圓各節(jié)知識(shí)點(diǎn)與典型例題

1、一 . 圓 二 . 圓的軸對(duì)稱(chēng)性 三 . 圓心角 四. 六大知識(shí)點(diǎn)：1、圓的概念及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2、三角形的外接圓3、垂徑定理4、垂徑定理的逆定理及其應(yīng)用5、圓心角的概念及其性質(zhì)6、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓的基本性質(zhì)圓周角 五. 弧長(zhǎng)及扇形的面積 六 . 側(cè)面積及全面積7、圓周角定理8、圓周角定理的推論9、圓錐的側(cè)面積與全面積【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、圓的定義：在同一平面，線(xiàn)段OP繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O ，另一端點(diǎn) P 所經(jīng)過(guò)的叫做圓，定點(diǎn) O 叫做，線(xiàn)段 OP叫做圓的，以點(diǎn) O為圓心的圓記作，讀作圓 O。2、弦和直徑： 連接圓上任意叫做弦， 其中經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做， 是圓中最長(zhǎng)的弦。3

2、、弧：圓上任意叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫做 。小于半圓的弧叫做 ，用弧兩端的字母上加上“”就可表示出來(lái)，大于半圓的弧叫 做 ，用弧兩端的字母和中間的字母，再加上“”就可表示出來(lái)。4、等圓：半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓；也可以說(shuō)能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓5、點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系：若點(diǎn) P到圓心 O的距離為 d， O的半徑為 R，則：點(diǎn) P 在 O外；點(diǎn) P 在 O上；點(diǎn) P 在 O。6、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)距離相等； 到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 上7、過(guò)一點(diǎn)可作個(gè)圓。過(guò)兩點(diǎn)可作 個(gè)圓，以這兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段的 上任意一點(diǎn)為圓心即可。8、過(guò)的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

3、。9、經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的，外接圓的圓心叫做三角形的 ，這個(gè)三角形叫做圓的 。三角形的外心是三角形三條邊的【 典型例題 】【題型一】證明多點(diǎn)共圓例 1、已知矩形 ABCD，如圖所示，試說(shuō)明：矩形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn) A、B、 C、D在同一個(gè)圓上三角形的外心到三角形各【題型二】相關(guān)概念說(shuō)法的正誤判斷例 1、（中考數(shù)學(xué)）有下列四個(gè)命題：直徑是弦； 經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；頂點(diǎn)的距離都相等； 半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧。其中正確的有（ ）A.4 個(gè) B.3 個(gè) C.3 個(gè) D.2 個(gè)例 2、下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A. 直徑是弦 B. 半圓是弧 C. 圓最長(zhǎng)的弦是直徑 D. 弧小于半圓例

4、 3、下列命題中，正確的是（）A三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上B 過(guò)圓心的線(xiàn)段叫做圓的直徑C大于劣弧的弧叫優(yōu)弧D 圓任一點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離都小于半徑. . 下載可編輯例 4、 下列四個(gè)命題： 經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)可以作一個(gè)圓； 三角形的外心在三角形的部； 等腰三角形的外心 必在底邊的中線(xiàn)上； 菱形一定有外接圓，圓心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)。其中真命題的個(gè)數(shù)（ ）A.4 個(gè) B.3 個(gè) C.3 個(gè) D.2 個(gè) 【題型三】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷例 1、 O的半徑為 5，圓心 O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 4，2），則點(diǎn) P與 O的位置關(guān)系是（）A點(diǎn) P在 O B 點(diǎn) P在 O上 C 點(diǎn) P在 O外例 2、已知矩

5、形 ABCD的邊 AB=3cm，AD=4cm，若以 A 點(diǎn)為圓心作 A，使 B、C、D三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓且至少 有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則 A 的半徑 r 的取值圍是【題型四】“不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的應(yīng)用如“把破圓復(fù)原成完整的圓” ；如“找一點(diǎn)，使它到三點(diǎn)的距離相等” ：方法就是找垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) 例 1、平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn)，可以確定圓的個(gè)數(shù)為題型五】圓中角的求解些看似十分簡(jiǎn)單的性質(zhì)和方法，卻最容易被遺忘。如圖， AB為 O的直徑， CD為 O的弦， AB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) E，已知 AB=2DE， E=18，求 AOC的度數(shù)2 倍；（ 2）圓中常用半徑相等來(lái)構(gòu)造等腰三角形，這鞏固

6、練習(xí)1、如圖，一根 5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在柱子上，另一端拴著一只羊（羊只能在草地上活動(dòng)），請(qǐng)畫(huà)出羊的活動(dòng)區(qū)域。2、如果 O所在平面一點(diǎn) P到 O上的點(diǎn)的最大距離為 7，最小距離為 1，那么此圓的半徑為3、如圖，點(diǎn) A、D、G、M在半圓上，四邊形 ABOC， DEOF、 HMNO均為矩形，設(shè) BC=a， EF=b， NH=c，則 a，b，c 的 大小關(guān)系是第3題第5題4、已知 O的半徑為 1，點(diǎn) P與圓心 O的距離為 d，且方程 x2-2x+d=0 有實(shí)數(shù)根，則點(diǎn) P在 O的5、如圖， MN所在的直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段 AB，利用這樣的工具，最少使用次就可以找到圓形工件的圓心. . 下載可編輯6、若線(xiàn)

7、段 AB=6，則經(jīng)過(guò) A、B 兩點(diǎn)的圓的半徑 r 的取值圍是27、在 RtABC中， C=90，兩直角邊 a、b 是方程 x2-7x+12=0 的兩根，則 ABC的外接圓面積為8、如圖，平面直角坐標(biāo)系中一第圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A、 B、C，其中 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 4），那么該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為yABCOx9、已知圓上有 3 個(gè)點(diǎn)，以其中兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的弧共有條 【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)直線(xiàn)，直線(xiàn)兩旁的部分能夠 ，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸。2、圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，都是它的對(duì)稱(chēng)軸3、垂徑定理：垂直于弦的直徑，并且平分4、分一條弧成的點(diǎn)，叫做這

8、條弧的中點(diǎn)。5、的距離叫做弦心距。6、垂徑定理的逆定理 1：平分弦（）的直徑垂直于弦，并且平分垂徑定理的逆定理 2：平分弧的直徑 【 典型例題 】【題型一】應(yīng)用垂徑定理計(jì)算與證明例 1、如圖所示，直徑 CE垂直于弦 AB， CD=1，且 AB+CD=C，E求圓的半徑。BAB交 O 于C、 D兩點(diǎn)， OA、OB分別交 O于 E、F兩點(diǎn)，且 OA=O，B求證：AC=BD溫馨提醒 ：在垂徑定理中，垂直于弦的 直徑 ”可以是直徑，可以是半徑，也可以是過(guò)圓心的直線(xiàn)或線(xiàn)段。題型二】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例 1、某居民區(qū)一處圓形下水道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道，如圖所示，污水的水面寬為60cm，水面至管道

9、頂部距離為 10cm，問(wèn)：修理人員應(yīng)準(zhǔn)備徑多大的管道？溫馨提醒 ：要學(xué)會(huì)自己多畫(huà)圖，這樣有助于書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程。60cm. . 下載可編輯例 2、 工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為 8mm，如圖所示，則這個(gè)小孔的直徑 AB是題型三】垂徑定理與逆定理的實(shí)際應(yīng)用例 1、如圖，已知 M是 AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（ 1）求圓心 O到弦 MN的距離（ 2）求 ACM的度數(shù)M的弦 MN交 AB于點(diǎn) C，設(shè) O的半徑為 4cm， MN=4 3 cm。N題型四】應(yīng)用垂徑定理把弧2 等份， 4 等份等鞏固練習(xí)1 、下列說(shuō)確的是（ ）A. 每一條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)

10、軸C.圓的對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圓心B. 圓的對(duì)稱(chēng)軸是唯一的D. 圓的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心重合2、下列命題： 垂直于弦的直徑平分這條弦； 的直線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)圓心。其中正確的有（ ）平分弦的直徑垂直于弦；垂直且平分弦A.0 個(gè) B.1 個(gè) C.2 個(gè) D.3 個(gè)3、如圖， O的直徑為 10cm，弦 AB為 8cm， P 是弦 AB上一點(diǎn)，若 OP的長(zhǎng)是整數(shù)， 則滿(mǎn)足條件的點(diǎn) P 有（）個(gè)A.2 B.3 C.4 D.5cm4、半徑為 5cm 的圓有兩條互相平行的弦，長(zhǎng)度分別為6cm和 8cm，則這兩弦之間的距離為 5、圓的半徑等于 2 3 cm，圓一條弦長(zhǎng) 2 3 cm，則弦的中點(diǎn)與弦所對(duì)弧的中點(diǎn)的距離等于6、如

11、圖，矩形 ABCD與 O相交于 M、N、F、 E，如果 AM=2，DE=1，EF=8，那么 MN的長(zhǎng)為第 9 題第 10 題7、如圖， AB是 O的直徑， CD是弦。若 AB=10cm， CD=6cm，那么 A、B 兩點(diǎn)到直線(xiàn) CD的距離之和為k8、如圖，半徑為 5的P與y 軸交于點(diǎn) M（0，-4）、N（0，-10），函數(shù) y= （ x2CD B. ABCD，OMAB，ONCD，M、N 為垂足，那么 OM、 ON的關(guān)系是（）A. OMON B. OM=ON C. OMON D. 無(wú)法確定9、如圖所示，已知 AB為 O的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦 CDAB，作 OCD的平分線(xiàn)交 O于點(diǎn) P，連續(xù) PA

12、、 PB。 求證： PA=PB11、如圖，. . 下載可編輯D10、如圖所示， M、N為 AB、CD的中點(diǎn)，且 AB=CD。求證： AMN CNMMONO，過(guò) MN的中點(diǎn) A作 ABON，交 MN于點(diǎn) B，試求 BN的度數(shù)MN【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、頂點(diǎn)在上，且兩邊 的角叫圓周角。2、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的3、圓周角定理推論 1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是； 90的圓周角所對(duì)的弦是4、拓展一下 ：圓接四邊形的對(duì)角5、圓周角定理推論 2：在同圓或等圓中，所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì) 的也相等【 典型例題 】【題型一】圓周角定理的應(yīng)用例 1、 ABC為 O 的接三角形，

13、BOC=100，求 BAC的度數(shù)。【題型二】圓周角定理推論的應(yīng)用例 1、如圖所示，點(diǎn) A、B、C、D在圓上， AB=8， BC=6， AC=10， CD=4，求 AD的長(zhǎng)。例 2、如圖所示， A、B、C三點(diǎn)在 O上， CE是 O的直徑， CD AB于點(diǎn) D。（ 1）求證： ACD= BCE；（2）延長(zhǎng) CD交 O于點(diǎn) F，連接 AE、BF，求證： AE=BFB【題型三】應(yīng)用圓周角知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題例 1、將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn) 則 ACB的大小為C在半圓上，點(diǎn) A、 B的讀數(shù)分別為 86， 30. . 下載可編輯例 2、現(xiàn)需測(cè)量一井蓋（圓形）的直徑，但只有一把角尺（

14、尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長(zhǎng)度都長(zhǎng)于 井蓋半徑）請(qǐng)配合圖形、文字說(shuō)明測(cè)量方案，寫(xiě)出測(cè)量的步驟 （要求寫(xiě)出兩種測(cè)量方案）A.1 個(gè) B個(gè) C.3 個(gè) D.4第4題第 5 題第 1題第 2題第3題2、如圖，正方形ABCD接于 O，點(diǎn) P在 AB上，則 DPC =解法一 ：如圖（ 1），把角尺頂點(diǎn) A 放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點(diǎn)B，另一邊交于點(diǎn) C（若角尺另一邊無(wú)法達(dá)到井蓋的邊上，把角尺當(dāng)直尺用，延長(zhǎng)另一邊與井蓋邊緣交于點(diǎn)C），度量 BC長(zhǎng)即為直徑；解法二 ：如圖（ 2），把角尺當(dāng)直尺用，量出 AB的長(zhǎng)度，取 AB中點(diǎn) C，然后把角尺頂點(diǎn)與 C 點(diǎn)重合，有一邊與 CB 重合，

15、讓另一邊與井蓋邊緣交于 D 點(diǎn)，延長(zhǎng) DC交井蓋邊于 E，度量 DE長(zhǎng)度即為直徑；鞏固練習(xí)1、圖中圓周角有（）已知，如圖，7、第7題第8題AB為O的直徑， AB=AC，BC交 O于點(diǎn) D，AC交 O于點(diǎn) E， BAC=45。給出下列四個(gè)結(jié)論：3、如圖，已知 EF是 O的直徑，把 A 為 60的直角三角板 ABC的一條直角邊 BC放在直線(xiàn) EF上，斜邊 AB與 O交于點(diǎn) P，點(diǎn) B與點(diǎn) O重合，將三角板 ABC沿 OE方向平移，使得點(diǎn) B與點(diǎn) E 重合為止設(shè) POF=x，則 x 的取值圍是（ ）A30 x60 B 30 x90 C 30 x120 D 60 x1204、如圖， PB交 O于點(diǎn) A

16、、B，PD交 O于點(diǎn) C、D，已知DQ的度數(shù)為 42，BQ度數(shù)為 38，則 P+Q=5、如圖， AB是 O的直徑， C, D, E 都是 O上的點(diǎn)，則 12 = .6、如圖， AB是 O的直徑， AD=DE， AE與 BD交于點(diǎn) C，則圖中與 BCE相等的角有（）A.2 個(gè) B.3 個(gè) C.4 個(gè) D.5 個(gè)EBC=22.5； BD=DC； AE是DE的 2 倍； AE=BC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是8、如圖， O的半徑為 1cm，弦 AB、CD的長(zhǎng)度分別為2 cm， 1cm，則弦 AC、 BD所夾的銳角為. . 下載可編輯9、如圖， AB, AC 是 O的兩條弦，且 AB=AC延長(zhǎng) CA到點(diǎn) D

17、使 AD=AC， 連結(jié) DB并延長(zhǎng) , 交 O于點(diǎn) E求證： CE是 O的直徑10、如圖，在 O中 AB是直徑， CD 是弦， ABCD.（1）P 是 C?AD 上一點(diǎn)（不與 C, D 重合）求證： CPD=COB；（2） 點(diǎn) P在劣弧 CD上（不與 C , D 重合）時(shí)， CP/ D與 COD有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論11、（ 1）如圖（ 1）已知，已知 ABC是等邊三角形，以 BC為直徑的 O交 AB、AC于 D、E求證： ODE是等邊 三角形；（2）如圖（ 2）若 A=60，ABAC，則（ 1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明12、如圖所示，直徑試判斷 MBC

18、與 MBA的大小關(guān)系。AB、CD互相垂直， P 是 OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 的弦 MN AB，BA13、如圖， AB為 O的直徑，弦 DA、 BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) P，且 BC=PC，求證： （1）AB=AP （ 2） ?BC C?D. . 下載可編輯【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、弧長(zhǎng)公式：在半徑為 R的圓中， n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) l 的計(jì)算公式為 l=2、在弧長(zhǎng)公式中，有 3 個(gè)變量： ，已知其中的任意兩個(gè)，都可以求出第3 個(gè)變量。我們只需要記住一個(gè)公式即可。 （有些老師要求它的另外兩個(gè)變形公式都要記住，其實(shí)完全沒(méi)有必要）3、扇形面積公式 1：半徑為 R，圓心角為 n的扇形面積為。這里面涉及 3 個(gè)

19、變量：，已知其中任意兩個(gè)，都可以求出第 3 個(gè)變量。我們中需要記住一個(gè)公式即可。4、扇形面積公式 2：半徑為 R，弧長(zhǎng)為 l 的扇形面積為5、求陰影部分面積一般遵循“四步曲” ，即：一套，二分，三補(bǔ)，四換一套：直接套用基本幾何圖形面積公式計(jì)算；二分：將其分割成規(guī)則圖形面積的和或差；三補(bǔ)：用補(bǔ)形法拼湊成 規(guī)則圖形計(jì)算；四換：將圖形等積變換后計(jì)算。典型例題 】 題型一】靜止圖形的弧長(zhǎng)計(jì)算與運(yùn)動(dòng)圖形的弧長(zhǎng)計(jì)算 例 1】、如圖所示，在 ABC中， ACB=90， B=15，以 C 為圓心， CA的長(zhǎng)為半徑的圓交 AB 于點(diǎn) D。若 AC=6，求 ?AD 的長(zhǎng)例 2】、如圖，菱形 ABCD中， AB=2

20、， C=60，菱形 ABCD在直線(xiàn) l 上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾， 旋轉(zhuǎn) 60叫一次操作，則經(jīng)過(guò) 36 次這樣的操作菱形中心 O 所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為【題型二】求陰影部分的面積問(wèn)題【例 1】、如圖，在矩形 ABCD中，AD=2AB=2，以 B 為圓心，以 BA為半徑作圓弧，交 CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E，連接 DE。 求圖中陰影部分的面積。O BC1例2例 2】、如圖所示，分別以 n 邊形的頂點(diǎn)為圓心，以單位【例 3】、如上圖， Rt ABC中， ACB=90， CAB=30， BC=2，O、H分別為邊 AB、AC的中點(diǎn)，將 ABC繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120到 A1B1C1的位置，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線(xiàn)段 O

21、H所掃過(guò)部分的面積 （即陰影部分面積） 為（ ） A 7 7 3B 4 7 3C D 4 33 8 3 8 3. . 下載可編輯例 4】、如圖， 水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm ，其中水面高 0.3cm ，求截面上有水部分的面積。【題型三】用弧長(zhǎng)及扇形面積公式解決實(shí)際問(wèn)題【例 1】、當(dāng)汽車(chē)在雨天行駛時(shí)，為了看清楚道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的 雨刷器。如圖是某汽車(chē)的一個(gè)雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷 CD在 B 處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)） ，當(dāng)桿 AB繞 A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 90時(shí)，雨刷 CD掃過(guò)的面積是多少呢？ 小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，量得CD=80cm、DBA=20，端點(diǎn)

22、C、D 與點(diǎn)A 的距離分別為 115cm、35cm他經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了 結(jié)果。也請(qǐng)你算一算雨刷 CD掃過(guò)的面積為cm2（ 取 3.14 ）【例 2】、如圖是一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是10cm，當(dāng)重物上升 10cm時(shí)，滑輪的一條半徑 OA1)繞軸心 O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角度約為 度（假設(shè)繩索與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)， 取 3.14 ，結(jié)果精確到鞏固練習(xí)11、如果一條弧長(zhǎng)等于r，它的半徑是 r ，那么這條弧所對(duì)的圓心角度數(shù)為42、如果一條弧長(zhǎng)為 l ，它的半徑為 R，這條弧所對(duì)的圓心角增加 1，則它的弧長(zhǎng)增加3、扇形的弧長(zhǎng)為 20cm，半徑為 5cm，則其面積為cm

23、24、一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是 20 cm，面積是 240 cm ，那么扇形的圓心角是5、圖中 4 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都相等，其中陰影部分面積相等的圖形個(gè)數(shù)是（A.0 B.2 C.36、如圖所示，扇形 AOB的圓心角為 90，分別以 OA、OB為直徑在扇形作半圓， 面積，那么 P 和 Q的大小關(guān)系是P 和 Q 分別表示兩個(gè)陰影部分的7、如圖， AB=12，C、D 是以 AB為直徑的半圓上的三等分點(diǎn)，則圖中陰影部分面積為8、如圖，在 RtABC中， C=90， AC=4，BC=2，分別以 AC、BC為直徑畫(huà)半圓，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留 ）（到了初中階段，其實(shí)即使不說(shuō)，結(jié)果也要保留，這是一個(gè)基本常

24、識(shí)）. . 下載可編輯9、如圖，在 RtABC中， C=90， A=30， AB=2將 ABC繞頂點(diǎn) A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至 ABC的位置，B， A，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則線(xiàn)段 BC掃過(guò)的區(qū)域面積為第9題第 10 題10、（2013 年中考題）在 ABC中， C為銳角，分別以 AB， AC為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn) B，A，C作，如圖所示，若 AB=4， AC=2， S1S2，則 S34A.29B.234C.11S4的值是D.11、如圖， O 的半徑為 R，AB與 CD是 O 的兩條互相垂直的直徑，以 B為圓心， BC為半徑為 C?D , 交 AB于點(diǎn) E，求圓中陰影部分的面積。12、如圖，已知矩形 ABCD中，

25、 BC=2AB，以 B 為圓心， BC為半徑的圓交 AD于 E，交 BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于 F ，設(shè) AB=1， 求陰影部分的面積 .13、如圖，在 ABC中，已知 AB=4cm， B=30， C=45，若以 A 為圓心， AC長(zhǎng)為半徑作弧，交 AB于點(diǎn) E， 交 BC 于點(diǎn) F。（1）求C?E的長(zhǎng)（2）求 CF的長(zhǎng). . 下載可編輯【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、圓錐可以看做是直角三角形繞 旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形。 旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的 側(cè)面。 另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做。圓錐的 和 的和叫做圓錐的全面積 （或表面積）。2、沿圓錐的母線(xiàn)把圓錐剪開(kāi)并展平， 可得圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè) ，圓錐的側(cè)面積等于這個(gè)扇

26、形的面積， 其半徑等于圓錐的 ，弧長(zhǎng)等于圓錐的3、圓錐的側(cè)面積：；圓錐的全面積： 4、圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng) l ，高 h，底面圓半徑 r 滿(mǎn)足關(guān)系式5、已知圓錐的底面圓半徑 r 和母線(xiàn)長(zhǎng) l ，那么圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為6、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角 x 的取值圍為 【 典型例題 】【題型一】與圓錐有關(guān)的計(jì)算（主要是算面積）【例 1】如圖所示，在 ABC中， BAC=30， AC=2a，BC=b，以 AB所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則 這個(gè)幾何體的全面積是（ ）A. 2 a B. ab C. 3 a2+ ab D. a（ 2a+b）【例 2】如圖，有一圓心角為 120，半徑長(zhǎng)為 6cm 的扇

27、形，若將 OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高 是（ ）A. 4 2cm B. 35 C. 2 6 D. 2 33】如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形紙片，使之恰好能夠圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑為r 與 R 之間的關(guān)系r，扇形例題型二】與圓錐有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題1】在一個(gè)邊長(zhǎng)為 a 的正方形材料上截取一扇形，圍成母線(xiàn)長(zhǎng)為 試設(shè)計(jì)兩種不同的截法（要求每一種截法盡量減少浪費(fèi)的材料） 分別求出（ 1）中兩種不同截法所得的圓錐底面的半徑和高 1）中哪一種截法所得的圓錐側(cè)面積較大？例1）2）3）a 的圓錐，并把截法在圖上表示出來(lái). . 下載可編輯【題型三】與圓錐有關(guān)的最短距離問(wèn)題【例 1】如圖 ,

28、 圓錐底面半徑為 r, 母線(xiàn)長(zhǎng)為 3r ，底面圓周上有一螞蟻位于 A點(diǎn)，它從 A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周 后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑。鞏固練習(xí)1、一個(gè)圓錐形零件的底面半徑為4，母線(xiàn)長(zhǎng)為 12，那么這個(gè)零件側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為2、一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2 倍，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角等于3、如圖，扇形 OAB是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，若小正方形方格的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)圓錐的底面半徑為第 5 題4、如圖所示是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，那么圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為5、如圖是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開(kāi)口圓的直徑EF長(zhǎng)為 10cm，

29、母線(xiàn) OE（ OF）長(zhǎng)為 10cm在母線(xiàn)OF上的點(diǎn) A處有一塊爆米花殘?jiān)?，?FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn) E處沿圓錐表面爬行到 A 點(diǎn)，則此螞蟻爬行 的最短距離cm6、如圖所示，有一直徑為 1m的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)圓心角為90的最大扇形 ABC（1）求被剪后陰影部分的面積（2）用所得的扇形鐵皮圍成一個(gè)小圓錐，則該圓錐的底面半徑是多少？. . 下載可編輯7、卷一個(gè)底面半徑為 2，高為 2 35 的圓錐側(cè)面，有以下 4 個(gè)扇形紙片可供選擇。如果要使材料浪費(fèi)最少，你認(rèn)為選哪一個(gè)最合理？請(qǐng)說(shuō)明理由。8、在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖 1 所示的步驟進(jìn)行折疊，并圍成

30、圓錐形。（ 1）取一漏斗，上部的圓錐形壁（忽略漏斗管口處）的母線(xiàn)OB長(zhǎng)為 6cm，開(kāi)口圓的直徑為 6cm。當(dāng)濾紙片重疊1部分為三層，且每層為 圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的壁（忽略漏斗管口處），4請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明；（ 2）假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，開(kāi)口圓的直徑為 7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗壁問(wèn)重疊部分每層的面積為多少？. . 下載可編輯第三章 圓的基本性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)及典型例題知識(shí)框圖圓、圓心、半徑、直徑概念弧、弦、弦心距、等弧圓心角、圓周角弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧 在同圓或等圓中，能夠重合的兩

31、條弧叫等弧三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形點(diǎn)和圓的位置關(guān)系三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓的基本性質(zhì)垂徑定理及其 2個(gè)逆定理圓的中心對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性圓心角定理及逆定理圓心角定理及逆定理都是根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性推出來(lái)的圓周角定理及 2個(gè)推論求半徑、弦長(zhǎng)、弦心距圓的相關(guān)計(jì)算求圓心角、圓周角、弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及表面積求不規(guī)則陰影部分的面積證明線(xiàn)段長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系；證明角度之間的數(shù)量關(guān)系圓的相關(guān)證明證明弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明多邊形的形狀；證明兩線(xiàn)垂直1、過(guò)一點(diǎn)可作個(gè)圓。過(guò)兩點(diǎn)可作 個(gè)圓，以這兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段的 上任意一點(diǎn)為圓

32、心即可。過(guò)三點(diǎn)可作 個(gè)圓。過(guò)四點(diǎn)可作個(gè)圓。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑，并且平分垂徑定理的逆定理 1：平分弦（）的直徑垂直于弦，并且平分垂徑定理的逆定理 2：平分弧的直徑3、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的，所對(duì)的圓心角定理的逆定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么 都相等。注解 ：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”時(shí)，這里的“弧相等”是指對(duì)應(yīng)的劣弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等。在題目中，若讓你求AB，那么所求的是弧長(zhǎng)4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角定理推論 1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是；

33、90的圓周角所對(duì)的弦是圓周角定理推論 2：在同圓或等圓中，所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì) 的也相等5、拓展一下 ：圓接四邊形的對(duì)角之和為6、弧長(zhǎng)公式：在半徑為 R的圓中， n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) l 的計(jì)算公式為 l=. . 下載可編輯 . .7、扇形面積公式 1：半徑為 R，圓心角為 n的扇形面積為。這里面涉及 3 個(gè)變量：，已知其中任意兩個(gè)，都可以求出第 3 個(gè)變量。我們中需要記住一個(gè)公式即可。扇形面積公式 2：半徑為 R，弧長(zhǎng)為 l 的扇形面積為8、沿圓錐的母線(xiàn)把圓錐剪開(kāi)并展平， 可得圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè) ，圓錐的側(cè)面積等于這個(gè)扇形的面積，其半徑等于圓錐的 ，弧長(zhǎng)等于圓錐的9、圓錐的

34、側(cè)面積： ；圓錐的全面積：10、圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng) l ，高 h，底面圓半徑 r 滿(mǎn)足關(guān)系式11、已知圓錐的底面圓半徑 r 和母線(xiàn)長(zhǎng) l ，那么圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為12、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角 x 的取值圍為考點(diǎn)一 、與圓相關(guān)的命題的說(shuō)確的個(gè)數(shù)，絕大多數(shù)是選擇題，也有少部分是填空題（填序號(hào)）考點(diǎn)二 、求旋轉(zhuǎn)圖形中某一點(diǎn)移動(dòng)的距離，這就要利用弧長(zhǎng)公式考點(diǎn)三 、求半徑、弦長(zhǎng)、弦心距，這就要利用勾股定理和垂徑定理及逆定理考點(diǎn)四 、求圓心角、圓周角考點(diǎn)五 、求陰影部分的面積考點(diǎn)六 、證明線(xiàn)段、角度、弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明多邊形的具體形狀考點(diǎn)七 、利用不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓的作圖題考點(diǎn)八 、

35、方案設(shè)計(jì)題，求最大扇形面積考點(diǎn)九 、將圓錐展開(kāi)，求最近距離練習(xí)一、選擇題1、下列命題中： 任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓；圓的兩條平行弦所夾的弧相等； 任意一個(gè)三角形有且僅有一個(gè) 外接圓； 平分弦的直徑垂直于弦； 直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，半徑不是弦。正確的個(gè)數(shù)是（ ）A.2 個(gè) B.3 個(gè) C.4 個(gè) D.5 個(gè) 2、如圖， AB是半圓 O的直徑，點(diǎn) P從點(diǎn) O出發(fā)，沿 OA ?AB BO 的路徑運(yùn)動(dòng)一周設(shè) OP為 s ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，則下列圖形能大致地刻畫(huà) s 與 t 之間關(guān)系的是（ ）幾何體的全面積是（ ）A. 2 a B. ab C. 3 a2+ ab D. a（ 2a+b）4、如圖，有一圓心角為

36、120，半徑長(zhǎng)為 6cm的扇形，若將 OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面， 那么圓錐的高是 （）A. 4 2cm B.C. 2 6 D. 2 3. . 下載可編輯5、F，過(guò) F 作一直線(xiàn)與 AB 平行，且交 DE 于 G點(diǎn)。求 AGF=（）(A) 110(B) 120(D) 150第 5 題(C) 135第6題第7題第8題6、如圖， AB 是 O的直徑， AD=DE，A.2 個(gè) B.3 個(gè) C.4 個(gè) D.57、如圖，弧 BD是以等邊三角形 ABC一邊 AB為半徑的四分之一圓周， 形 ACBP周長(zhǎng)的最大值是（）AE與 BD交于點(diǎn) C，則圖中與 個(gè)BCE相等的角有（P 為弧 BD 上任意一點(diǎn)，AC=

37、5，則四邊A 15 B 20 C 15+5 2 D 15+5 58 、 如 圖 ， 已 知 O 的 半 徑 為 5 ， 點(diǎn)到弦. . 下載可編輯的距離為所在直線(xiàn)的距離為 2 的點(diǎn)有（ ）A1 個(gè)B2 個(gè)C3個(gè)D4個(gè)9、如圖， C為O直徑 AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C的直線(xiàn)交 O于 D、E 兩點(diǎn)，且 ACD=45， DF AB于點(diǎn) F,EGAB于點(diǎn) G,當(dāng)點(diǎn) C在 AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) AF=x，DE=y，下列中圖象中，能表示 y與 x的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是A B C D10、如圖 5，AB是 O的直徑，且 AB=10，弦 MN的長(zhǎng)為 A、B到 MN的距離分別為 h1，h2，則 |h1h2| 等于（ B

38、 DA、5C、7、6、811、如上圖， 時(shí)針旋轉(zhuǎn) A 7 3Rt ABC中， ACB=90， CAB=30， 120到 A1B1C1 的位置，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線(xiàn)段 73 812、（ 2013 年中考題）如圖所示，若 AB=4，A. 294二、填空題B. . 下載可編輯B 43 78 3C 在 ABC中， C為銳角，分別以O(shè)H所掃過(guò)部分的面積（即陰影部分面積）為（D 4 33AB， AC為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)A B，AC=2， S1 S2，則 S3 S4的值是（4114234C.D.O1HH1A1，C1的外接圓1 、 如 圖 ， O 是 等 腰 三 角 形為 O 的 直 徑. . 下載可編輯，連結(jié)，

39、則. .下載可編輯 第. 1. 題COB第4題2、如圖為 O 的 直 徑 ， 點(diǎn)O上. . 下載可編輯3、如圖， AB、 AC分別是 O的直徑和弦， ODAC于點(diǎn) D，連結(jié) BD、BC。 AB=5， AC=4，則 BD=4、如圖， AB為 O的直徑，弦 CD AB， E為 ?BC上一點(diǎn)，若 CEA=28o ，則 ABD=.5、在半徑為 5cm 的圓中，兩條平行弦的長(zhǎng)度分別為6cm和 8cm，則這兩條弦之間的距離為6、在半徑為 1的 O中，弦 AB、AC分別是 3和 2 ，則 BAC的度數(shù)為 7、如圖，扇形 OAB是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，若小正方形方格的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)圓錐的底面半徑為8、如圖所

40、示是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，那么圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為 9、如圖是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開(kāi)口圓的直徑EF長(zhǎng)為 10cm，母線(xiàn) OE（ OF）長(zhǎng)為 10cm在母線(xiàn)OF上的點(diǎn) A 處有一塊爆米花殘?jiān)?且 FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn) E 處沿圓錐表面爬行到 點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離cm10、如圖， AB是O的直徑，弦 CD AB若 ABD 65，則 ADC11、如圖 , AB是 O的直徑，點(diǎn) 設(shè) ACP=x，則 x 的取值圍是 12、如圖， AB 是O的直徑， 13、以半圓 O 的一條弦 BC（非直徑）為對(duì)稱(chēng)軸將弧 為14、如圖，菱形 ABCD中， AB=2

41、， C=60，菱形 60叫一次操作，則經(jīng)過(guò) 36 次這樣的操作菱形中心. . 下載可編輯C、D、E 是 O上的點(diǎn)，則 1 BC折疊后與直徑 AB 交于點(diǎn) D。若 AD=4， DB=6，那么 AC的長(zhǎng)ABCD在直線(xiàn) l 上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為15、當(dāng)汽車(chē)在雨天行駛時(shí)，為了看清楚道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器。如圖是某汽車(chē)的一個(gè)雨刷器 的示意圖，雨刷器桿 AB與雨刷 CD在 B 處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)） ，當(dāng)桿 AB繞 A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 90時(shí)，雨刷 CD掃過(guò)的面 積是多少呢？小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，量得CD=80cm、DBA=20，端點(diǎn) C、D與點(diǎn)

42、A 的距離分別為115cm、 35cm他經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了結(jié)果。也請(qǐng)你算一算雨刷CD掃過(guò)的面積為2cm2（ 取 3.14 ）三、解答題1、如圖所示， AB是 O的一條弦， ODAB，垂足為 C，交 O于點(diǎn) D，點(diǎn) E在 O上。 （ 1）若 AOD=52 ，求 DEB的度數(shù)；（ 2）若 OA=5， OC=3，求 AB的長(zhǎng)2、如圖，在一個(gè)橫截面為 Rt ABC的物體中， ACB=90， CAB=30， BC=1米工人師傅先將 AB邊放在地面 （直線(xiàn) l ）上。（ 1）請(qǐng)直接寫(xiě)出 AB， AC的長(zhǎng)；（2）工人師傅要把此物體搬到墻邊（如圖） ，先按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn) B翻轉(zhuǎn)到 A1

43、BC1位置（ BC1在 l 上），最后沿 BC1 的方向平移到 A2B2C2的位置， 其平移的距離為線(xiàn)段 AC的長(zhǎng)度 （此時(shí) A2C2恰好靠在墻邊） ，畫(huà)出在搬動(dòng)此物的整個(gè) 過(guò)程 A 點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑，并求出該路徑的長(zhǎng)度。（3）若沒(méi)有墻，像（ 2）那樣翻轉(zhuǎn)，將 ABC按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn) B 翻轉(zhuǎn)到 A1BC1位置為第一次翻轉(zhuǎn)，又將 A1BC1 按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn) C1翻轉(zhuǎn)到 A2B1C1（A2C1在 l 上）為第二次翻轉(zhuǎn)， 求兩次翻轉(zhuǎn)此物的整個(gè)過(guò)程點(diǎn) A經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)3、如圖，要把破殘的圓片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A、B、 C。（ 1）用尺規(guī)作圖法，找出弧 ABC所在圓的圓心 O（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（ 2）設(shè) ABC是等腰三角形，底邊 BC=8， AB=5，求圓片的半徑 R. . 下載可編輯DA至點(diǎn) E，使 CE CD.4、如圖， ABC是 O的接三角形， ACBC，D為O中 ?AB 上一點(diǎn)，延長(zhǎng)（1）求證： AE BD （2）若 ACBC，求證：