核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)

1、核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)薛佳柳083822一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 了解并驗(yàn)證原子核衰變及放射性計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性。2. 了解統(tǒng)計(jì)誤差的意義，掌握計(jì)算統(tǒng)計(jì)誤差的方法。3. 學(xué)習(xí)檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的分布類型的方法。二、實(shí)驗(yàn)原理1. 測(cè)量Nal（TI）閃爍晶體探測(cè)器的計(jì)數(shù)率隨工作變化的坪曲線，選定合適的工作電壓。2. 在相同條件下，對(duì)某放射源進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，畫出放射性計(jì)數(shù)的頻率直方圖并與理論分布曲線作比較。3. 在相同條件下對(duì)本底進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，畫出本底計(jì)數(shù)的頻率分布圖，并與理論分布曲線作比較。24. 用檢驗(yàn)法檢驗(yàn)放射性計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布類型。三、實(shí)驗(yàn)儀器NaI（TI）閃爍探測(cè)器；丫放射源（137Cs或60Co）;高壓電源、放大

2、器和多道脈沖幅度 分析器。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 放射性測(cè)量的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)性在做重復(fù)的放射性測(cè)量中，即使保持完全相同的實(shí)驗(yàn)條件 （例如放射性的半衰期足夠長(zhǎng)， 因此在實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為其強(qiáng)度基本上沒(méi)有變化；源與計(jì)數(shù)器的相對(duì)位置始終保持不變； 每次測(cè)量時(shí)間不變；測(cè)量?jī)x器足夠精確，不會(huì)產(chǎn)生其它的附加誤差等等），每次的測(cè)量結(jié)果并不完全相同，而是圍繞其平均值上下漲落，有時(shí)甚至有很大的差別，也就是說(shuō)物理實(shí)驗(yàn)的 測(cè)量結(jié)果具有偶然性， 或者說(shuō)隨機(jī)性。物理測(cè)量的隨機(jī)性產(chǎn)生原因不僅在于測(cè)量時(shí)的偶然誤 差，而且更是物理現(xiàn)象（當(dāng)然包括放射性核衰變）本身的隨機(jī)性質(zhì)，即物理量的實(shí)際數(shù)值 時(shí)刻圍繞著平均值發(fā)生微小起伏。在微觀現(xiàn)象領(lǐng)

3、域，特別是在高能物理實(shí)驗(yàn)中，物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)性更為突出。 按照量子力學(xué)的原理， 對(duì)處于同一個(gè)態(tài)的微觀粒子，測(cè)量同一個(gè)可觀測(cè)的物理量時(shí)，即使不存在任何測(cè)量誤差，各次測(cè)量結(jié)果也會(huì)不同，除非粒子處于這個(gè)可觀測(cè)量的本征態(tài)；比如同一種粒子的壽命，其實(shí)測(cè)值分布在從相當(dāng)短到相當(dāng)長(zhǎng)的范圍內(nèi)。另一方面，所謂偶然的東西，是一種有必然性隱藏在里面的形式；我們正是要通過(guò)研究其統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律從而找出在隨機(jī)數(shù)據(jù)中包含的規(guī)律性。2. 核衰變數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布放射性原子核衰變數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布可以根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)分布的理論來(lái)推導(dǎo)。放射性原子核衰變的過(guò)程是一個(gè)相互獨(dú)立彼此無(wú)關(guān)的過(guò)程，即每一個(gè)原子核的衰變是完全獨(dú)立的，與其他原子核是否衰變無(wú)關(guān)；

4、因此放射性原子核衰變的測(cè)量計(jì)數(shù)可以看成是一種伯努里試驗(yàn)問(wèn)題。N o個(gè)原子核的體系中，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)于每個(gè)原子核來(lái)說(shuō)只有兩種可能: 變，B類是沒(méi)有發(fā)生核衰變。若放射性原子核的衰變常數(shù)為子核發(fā)生衰變的概率；b類的概率為q 1 p e由二項(xiàng)式分布可以知道，在 t時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)，設(shè)A類的概率為p (1 eton為一隨機(jī)變量,A類是原子核發(fā)生衰)，其中(1 e 為原其概率P(n)為Pn (No n)! N!n ap (1P)Non在t時(shí)間內(nèi)，衰變粒子數(shù)為：.No pq .m(1 p)。假如 tJmo(2 1)m NoP No(1 e t)，對(duì)應(yīng)方根差為1即時(shí)間t遠(yuǎn)比半衰期小，這時(shí)q接近于1,則可簡(jiǎn)化為在

5、放射性衰變中，原子核數(shù)目式分布可以簡(jiǎn)化為泊松分布；因?yàn)榇藭r(shí)N。！(No n)!No很大而p相對(duì)而言很小，且如果滿足t 1，則二項(xiàng)No，對(duì)于在m附近的N值可得到：N 0(N 01)( N o 2)(No n1)N onNo(1 P)p No(e )npN oe代入(1)式并注意到m N o p，就得到N 0 n pNoPN rpee N!(2 2)即為泊松分布?？梢宰C明，服從泊松分布的隨機(jī)變量的期望值和方差分別為：2 m 在核衰變測(cè)量中常數(shù) m Nop的意義是明確的：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi), 衰變概率p為m/No,因此m是單位時(shí)間內(nèi)衰變的粒子數(shù)。現(xiàn)在討論泊松分布中No很大從而使m具有較大數(shù)值的極限情況。在n

6、 nnn e代入式(22),并記E(x) mNo個(gè)原子核發(fā)生n較大時(shí)，n!可以寫成n! 2n m，則有:nm m e n!2m(n)n 1 /2 n mee12 m(1/m)m1/2(2 3)經(jīng)過(guò)一系列數(shù)學(xué)處理,可以得到(11/222m。所以有:21 c 2m2 me丄 exp2 m(n2些(2 4)2和m就是高斯(正2式中m。即當(dāng)n很大時(shí)，原子核衰變數(shù)趨向于正態(tài)分布；可以證明態(tài))分布的方差和期望值。需要指出的是，正態(tài)分布是一種非常重要的概率分布，在近代物理實(shí)驗(yàn)中， 凡是屬于連續(xù)型的隨機(jī)變量幾乎都屬于正態(tài)分布。在自然界中，凡由大量的、相互獨(dú)立的因素共同微弱(2 5)P(N)22(N M )2

7、e 2(2 6)對(duì)于有限次的重復(fù)測(cè)量，例如測(cè)量次數(shù)為A，則標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx為:SxA(Ni N)2i 1A 1(2 7)N M 1 其中A i 1Ni，為測(cè)量計(jì)數(shù)的平均值?？梢宰C明N為正態(tài)分布期望值的無(wú)偏估計(jì),S為正態(tài)分布方差的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)（即當(dāng)Sx當(dāng)A足夠大時(shí)，N來(lái)近似，即2 N，由于核衰變的統(tǒng)計(jì)性,M。當(dāng)M值較大時(shí)，2也可用某一次計(jì)數(shù)值我們?cè)谙嗤瑮l件下作重復(fù)測(cè)量時(shí)每次測(cè)量結(jié)果并不完全相同, 繞著平均計(jì)數(shù)值M有一個(gè)漲落，其大小可以用均方根差 _眾所周知，正態(tài)分布決定于平均值 NO，1則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：M及方差來(lái)表示。這兩個(gè)參數(shù)，它對(duì)稱于 N N。對(duì)于1Mz;。，1)2(2 8)正態(tài)分布數(shù)值表都

8、是對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的。如果對(duì)某一放射源進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù)，其平均值為N，那么計(jì)數(shù)值N落在N(即N N )范圍內(nèi)的概率為：2 (N N)2N N 1e 2 dNN N 2N-P(N)dN(29)作用下所得到的隨機(jī)變量也都服從正態(tài)分布。即使有些物理量不服從正態(tài)分布，但它 （或它 的測(cè)量平均值）也往往以正態(tài)分布為它的極限分布，泊松分布就是一個(gè)很好的例子。上面討論原子核衰變的統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象， 下面我們分析在放射性測(cè)量中計(jì)數(shù)值的統(tǒng)計(jì)分布。 可 以證明，原子核衰變的統(tǒng)計(jì)過(guò)程服從的泊松分布和正態(tài)分布也適用于計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布， 只需 將分布公式中的放射性核衰變數(shù) n換成計(jì)數(shù)N，將衰變掉粒子的平均數(shù) m換

9、成計(jì)數(shù)的平均值 M 就可以了。P(N)M N MeN!用變量來(lái)代換化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并查表，上式即為:z2(2 10)1 1e 2 dz 0.683 S2這就是說(shuō)，在某實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)某次測(cè)量若計(jì)數(shù)值為Ni，則可以認(rèn)為 Ni落在N （即N N ）范圍內(nèi)的概率為68.3%，或者說(shuō)在Nl 屮范圍內(nèi)包含真值的概率是 68.3%。在 實(shí)際運(yùn)算中由于出現(xiàn)概率較大的計(jì)數(shù)值與平均值N的偏差不大，我們可以用 Nl來(lái)代-N ；因此對(duì)于單次測(cè)量值Nl,可以近似地說(shuō)在 N1 . Nl范圍內(nèi)包含真值的概率是 68.3%， 這樣一來(lái)用單次測(cè)量值就大體上確定了真值的范圍。這種由于放射性衰變的統(tǒng)計(jì)性引起的誤差稱之為統(tǒng)計(jì)誤差。由于

10、放射性統(tǒng)計(jì)漲落服從正態(tài)分布，所以用均方根偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)誤差） 性的單次測(cè)量值N1時(shí)，則可以表示為：- N來(lái)表示。當(dāng)采用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示放射N1 N N1 N1_用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，將 68.3%稱為N ；同理可證當(dāng)置信區(qū)間”為N 2 置信概率”（或 置信度”），相應(yīng)的 置信區(qū)間”為 、N 3時(shí)的置信概率為95.5%、99.7%。23. 檢驗(yàn)法放射性核衰變的測(cè)量計(jì)數(shù)是否符合正態(tài)分布或泊松分布或者其他的分布，是一個(gè)很重要的問(wèn)題，牽涉到對(duì)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。簡(jiǎn)單地判斷實(shí)驗(yàn)裝置是否存在除統(tǒng)計(jì)誤差外的偶然誤差因素，可以計(jì)算平均值與子樣方差，比較兩者的偏離程度即可。而放射性衰變是否符合于正

11、態(tài)分布或泊松分布，可由一組數(shù)2據(jù)的頻率直方圖與理論正態(tài)分布或泊松分布比較得到一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。而檢驗(yàn)法是從數(shù)理統(tǒng)計(jì)意義上給出了比較精確的判別準(zhǔn)則。它的基本思想是比較理論分布與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布之間的差異，然后根據(jù)概率意義上的反證法即小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生的基本原理來(lái)判 斷這種差別是否顯著，從而接受或拒絕理論分布。設(shè)對(duì)某一放射源進(jìn)行重復(fù)測(cè)量得到了A個(gè)數(shù)值，對(duì)它們進(jìn)行分組，序號(hào)用i表示，i=1 , 2,3 m,令：2 （fi fi ）2i 1fi其中m代表分組數(shù)，fi表示各組實(shí)際觀測(cè)到的次數(shù)，fi為根據(jù)理論分布計(jì)算得到的各組理論次數(shù)。理論次數(shù)可以從正態(tài)分布概率積分表上查出各區(qū)間的正態(tài)面積再乘以總次數(shù)

12、得到。2 2可以證明統(tǒng)計(jì)量服從分布，其自由度為 m I 1, i是在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)所用的2參數(shù)個(gè)數(shù)：對(duì)于具有正態(tài)分布的自由度為m3，泊松分布為m2。與此同時(shí)，分布的2 2期望值即為其自由度：m 1 X得到根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)算出的統(tǒng)計(jì)量后，比2較的方法為先設(shè)定一個(gè)小概率a,既顯著水平，由分布表找拒絕域的臨界值，若計(jì)算量2 2 2落入拒絕域即 1 a（m 1 1）,則拒絕理論分布；反之則接受。4閃爍探測(cè)器的坪曲線在進(jìn)行研究核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)時(shí)，絕對(duì)不能使工作條件（包括幾何條件和探測(cè)器狀態(tài)）有絲毫改變。但在實(shí)際情況下工作電壓的少量漂移在所難免，因此需要測(cè)定Nal（TI）閃爍探測(cè)器的坪曲線，以確定合適的工

13、作電壓，即選擇計(jì)數(shù)率隨電壓漂移變化較小的工作點(diǎn)。BQD 630 BBQ 690 720 750 780 810 B4D 870 9OD 930閃爍計(jì)歡髯特性曲垛電壓暗電流、電子學(xué)噪聲、宇宙射線、及環(huán)境輻射產(chǎn)生的。工作電壓應(yīng)選擇源計(jì)數(shù)率隨電壓變化較?。ㄇ€較平部分）以及源計(jì)數(shù)率高而本底計(jì)數(shù)率相對(duì)較低的電壓，如在右圖中，就可以選取840v。多道分析器四、實(shí)驗(yàn)步驟1. 連接各儀器設(shè)備，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行粗測(cè)，判斷工作是否正常。2. 測(cè)量Nal（TI）閃爍探測(cè)器的坪曲線：采取定時(shí)計(jì)數(shù)的方法（建議 t=200秒，以減小統(tǒng)計(jì)漲落）；可以從V=600開始， V 30V改變工作電壓；一般工作電壓不宜超過(guò) 1000

14、V,以 免光電倍增管發(fā)生連續(xù)放電現(xiàn)象而減短使用壽命。注意：根據(jù)所得全能譜形的實(shí)際情況可以適當(dāng)截去前面計(jì)數(shù)或峰形比較雜亂的幾道；在實(shí)驗(yàn)中不得改變放射源和探測(cè)器的相對(duì)位置以及放大器的放大倍數(shù)，放大倍數(shù)的選取要注意當(dāng)電壓達(dá)到 1000V左右（即接近電壓所取最大值）時(shí)譜形不得越出多道脈沖 分析器的量程。3. 根據(jù)坪曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果選取適當(dāng)?shù)墓ぷ麟妷海⒋_定放大倍數(shù)使譜形在多道脈沖分析器上分布合理。三、工作狀態(tài)穩(wěn)定后，重復(fù)進(jìn)行至少100次以上獨(dú)立測(cè)量放射源總計(jì)數(shù)率的實(shí)驗(yàn)（建議進(jìn)行150200次，每次定時(shí)15或20秒），并算出這組數(shù)據(jù)的平均值。五、數(shù)據(jù)記錄與處理1. 對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)分別計(jì)算平均值與子樣方差，并求

15、出標(biāo)準(zhǔn)誤差，對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置是否存在統(tǒng)計(jì)誤差以外的偶然誤差因素作出判斷。區(qū)間I正恐HU1屎裙瞰一徉崩瞬I施慨軍丨軽惟翩I犬圖3. 3T7釜1Q.21 巧 Q.皿兀 0.血0. 0T55J旳關(guān)3.8C1 021*11.041!D. 303625.El0 DCi iiei巫440 45453 1670E&.80f. IE?ruaciE40 D(JT9910II1?3 EM押3潮537S 一 3334 I9j z3. -0.03SD n (II叩 c 0O2SUDOITSI- r- -I75.60隔口427 H-131.631 (JZW Z 135 盤A 14CTlj ?：76芒式平丈I百-iJit I|

16、 6.60U2答：存在統(tǒng)計(jì)誤差以外的偶然誤差因素。2. 對(duì)測(cè)放射源所得數(shù)據(jù)作如下處理：作頻率直方圖這是一種簡(jiǎn)單直觀的檢驗(yàn)方法。把一組測(cè)量數(shù)據(jù)按一定的區(qū)間分組，統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的次數(shù) fi或頻率（fi/總次數(shù)A），以次數(shù)fi或頻率fi/A為縱坐標(biāo)，以測(cè)量值為 橫坐標(biāo)，這樣作出的圖形在統(tǒng)計(jì)上稱為頻率直方圖。將此圖與理論的正態(tài)分布比較，就能粗略看放射性衰變的計(jì)數(shù)分布是否是正態(tài)分布。_本實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得A個(gè)數(shù)據(jù)后，計(jì)算算術(shù)平均值 N和均方根差的估計(jì)值Sx：-A2（Ni N）S 1 A 1（A為總測(cè)量次數(shù)），將平均值N置于中央，以SI2為組距把數(shù)據(jù)分組，算出相應(yīng)的實(shí) 驗(yàn)組頻率fi/A，以（N N）

17、/Sx為橫坐標(biāo)，組頻率為縱坐標(biāo)，作直方圖。-3 -2+ 5 -2 -1.5 -1-0.5 0 Q.5 1 1.5 2 2,5 3畫出相應(yīng)的理論分布曲線若計(jì)數(shù)值服從正態(tài)分布， 則可算出以S/2為組距的各個(gè)相應(yīng)的理論組的頻率Pi，并畫于圖中。1Pi,2NSx2eXP2N NdN2Sx2(2 11)，則1x2 dN2N eXP( 忑dN因Sx計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在Pi12 2N eXP(2 12)范圍內(nèi)的頻數(shù)，并與理論值作比較。若稱范圍FyEh+T S322133350.5S30.6830.0T3K3134-33920.960H3 53107-34501.0C00. S070.301ft2對(duì)此組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢

18、驗(yàn)。3. 作本底的實(shí)驗(yàn)及理論分布曲線，并2對(duì)此作 檢驗(yàn)。的于侵吃誦I可以認(rèn)穴雕從正事幻布.答：因?yàn)?2的實(shí)驗(yàn)值=6.60412，而 2得理論值=16.919，當(dāng)2的實(shí)驗(yàn)值小于理論值時(shí), 可以認(rèn)為是正態(tài)分布。4. 正確表示測(cè)得的單次計(jì)數(shù)值與平均計(jì)數(shù)值。電壓（V）計(jì)數(shù)550722660232196505115570082122750107342800128090850137921900138560950139399七、思考題1坪曲線是入射粒子的強(qiáng)度不變時(shí)，計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)率隨工作電壓變化的曲線；坪曲線能幫助我們知道做下一步時(shí)的電壓。2放射性核衰變的統(tǒng)計(jì)性是原子核衰變本身固有的特性，與使用的測(cè)量?jī)x器及技術(shù)無(wú)關(guān)；當(dāng)均方差 較小時(shí)（如10以下），服從泊松分布，如果均方差 比較大（如20以上），服從 高斯分布。3.的物理意義是的大小反映了計(jì)數(shù)的漲落性大小，也即反映了核衰變的漲落性大小；在某實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)某次測(cè)量若計(jì)數(shù)值為N1,則可以認(rèn)