)，?為已知正數(shù)。這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第三類邊界條件。 又如果所考察的物體體積很大，而所需知道的只是在較短時間和較小范圍內(nèi)的溫度變 化情況，邊界條件所產(chǎn)生的影響可以忽略，這時就不妨把

9、所考察的物體視為充滿整個空間，而定解問題就變成柯西問題，此時的初值條件為 u(x,y,z,0)?(x,y,z),(?x,y,z?) (1-14) 3. 一維和二維情況 在適當?shù)那闆r下，方程中描述空間坐標的獨立變量的數(shù)目還可以減少。例如當物體是均勻細桿時，假設(shè)它的側(cè)面是絕熱的，也就是說不產(chǎn)生熱交換，又假定溫度的分布在同一截面是相同的，則溫度函數(shù)u僅與坐標x及時間t有關(guān)，我們就得到一維熱傳導(dǎo)方程 2?u2?u?a ?t?x2(1-15) 同樣，如考慮薄片的熱傳導(dǎo)，薄片的側(cè)面絕熱，可得二維熱傳導(dǎo)方程 2?u?2u?2?u?a?2?2? ?t?y?x(1-16) 對于這種低維的熱傳導(dǎo)方程，也可以提出前

10、述的柯西問題與初邊值問題。 4. 擴散方程 在研究分子擴散過程中也會遇到類似的方程。例如氣體的擴散，液體的滲透，半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴散等。下面，我們來導(dǎo)出擴散過程所必須滿足的數(shù)學(xué)方程。 擴散方程與熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出極為相似，只要將擴散過程所滿足的物理規(guī)律與熱傳導(dǎo)過程所滿足的物理定律作個類比，擴散方程就不難寫出。 在推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的過程中起基本作用的是Fourier定律與熱量守恒定律（即(1-1)與(1-3)式）。在考慮擴散過程時，我們遇到的是相應(yīng)的擴散定律與質(zhì)量守恒定律，它們的形式是 dm?D(x,y,z)?t1?D?t2?NdSdt ?n(1-17) (1-18) ?NdSdt?N(x,y,z

11、,t2)?N(x,y,z,t1)dxdydz ?n? 其中 N表示擴散物質(zhì)的濃度，dm表示在無窮小時段dt內(nèi)沿法線方向n經(jīng)過一個無窮小面積dS的擴散物質(zhì)的質(zhì)量，式中D(x,y,z)稱為擴散系數(shù)。 將(1-17)、(1-18)與(1-1)、(1-3)比較，可見其形式是極其類似的。在考察熱傳導(dǎo)過程中引入的量Q、u、k分別相應(yīng)于擴散過程中的量m、N、D，而出現(xiàn)在(1-3)中的因子c?在擴散問題中相應(yīng)于常數(shù)1。于是，我們立刻可以寫出擴散方程為 ?N?N?N?N?D?D?D? ?t?x?x?y?y?z?z? 2(1-19) 如果D是常數(shù)，記 D?a，擴散方程(1-19)就轉(zhuǎn)化為與熱傳導(dǎo)方程(1-6)完全

12、相同的形式。 對于擴散方程，也可以提出相應(yīng)的柯西問題與初邊值問題等定解問題。 5. 理論解法 注：該問題可以利用Fourier變換得到特殊情形的解析解。參閱文獻【1】。 6. 差分方法 6.1 導(dǎo)數(shù)的差分公式 在x附近對f(x)展開，由泰勒展開公式 f(x?h)?f(x)?f?(x)h 得到前差公式為 同理也可以得到后差公式 f?(x)?f(x?h)?f(x) (1-20) h f?(x)?f(x)?f(x?h) (1-21) h 由后差分公式可以得到二階導(dǎo)數(shù)的差分公式為 f?(x)?f?(x?h)?f?(x)f(x?h)?2f(x)?f(x?h)? (1-22) hh2 叫中心差分公式。 利

13、用這些公式可以將微分方程寫成差分方程。 62 一維熱傳導(dǎo)方程的差分公式 熱傳導(dǎo)方程是 2?u2?u?t?a?x2?0,0?x?l,t?0? (1-23) 0?x?l?ut?0?(x),?u|?(t),u|?(t)t?0x?l2?x?01 ? 初始條件與邊界條件相容：?（）=0?1(0),?(l)?2(0)。 6.2.1 顯示格式 建立顯示格式的圖示 圖1 顯示格式 它表示未知函數(shù)u在第n+1排任一內(nèi)節(jié)點上之值依賴于它在第n排上三個節(jié)點上之值。 (1-23)可以寫成差分形式 即 u(x,t?t)?u(x,t)u(x?x,t)?2u(x,t)?u(x?x,t) ?a22?t(?x)u(x,t?t)

14、?u(x,t)?t2a?u(x?x,t)?2u(x,t)?u(x?x,t)? (1-24) (?x)2 令 x?j?x,t?n?t,j?1,.,J?1,n?0,1,2,.,，?a2?t (?x)2 (1-25) 上式可以寫為（顯示格式） ?un?1nnn ?u?(1?2?)u?jj?1j?uj?1 ?u0 j?(j?x),j?1,2,.,J?1,n?0,1,2,. (1-26) ?unn 0?1(n?t),uJ?2(n?t) un j表示解u(x,t)在點(xj,tn)處得取值。 可以證明，上式的穩(wěn)定條件為 ?1 2 (1-27) 穩(wěn)定且非振蕩的條件為 ?1 4 (1-28) 截斷誤差為 O(?x)2,?t) (1-29) 6.2.2 隱式格式 建立隱式格式的圖示 圖2 隱式格式 u(x,t?t)?u(x,t)u(x?x,t?t)?2u(x,t?t)?u(x?x,t?t)?a2 ?t(?x)2 (1-30) 沿用前