《用向量法求二面角的平面角》教案

1、用向量法求二面角的平面角教案第三講：立體幾何中的向量方法 利用空間向量求二面角的平面角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這種方法沒有一般規(guī)律可循，對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強(qiáng)，致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無策。高中新教材中，向量知識(shí)的引入，為學(xué)生解決立體幾何問題提供了一個(gè)有效的工具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且引入向量，對(duì)于某些立體幾何問題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問題，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕了學(xué)生學(xué)

2、習(xí)的負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)了新課程理念。為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要，需要研究用向量法解決立體幾何的各種問題。本文舉例說明如何用向量法解決立體幾何的空間角問題。以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對(duì)二面角的求法進(jìn)行總結(jié)。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生會(huì)求平面的法向量；2.使學(xué)生學(xué)會(huì)求二面角的平面角的向量方法；3.使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問題；4.使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學(xué)重點(diǎn)求平面的法向量；求解二面角的平面

3、角的向量法.教學(xué)難點(diǎn) 求解二面角的平面角的向量法.教學(xué)過程、復(fù)習(xí)回顧一、回顧相關(guān)公式：1、二面角的平面角：（范圍：）ll結(jié)論： 或統(tǒng)一為：2、法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角.3、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）、典例分析與練習(xí)例1、如圖，是一直角梯形，面，求

4、面與面所成二面角的余弦值.分析 分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面法向量，利用夾角求平面與平面的夾角余弦值。解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 易知面的法向量為， 設(shè)面的法向量為，則有，取，得， 又方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角 即所求二面角的余弦值為.點(diǎn)撥 求二面角的方法有兩種：（1）利用向量的加法及數(shù)量積公式求出與兩半平面的棱垂直的向量的夾角，從而確定二面角的大小；（2）根據(jù)幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系，先求二面角兩個(gè)半平面的法向量，再求法向量的夾角，從而確定二面角的大小。練習(xí)1：正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).求二面角

5、的余弦值。解：由題意知，則設(shè)平面的法向量為，則，取，得 又平面的法向量為 觀察圖形知，二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為練習(xí)2：如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形是矩形，試問：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角的大小為 解： 如圖建立空間坐標(biāo)系，則設(shè)面的法向量為則得易得面的法向量向量的夾角為由 得 當(dāng)時(shí)，二面角的大小為 設(shè)計(jì)說明：復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法，也可借此機(jī)會(huì)說明為什么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，就沒有其他情況練習(xí)3：正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，是側(cè)棱上任意一點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求二面角的平面角的余弦值解：如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)則的坐標(biāo)分別為, 由，得即又是面的法向量設(shè)面的法向量為，由得,設(shè)二面角的大小為，則 、小結(jié)與收獲1、二面角的平面角的正弦值弦值：2、求平面法向量的方法.、課后練習(xí)1、如圖,已知四棱錐的底面是直角梯形