彎曲剛度問題

1、第 9 章 彎曲剛度問題9.1 基本概念9.1.1 梁彎曲后的撓曲線 吊車梁若變形過大，將使小車行走困難，還會(huì)引起梁的嚴(yán)重振動(dòng)。因此，必須對(duì)梁的變形加以限制若梁的變形在彈性范圍內(nèi)，梁的軸線在梁彎曲后變?yōu)橐粭l連續(xù)光滑曲 線，該曲線稱為 彈性曲線 或撓度曲線 ，簡稱 彈性線 或 撓曲線 。撓曲線： 梁變形后的軸線 。 性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。9.1.2 梁的撓度與轉(zhuǎn)角設(shè)有一具有縱向?qū)ΨQ面的懸臂梁，在自由端處作用一集中力FP。FP 力作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，使梁發(fā)生平面彎曲。一、撓度與轉(zhuǎn)角梁的變形可用以下兩個(gè)基本量來度量。1 / 28 撓度撓度 ：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移

2、梁軸線上各點(diǎn)（各截面）的撓度 w 隨著點(diǎn)（截面）的位置 x 的不同而改變 ，即各截面的撓度是截面位置坐標(biāo) x 的函數(shù)。撓曲線方程單位： mm撓度 w 符號(hào)規(guī)定： 向下為正 轉(zhuǎn)角， 向上為負(fù) 。轉(zhuǎn)角 ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“ ” 表示。梁不同橫截面其轉(zhuǎn)角是不相同的，是橫截面位置坐標(biāo) x 的函數(shù)負(fù)。轉(zhuǎn)角方程單位： rad的符號(hào)規(guī)定：由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，順時(shí)針為正；逆時(shí)針為 水平位移：橫截面形心沿水平方向的位移，用u 表示。因小變形時(shí)， u 與 w 相比為高階無窮小，故忽略不計(jì)。、撓度 w 于轉(zhuǎn)角 間的關(guān)系tantandww (x) w dx2 / 289.2 小撓度微分方程及其積分

3、9.2.1 小撓度微分方程1梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，其軸線由直線變成一條曲率為 的平面曲線1M1 M (x)純彎曲EI細(xì)長梁橫力彎曲(x) EI12d2wd2wM(x)由高數(shù)知(x)dx2dx2EIM (x) 與 w 的符號(hào)總是相反的3 / 28d2wM (x)dx2EI求梁的變形：d2w EIdx2M(x)撓曲線近似微分方程dw w 解上二階微分方程可求得撓度 w ，再根據(jù)dx ，可求得截面轉(zhuǎn)角 。等截面梁： EI =常數(shù)。EIwM (x)EIw dxM (x)dxEIw EI M (x)dx CEIw dx M (x)dxdx CdxEIw M (x)dxdx Cx D1EIM (x)dx C轉(zhuǎn)

4、角方程4 / 281w M (x)dxdx Cx DEI l l 撓度方程 其中 C、 D 為積分常數(shù)?？筛鶕?jù)約束條件求得。9.2.2 積分常數(shù)的確定 約束條件與連續(xù)條件約束條件：固定鉸支座和輥軸支座處： w 0 ；固定端處： w 0 ，0 。連續(xù)條件：在集中力、集中力偶和分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度和轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等，即 w1 w2 ， 1 2例題 1】 一等截面懸臂梁，在自由端作用一集中力FP , 梁的抗彎剛度為EI ，求自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。解：等直梁 EI =常數(shù)。建立圖示坐標(biāo)系。梁上距原點(diǎn)x 遠(yuǎn)處任一橫截面上的彎矩： M(x)FP(l x)5 / 28根據(jù)EId2wdx2M (x)EId

5、2wdx2FPlFPx積分一次EIdwEI再積分dxEIw12FPlx2由梁的約束條件確定積分常數(shù)。根據(jù)固定端 x 0 處：0，F(xiàn)Pl 0 FP02212FPl 02梁的轉(zhuǎn)角方程：2xFPlx FPCP P 21 FPx3 Cx D6P0。1FP 03 C 0 D6P(x)D01 (FPlx 1 FP x2) EI P 2 P6 / 28梁的撓度方程： w(x)1 (1 FPlx 2EI 2 P1 FP x3)把xl 代入上兩方程，EI(FPl2FPl ) 21EIFPlwBE1I (12 FPl316FPl 3) 3E1IFPl 3 ( )B 為正值，表示 B 截面順時(shí)針轉(zhuǎn)； wB 為正值，

6、表示撓度是向下的。例題 9-1 承受集中載荷的簡支梁，如圖所示。梁彎曲剛度EI 、長度 l 、載荷 FP 等均為已知。試應(yīng)用小撓度微分方程通過積分，求：梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并加力點(diǎn) B 處的撓度和支承A 和 C 處的轉(zhuǎn)角。解：1. 確定梁約束力MA0,FAl FFy0，F(xiàn)B FPP3l 04FP47 / 282. 分段建立梁的彎矩方程AB 段：M1(x)FAx3FPx4(0 x l 4)BC 段： M 2(x) 3F4P x FP(x 4l ) (l 4 x l)3. 將彎矩方程代入撓曲線微分方程并積分EIw M (x)EIw13FPx4(0 xl 4) EIw23FP x FP(x l

7、)4 P 4(l 4 x l) 將式積分EIw1 EI 13FP8 x2 C1EIw1P x3 C1x D11811將式積分3FP 2 1 l 2EIw2 EI 2P x2FP (x )2 C22 2 8 2 P 4 2FP 3 1 l 3EIw2P x3FP (x )3 C2x D22 8 6 P 4 2 28 / 284. 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)約束條件：在 x連續(xù)條件：在 x將x0 代入0 處， w1l 4處 w1EIw1，x處， w2C1x D1l4代入EI38FP (4l )代入D1EID13FPC13FPxC112FP(xC238FP (4l )2 0 C2C1 C2C

8、1x D19 / 28EIwFP(lC1D1EIwFP(0l 4)(l 4(x)w(x)w(x)l)EIEI16FP (x6D2 016 FP (l6C1 C2(x)EIEIx312(xx316(x10 / 28)3 C2x(4l )3 C2)3 C2l 0128FPl1284)4)128x)128128l2xw3FPl3 ( )7FPl 25FPl 2wB 256EI ( ) , A 128EI , C 128EI9.3 工程中的疊加法彎矩的疊加原理 梁在幾個(gè)載荷共同作用下的彎矩值， 等于各載荷單獨(dú)作用下的彎矩的代數(shù)和。疊加法： 先分別計(jì)算出每一個(gè)載荷單獨(dú)作用下產(chǎn)生的位移，然后再將這 些位移

9、代數(shù)相加的方法 。一、前提條件：彈性、小變形。二、疊加法的特征： 1、梁在簡單載荷作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變 形表可查； 2、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。9.3.1 疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形例題 9-2 簡支梁同時(shí)承受均布載荷 q 、集中力 ql 和集中力偶 ql2 ，如圖 所示。梁的彎曲剛度為 EI 。試用疊加法求梁中點(diǎn)的撓度和右端支座處的 轉(zhuǎn)角。解：1. 將梁上的載荷分解為三種簡單載荷單獨(dú)作用的情形。11 / 282. 應(yīng)用撓度表確定三種情形下，梁中點(diǎn)的撓度和右端支座B 處的轉(zhuǎn)角 查表得 (轉(zhuǎn)角 的正負(fù)號(hào)：從梁軸線轉(zhuǎn)向撓曲線的切線，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)。 )

10、wC15ql384EI( ),wC2ql48EIB1wC3ql16EIqlqlql24EIB216EIB33EIwCwC1wC2wC34 4 45ql4ql 4ql 4384EI 48EI 16EI11ql4384EI()B1B2B3ql3ql3ql324EI 16EI 3EI12 / 2811ql48EI9.3.2 疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形例 2】、圖示懸臂梁，求 C 截面的撓度和轉(zhuǎn)角wB4qlql8EI6EIql6EIatan例題wBwa9-3 圖示懸臂梁，qlqlql8EI6EIla2EI (4 3) ( )曲剛度為 EI梁承受間斷性分布載荷，如圖所示。試?yán)茂B加法確定自由端

11、的撓度和轉(zhuǎn)角 解：1. 將梁上的載荷變?yōu)橛斜砜刹榈那樾?. 將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形13 / 284ql(1查表得3qlC1wB2qlwC2C28EI6EI128EIwB2B2B2ql128EIql48EIql48EI7ql384EIB2ql48EI3. 將簡單載荷作用的結(jié)果疊加wCwC1 wC2ql7ql41qlC1C2例 3 】圖示外伸梁8EIql6EI384EI384EIql7ql348EI48EIC截面的撓度和轉(zhuǎn)角14 / 28解：wC1qa8EIC1Mlqa6EIqa2l6EIB3EI6EIBqa2lC2wC2 atanqa3l6EIwCwC1wC2C1C29.4簡單靜不

12、定問題9.4.1qaqa3lqa8EI6EI24EIqaqalqa6EI6EI6EI求解靜不定問題的基本方法、超靜定梁的基本概念(4l 3a) ( )(a2 l 2)超靜定梁： 梁的未知約束反力的數(shù)目多于所能列出的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)15 / 28這類梁稱為超靜定目，以致單憑靜力平衡方程不能求出全部的未知約束力，例如：未知約束力個(gè)數(shù) - 獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù) =超靜定次數(shù)=多余未知力個(gè)數(shù)二次超靜定可提高梁相同載荷作用下，超靜定梁比靜定梁的變形小，受力更均勻， 的剛度。、用變形比較法解超靜定問題設(shè)有一圖示超靜定梁。該梁為一次超靜定，將支座 B 視為多余約束，去掉多余約束用 FB 代之, 并視其為已知力

13、。 超靜定梁變?yōu)樵诰驾d荷 q和集中力 FB 共同作用下的靜定梁，該靜定梁稱為原超靜定梁的靜定基16 / 28運(yùn)用疊加法，將右圖分解為兩種載荷單獨(dú)作用的懸臂梁。wB wB1 wB2變形協(xié)調(diào)方程查表得 wB1ql48EIwB2FBl3EI代入變形協(xié)調(diào)方程ql4FBl8EI 3EI補(bǔ)充方程FB 38qlFy 0， FA FB ql ， FAql 38ql58qlMA0, FBl q2l2A0MA1ql2817 / 28超靜定問題的解題步驟：1 確定超靜定次數(shù)；2. 解除多余約束，以約束反力代之，使超靜定梁變成靜定梁；3. 根據(jù)多余約束處的位移情況，建立補(bǔ)充方程并解之求得多余約束反 力；4. 利用平

14、衡方程求得其余支座反力；5. 畫出剪力圖和彎矩圖。MA與超靜定梁對(duì)應(yīng)的靜定基不是唯一的，例如選左端限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束視為多余約束， 去掉，以多余約束反力 M A 代之與原梁 A 端比較，應(yīng)有 AA1 A2 0 變形協(xié)調(diào)方程18 / 28查表得A1qlMAl24EI3EI9.4.2Fyql24EI補(bǔ)充方程AFBlql幾種簡單的靜不定問題示例例題 9-4 圖 (a) 所示之三支承梁，A2qlM Al3EI18ql83qlA 處為固定鉸鏈支座，ql85qlB、 C 二處為輥軸支座。梁作用有均布載荷。已知：均布載荷集度 q 15N mm， l 4m，梁圓截面的直徑 d 100mm， 100MPa ，試校核

15、 梁的強(qiáng)度是否安全。解： 1. 判斷靜不定次數(shù)梁共受四個(gè)未知約束力，但只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程， 4-3=1 ，為一次超靜定梁2. 解除多余約束，使超靜定梁變成靜定梁可選圖中 B、C 任一個(gè)支座為多余約束，先將 B 支座視為多余約束除19 / 28去，用約束反力 FB 代之并視為已知力，超靜定梁變成右圖中所示的靜定梁。3. 比較解除約束前的靜不定梁和解除約束后的靜定梁，建立變形協(xié)調(diào)方程wBwBqwBF變形協(xié)調(diào)條件4查表得wBq5ql4384EI ( )wBqFBl48EI ( )5ql4FBlFB384EI48EI58ql5. 建立平衡方程FxFx 0FyFC qlMCFAyl FB2l ql2

16、l 020 / 28將 FB 代入平衡方程求得136ql136ql6. 校核梁的強(qiáng)度作彎矩圖。由彎矩圖知136qlFB85ql FC136ql7.5kN mmax危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力max32 Mmax32 7.5 103maxd3W76.4 106 Pa 76.4MPa0.13max 76.4MPa 100MPa靜不定梁安全。9.5 梁的剛度設(shè)計(jì)9.5.1 剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則21 / 28、剛度準(zhǔn)則根據(jù)不同的需要，將梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角限制在一定的范圍內(nèi)即為 剛度準(zhǔn)則(剛度條件) 。wmax w max w 許用撓度， 許用轉(zhuǎn)角。均根據(jù)零部件或構(gòu)件的 工藝要求而定。注意：由公式算得的 單位為

17、rad ，若 的單位為 ( ) ，則需換算單位，即max180對(duì)于機(jī)械制造方面，往往對(duì)構(gòu)件的撓度和轉(zhuǎn)角都需校核，而在建筑工程中，一般只需校核梁的撓度。且校核撓度時(shí)，通常是以撓度的許用值與跨長 l 的比值wwl作為校核的標(biāo)準(zhǔn)。即wmaxlwwl梁的剛度準(zhǔn)則wwl 撓跨比 l 許用撓跨比 、剛度計(jì)算、校核剛度； 、 設(shè)計(jì)截面尺寸； 、 確定外載荷。對(duì)于土木工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件22 / 28例外）9.5.2 剛度設(shè)計(jì)舉例【例 4】一承受均布載荷的簡支梁，已知l 6m ， q 4kN m ，w1 l 400 ，梁采用 22a 號(hào)工字鋼，其彈性模量 E 200GPa ，

18、試 校核梁的剛度。解：查表得工字鋼的慣性矩為I 3400cm4 3.4 10 5m4梁跨中最大撓度wmax5ql45 4 103 64384EI384 200 1093.4 10 50.01mw0.01 1w 1l6600 l400滿足剛度要求。例題 9-5 圖所示之鋼制圓軸，左端受力為FP , 其他尺寸如圖所示。已知FP 20kN ， a 1m， l 2m， E 206GPa ，軸承 B 處的許用轉(zhuǎn)角 0.5 ，試根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑 d解：1. 查表確定 B 處轉(zhuǎn)角23 / 28FPlaB3PEI2. 根據(jù)剛度準(zhǔn)則確定軸的直徑 根據(jù)設(shè)計(jì)要求 B 。上公式求得 B 處轉(zhuǎn)角的單位是 ra

19、d ，而本題中 的單位是 ( ) ，應(yīng)統(tǒng)一單位64FPla3E d418064FPla 1803E 2 4 64 20 103 2 1 180 3 206 1092 0.5111 10 3m 111mm例題 9-6 矩形截面懸臂梁承受均布載荷如圖所示。已知 q 10kN m，l 3m， E 196GPa ， 118MPa ，許用最大撓度與梁跨 度比值 wmax l 1 250 ，且已知梁橫截面的高度與寬度之比為2，即 h 2b 。試求梁橫截面尺寸 b 和 h解：1. 強(qiáng)度設(shè)計(jì)24 / 28maxmaxbh2maxql23M10 103 3245N m 45kN mb(2b)2max2b3max

20、32b33 45 1032 118 106 83.0 10 m83.0mmh 2b 2 83.0 166mm2. 剛度設(shè)計(jì)根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則有wmaxlwwlwmaxql48EI3ql43ql 42Ebh3 16Eb43ql3116Eb4 25025 / 284 3 250ql316E4 3 250 10 103 3316 196 10989.6 10 3m 89.6mmh 2b 2 89.6 179mm故 b 89.6mm h 179mm例 5】跨度 l 4m的簡支梁，如圖所示，均布載荷 q 10kN m，集中力FP 20kN ， 梁 由 兩 根 槽 鋼 制 成 ， 材 料 的 許 用 應(yīng) 力1 M6 0P ，a許用撓度 w 10mm ，試槽鋼的型號(hào)。解：FPlmax84ql 2 2040kN mM