工程力學習題答案9廖明成

1、第九章 桿類構件的變形習題9.1 單元體 ABCD的邊長為 dx、dy，其 x y 0，但其切應變?yōu)?，試求與 x 和 y 都成 45 方向的 AC線的線應變 AC 。D D C CA dx題 9.1 圖解：變形后的 AC 在 AC 方向上的投影為 AE ，如下圖所示：ydD D C E C由題意易知， dx dy AC 2dyCC DD tan dy dy（ 足夠小 ）CECC dy22CE 故：在與 x 和 y 都成 45方向的 AC線的線應變 ACAC AC0.03 mm，假設 AB和9.2 圖示三角形薄板因受外力作用而變形，角點B 垂直向上的位移為BC仍保持為直線。試求沿 OB方向的平

2、均應變，并求 AB和 BC兩邊在 B 點的切應變。題 9.2 圖解：變形后的圖形為：由圖易知： (1)OB方向上的平均應變OB OB 120.03 120 42.5 10 4OB 120(2)由角應變的定義可知，在 B 點的角應變?yōu)镺A 120ABC 2(arctan ) 2(arctan ) 2.5 102 2 OB 2 120.039.3 在軸向壓縮試件的 A 及 B 處分別安裝兩個杠桿變形儀，其放大倍數分別為 KB=1000，標距均為 s=20 mm，受壓后杠桿儀的讀數增量為nA36 mm， nBradKA=1200，10 mm，試求此材料的泊松比 。解：由泊松比的定義知：本題中： 橫

3、BBnA /KAsnB / KBsBnB /K BsAsnA / K A9.4 求簡單結構（ a）中節(jié)點 A 的橫向位移和 （壓）剛度均為 EA。nB KA 10 1200 1 =0.33nA KB 36 1000 3 b）結構中節(jié)點 A 的豎向位移，設各桿的抗拉BlF(a)題 9.4 圖(b)解：（a）結構中 A 點的受力平衡，經受力分析，易得桿AB、AC的軸力：FBA F （拉）FCA0結構的最終變形如下圖所示：A1位移 AA 為所求。根據胡克定律，得：F lcosAA1EAFlEAcos由上圖所示的變形得幾何關系，可得：AA1FlAAsin EAcos sin2FlEAsin 2b） 由

4、點 A 的平衡可得桿 BA、 AD的軸力分別為 FAD 0 ， FN 2 F （拉） 由點 B 的受力圖如下圖所示，由平衡條件，可得桿BC、 BD的軸力分別為：FN1 F （拉）， FN 4 2F （壓）采用以切線代替回弧線的方法，畫出B點的變形圖，如下圖所示：由幾何關系，可得 B 點的垂直位移為：By BB1lDC sin45lDC cos45lBC cot452 l DC lBC點 A 的水平位移和鉛垂位移分別為AxAyBB1 lAB2 lDB lBClAB2 2F 2l Fl FlEA EA EA2 1 2 FlEA9.5 如圖所示的桁架，兩桿材料相同， AB 桿的橫截面面積 A1=10

5、0 mm2， AC桿的橫截面面積 A2=80 mm2，彈性模量 E =210 GPa ，鉛垂力 F=20 kN。求 A 點的位移。題 9.5 圖解：以點 A 為研究對象，作受力圖。利用靜力學平衡條件Fx 0, FNC sin 45FNB sin 30 0F y 0, F NC cos 45 F NB cos 30 F 0可求得桿 AB和 AC的軸力分別為F NC 0.518 FF NB 0.732 F9.6 混凝土柱尺寸如圖所示，柱的彈性模量E=120 GPa，柱受沿軸線的壓力 F=30 kN 的作用， 若不計柱自重的影響，求柱的壓縮量。解：設距柱體底面高度處的正方形橫截面的變?yōu)?a, 面積為

6、 A ，則由幾何關系可得a 28 36040 28 360解得a 4030A x a2 40 x30于是柱體內的軸力恒為FNF 30kN柱體的總變形l 0l EFAN(d )0.36120 109 40330 1032106300.0804mm9.7 如圖所示兩根粗細相同的鋼桿上懸掛著一剛性梁AB，今在剛性梁上施加一垂直力F。欲使梁 AB保持水平位置（不考慮梁自重） 。求：加力點位置 x與 F和 l 之間的關系。題 9.7 圖解：先求 CK、HE桿的軸力 F1、F2與x 的關系，取 AB桿為研究對象，其受力如圖所示，由 平衡條件可得M c 0 F2 1.5l Fx 0解之得Fy 0F1 F2

7、F 01.5l xF11.5lF11. 5LXCF2x F21.x5l F .由胡克定律可得兩桿的軸向伸長量分別為l kcFlF1lE 1 A1E 1 A11.5 l x1.5 ll HEF2 0.75 lF 0.75 lE2 A2E 2 A21.5 l要使 CG桿保持水平的條件為lkc = lHE解之得 x1.5 l E2 A2 E 2 A2 0.75 E1 A19.8桿，圖示結構，已知 AB 桿的直徑 d 30 mm ， a 1 m ， E 210 GPa 。設 CD 桿為剛 AB 桿的許用應力160 MPa ，求 D點的最大鉛垂位移。a解：D2E 則：1）1）（ 2）聯(lián)立得：1max由圖

8、示變形關系易得：1maxaa2）160 1069210 109 2max 2 1max 1.53 10 m7.62 10 4 7.62 10 4m題 9.8 圖CD桿為剛性桿，故受力后的變形圖為即： D端的最大豎直位移為 1.53 10 3m9.9 鋼制空心圓軸的外徑 D =100 mm，內徑 d =50 mm。要求軸在 2 m 內的最大扭轉角不超 過 1.5 ，材料剪切彈性模量 G =82 GPa。求：（1）該軸所能承受的最大扭矩； （ 2）此時軸 內的最大切應力。解：（ 1）設該軸所能承受的最大扭矩為Tmax44 4 4 12 6 4I p (D 4d 4 )(1004504 )10 12

9、9.2 10 6m432 321.5 2.62 10 2180由公式 Tl 得：GIpGIpT maxl2）由題意知：0.582 109 9.2 10 6 2.62 10 2 9.883kN m34 4 3 Wt(14 ) 1.84 10 4m3t 16max T max 9883 4 53.6 106PaWt1.84 10 49.10 如圖所示為鉆探機鉆桿。已知鉆桿的外徑D= 60 mm，內徑 d =50 mm，功率 P=10 馬力，轉速 n =180 r/min 。鉆桿鉆入地層深度 l =40 m，G =81 GPa，=40 MPa。假定地 層對鉆桿的阻力矩沿長度均勻分布。求： （ 1）地

10、層對鉆桿單位長度上的阻力矩Me；（2）作鉆桿之扭矩圖，并進行強度校核； （3）A、 B 兩截面之相對扭轉角。題 9.10 圖P解：(1)由公式 M e N m 9549 kW 得： N m n r/min180M 9549 10 735 10 389.9 N m由力矩平衡可得：Me l M故有： Me Ml389.9 9.75N m402）底層以上轉桿的扭矩為 M =389.9N m 用截面法對 AB段的任意一截面 O 進行分析：由力矩平衡可得：由 M 的表達式可畫出相應的扭矩圖如下：強度校核： Wtt 163(1A389.9N mB4)163603389.9N m1 5 4169 5 310

11、 9 2.2 10 5 m3探桿上的最大扭矩為：T max 389.9 N m由公式 T 得： WtT max 389.9 6max5 17.8 106 Pa 17.8MPa Wt2.2 10 540MPa滿足強度要求。3)如圖所示，T(x)ddx取任意截面 x，該截面處的扭矩為： T(x) mx dx段長度上的扭轉角為： d T(x)dxGIpAB面的相對轉角T(x)dxLBA GI p4099 .75x7dx 0.15rad81 109 6.6 10 79.11 圖示鋼軸所受扭轉力偶分別為 Me1 0.8 kN m，M e2 1.2 kN m及Me3 0.4 kNm，已知 l1 0.3 m

12、，l2 0.7 m， =50 MPa ， =0.25 ( )/m ， G=80GPa。試求軸的直徑 D。解：對 AB段進行分析：由力矩平衡得： M1 M e1 =0.8 kN m 同理對 BC進行分析：BC易得： M2M e3 =-0.4 kN mAB的扭矩圖為：經比較知： AB 段危險GI得：41) 由公式 I p和p 322) 由公式 WtD 3 16TD 4 322 180T 4 232 180 9800 3.91 102m2G2 80 109 0.253T和 得：16Wt3 16 800 6 4.34 10 2m50 106故：軸的最小直徑的取值為 D 4.34 10 2m9.12 如

13、圖所示傳動軸的轉速 n 為 200 r/min ，從主動輪 2 上輸入功率 55 kW ，由從動輪 1、3、4 及 5 輸出的功率分別為 10 kW 、13 kW 、22 kW 及 10 kW 。已知材料的許用切 應力 = 40 MPa，剪切彈性模量 G =81 GPa，要求 =0.5 /m。試選定軸的直徑 D。解：由公式ABP kW9549n r/min得：2178.525從動輪 1 、2、 3、4 及 5 處所傳遞的扭矩分別為：10T1 9549 447.45N m1 20055T2 9549 2625.975N m2 200T3 9549 13 620.685N m3 20022T4 9

14、549 1050.39 N m4 200T5 T1 447.45N m用截面法分別對 AB、 BC、CD、DE段進行受力分析，由力矩平衡易得該軸的扭矩圖：單位： N m )由扭矩圖知危險截面應位于 2、3輪之間的 BC段，該段上 T 2178.525 N m (1)由4公式 Ip 32 和GTIpT 180 得：2)Ip1G80T故D 4 322 180T 4 322 180 21978.525 7.49 10 2m 2G2 81 109 0.53 由公式 WtD 和t 16WTt得：D3316 2178.525 6.52 10 2m640 10為了安全起見，軸的直徑應滿足條件：D 7.49

15、10 2 m9.13 某 圓 截 面 鋼 軸 ， 轉 速 n 250 r / min ， 所 傳 功 率 P 60 kW ， 許 用 切 應 力40 MPa ，單位長度的許用扭轉角0.8 ( )/m，切變模量 G 80 GPa 。試確定軸的直徑 D。解：由該軸所傳遞的扭矩的大小為：9549 P 9549 60n 2502291.76N m1)由公式TWtD3和 Wtt 16得：16 2291.7666.63 10 2m40 10D316T2)由公式GTIp 180D4D4和 Ip 32 得：32 180T 4 32 180 2291.76 6.76 10 2m2G2980 10 0.8綜上分析

16、：軸的直徑應滿足條件D 6.76 10 2m (約合 68mm)9.14 直徑 d=25 mm的鋼圓桿受軸向拉力 60 kN作用時， 在標距 0.2m的長度內伸長了 0.113mm;受扭轉力偶 0.2kNm作用時，相距 0.15 m 的兩橫截面相對扭轉了 0.55 o，試求鋼材的 E，G和 。解：由題意易知應變面積 A應力4d41)由胡克定律E 得：2)由轉角公式Tl 得：GI p3)由 E、 G關系式 G E0.113 10 35.65 10 40.24.9 10 4m260 1034 122.23MPa4.9 10 46122.23 1064 2.16 102GPa5.65 10 4TlG

17、I0.2 10 3 0.154 120.55254 10 12180 3281.6GPa得：2(1 )E 1 216.33 1 0.322G 2 81.69.15 一薄壁鋼管受外力偶 M e 2 kN m 作用。 已知外徑 D 60 mm ，內徑 d 50 mm ， 材料的彈性模量 E 210 GPa ，現(xiàn)測得管表面上相距 l 200 mm 的 AB 兩橫截面相對扭轉 角 AB 0.43 ，試求材料的泊松比。解: 由題意知：內外徑之比題 9.15 圖d5D64I p 32 (14 7 44) 6.59 10 7m4由轉角公式Tl 得： G Tl GI p I2 103 200 10 3p 0.

18、43 6.59 10 718080.9GPa由 E、 G關系式 G2(1 )E 得： E 1 210 1 0.3 2G 2 80.99.16 傳動軸外徑D 50 mm ，長度 l 510 mm ， l1 段內徑 d1 25 mm ， l2 段的內徑d2 38 mm ，欲使兩段扭轉角相等，則 l 2的長度應為多少？題 9.16 圖解：用截面法易得該傳動軸的扭矩圖MeMeA B C 即傳動軸任意截面的扭矩均為 Me 設l1 、 l2段的轉角分別為 1、 2 ， 由轉角公式 Tl 得： 1 T1l12 T2l2GI pGI p1GI p2欲使 12 應有： T1l1T2l2其中， T1 T2 Me1

19、 2GI p1 GIp2 1 2l I 1 4故： l1 I p1 1 14(其中 1 0.5， 2 0.76)l2 I p2 1 2l1 1.4l2 又因 l1 l2 510mm 解得： l2 212mm9.17寫出圖示各梁的邊界條件。qDaCA a(b)FBCA(a)(c)(d)題 9.17 圖解： a x=0,wA =0x=l , wA =0 b x=a,wA =0x=a+l , wA =0 c x=0,wA =0x=l , wA =0 x=l +3a,wA =0d x=0,wA =0x=a+l , wA =09.18 E和 I z為常數，試用積分法求梁端部的轉角，以及最大撓度。AAa

20、2aB aB aAaa(a)(b)MeAAq0(c)(d)題 9.18解： （a）如圖 a1 所示，根據平衡條件，求出支座反力FRA FRB aqAD段）彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為（因結構和載荷均對稱，故只考慮AC段M1(x1) aqx10 x1 a)CD段EI 1EI 1EI 1M2 (x2)aqx112aqx1213aqx16C1C1x1 D1aqx2 q(x2 a)22a x2 3a)EI 2 aqx2q(x2 a)2EI 2 1 aqx222 2 2q(x2 a)36C213EI 2aqx26q(x2 a)42C2 x2 D224由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數：由 1 0,

21、x1 0，得D1 0由 x1 x2 a, 1 2 , 得x1 x2由 x1 x2 a, 1 2 , 得D2 0由 x2 2a, 2 0, 得C1 C211a6各段撓曲線方程和轉角方程為1 1 3 11 1( x1 ) EI( aqx1x1qa )6612(x2) EI 61 aqx23q(x2 a)24161qx2a361 1 21( x1) 1( x1) EI ( 2 aqx1( aqx1161qa3)61 1 22(x2)2( x2 ) aqx2EI 2 aqx2q( x2 a)3116 qa端截面轉角 A1(x1 )x1 0B11 qa36EI最大撓度產生在跨度中點處 l 2 max 2

22、 ( x2 )19x2 2a8EI4qab)如圖 b1 所示，根據平衡條件，求出支座反力FRA 34 aq, FRB 14aq,44彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為AC段3M 1 ( x1)aqx143aqx1432aqx1811EI 1EI 1EI 13 aqx1CD段M2 (x2)EI 281 aq(2 a x2)41 aq(2a x2 )4122 qx1212qx1213qx1 C13 1 114qx1 C1x1 D1240 x1 a)a x2 2a)EI 2qa(2 a x2)3 CEI 2qa(2 a x2)32C2 x2 D224由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數：由 1 0,

23、x1 0 ，得D1 07348a3q由 x1 x2 a, 1 2 , 1332 , 得C1a q, C216由 x2 2a, 2 0, 得D274aq24各段撓曲線方程和轉角方程為1(x1) 1 (1 aqx13EI 8( aqx1214 qx14 136 x1qa3)24 167 qa 4242(x2) E1I qa(2a24x2)3 478qx2a333EI 24 481(x1) 1(x1) 1 (3 aqx12 1 qx13 3 qa3)EI 8 6 1612(x2 ) 2(x2) EI 2 qa(2a x2 )2 7348qa3端截面轉角 A1(x1 )x1 016EIqa3, B2

24、(x2)48EI3qa撓度取極值的條件是d 1 0 ，即dx13 2 1ax1 x1863316qa3a 0.92a跨度中點處撓度 l 21(x1)096EI qax1 ac)如圖 c1 所示，根據平衡條件，求出支座A的約束反力MAl彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為EI M (x) M A x M AEI MA x22lMAEI A6lM A x C13 1 2x3M Ax2 C1 x C2由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數：由 0, x 0 ，得C2 0由 x l,0 得C1M Al各段撓曲線方程和轉角方程為M A22(x)A(3x23lx2l 2)6EIlM A22(x)A(3x26lx

25、2l 2)6EIl端截面轉角 A( x)MAl x 0 3EI,B(x)M Alx l 6EI撓度取極值的條件是 d 0 ，即dx3x2 6lx 2l 2 0x (1最大撓度產生在跨度中點處 max (x)x (1 3 3) l 27 EIMAl2d)如圖 d1 所示，分布載荷集度，撓曲線微分方程及其積分q(x)EI (4)q0xlq0xEI (3)2q20xl2 C1EI3q0x6lC1x C2EI4q0 x4 124l2C1x2 C 2x C35q0xEI120l1 C1x3 1 C2 x2 C3x C462由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數：由 0, x 0 ，得C2 0x l,0 得C

26、1lq06x 0, 0, 得C4x l, 0, 得73q0lC3360 0 各段撓曲線方程和轉角方程為1 ( q0x q0l x3 7 q0l3 x)EI 120l 36 360 0(x) (x)q0x4 q0l x2 7 3E1I ( 24l 12360q0l )撓度取極值的條件是d10 ，即dx1q0x4 q0l24l2 7 312 x2 3760q0l3 0 x1(112l0.27l 0.52l將 x1 0.52l 代入撓曲線方程，得最大撓度5.01 4max (x) x 0.52l 768EIq0l端截面轉角 A (x)x0q0l360EI q0l , B (x) x l 45EI跨度

27、中點處撓度 l 2 (x) x l/2768EI q0l9. 19 E和 I z為常數，用積分法求懸臂梁自由端的撓度。lllFB(b) 題 9.19 圖(a)AB解 (a)當 2l x1 3l 時M 1 x1 0EIw1 M 1 x1 0EIw1 C1EIw1 C1x1 C2當 l x2 2l 時M2 x2F 2l x2EIw2 M 2 x2 F 2l x2EIw2M 2 x2F 2l x213EIw2F x2 2lC3x2 C46當 0 x3 l 時M 3 x3F 3l 2x3EIw3M3 x3 F 3l 2x3 1 2EIw3 F 2x3 3lC5413EIw3 F 2x3 3l C5x3

28、 C624利用邊界條件確定積分常數：由 x1 x2 2l ， w1 w2 ，得C1 C3(1)由 x1 x2 2l , w1 w2 ，得2lC1 C2 2lC3 C4(2)由 x2 x3 l ， w2 w3 ，得1 2 1 2F lC3F lC5 (3)24由 x2 x3 l ， w2 w3 , 得1 3 1 3F llC3 C4F llC5 C6(4)6 3 4 24 5 6 9 2由 x3 0 ， w3 0 ，得 C5 Fl 24由 x3 0 ， w3 0 , 得 C69 Fl 33 3 8聯(lián)立式 (1)(4) ，解得C15FlC23FlC3 52 FlC4Fl所以 BC段的撓曲線方程為w

29、1 x1EI 52Fl 2x1EI z 2 1FlB 端的撓度為2Fl2 wB w1 x1 |x1 3l EIz(b) 如下圖所示，建立坐標系。當 0 x l 時，M1 xF 2l x 1 q l x 2積分兩次，得：11 x EI1F212F 2l x 2 q l xx 2l q x lEI 6 24F 2l x 2 q l x當 l x 2l 時，積分兩次，得：EI11 x EI13x 2l q x lC12 6 11C1 x D1M 2 x F 2l x12 x E1IF 2l xF22 x2FEI x 2l 2dx 2EIC 2 dx2x 2l 2 C2F x 2l6EI3C2 x D

30、2由邊界條件確定積分常數：當 x 0 時， 1 1 0 ，所以：1 0 1 F 2l1 EI 21 2 1C12Fl 21 EI 61 01 F 2l 3 1 q l 4 D1 11EI 6 24 1 EI2 16q l 3 C12Fl 2 1ql3EI 6D1 1 4FlEI 3ql331343 ql 424當 x l 時， 1 2 1 2 有：4Fl 3 ql 43 24D1 01F1 l E1I F2 l 2l1F1 l l 2l1 EI 6EI 2Fl2 16ql311 3Fl2 1ql36l14Fl 3 ql415Fl 3 ql4l EI3 24EI68EI2l D2EI 2Fl 2

31、 16ql3EI 2Fl2 16ql32 l 2EIC22 l F l 2l 3 12 6EI所以： C2EI 2Fl 2 16ql3D2 EI4Fl 3 ql424當 x 2l 時， 2 2l 1EI 2Fl2 16ql31 4Fl 3lEI 3q2l448Fl3EI7ql 4 71ql42424EI即： B端的撓度值為71ql24EI9.20 E和 I z為常數，試用積分法求圖示梁C 截面的的撓度 wC。qC(a)(b)MeCB2a a題 9.20 圖解：（ a）如圖 a1所示，根據平衡條件，求出支座反力FRA 0,FRB 2aq,彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為AD段M1(x1) 0(

32、0 x1 a)EI 1 0EI 1 C1EI 1 C1x1 D112DB段M2(x2)q(x2 a)(a x22a)212EI 22 q(x2 a)213EI 2q( x2 a) C26EI 2 q( x2 a) C2 x2 D2242a x2 3a)12BC段M 3(x3 )q(x3 a)2 2aq ( x3 2a)212EI 3q( x3 a)2 2aq(x3 2a)21 3 2EI 3q( x3 a)3 aq(x3 2a)2 C36EI 3243 q(x3 2a) C3x3 D3由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數：x1x10,x1 0 ，得x2 a, 12 ,得x2 a, 1 2 , 得

33、D1 0C1 C2aC1 aC2 D2x2142a, 2 0, 得a4q 2aC2 D2 02 24 2 2x31 3 1 3x2 2a, 32, 得a q C2a q C366x32a, 3 0, 得1 a 4q 2aC3 D3 024聯(lián)立上面式子有 C1 C2C3 1 qa3, D1 D2 D3 0各段撓曲線方程和轉角方程為qa3 x11( x1) 48EI42(x2) E1I q(x224a) 418qx2a324433(x3) 1 q(x3 a)4 q(x3 2a)3 1 3 3 3 EI2448qx3a 1(x1) 1(x1) 481EI qa32(x2 )2(x2)1EIq( x2

34、 a)36418 qa3481q( x3 a )2 1 33( x3)3(x3) 3q(x3 2a) qa EI 6 4813 端截面轉角 A 1(x1) x 0qa 3A 1 1 x1 0 48EI13 4C處撓度C3 (x3) x3 3aqa3 48 EIb)如下圖所示，以 A 為原點建立相應的坐標系。對該結構進行受力分析，易得：MeFAye M A 2Ma 撓曲線微分方程及其積分：1)當 0 x 2a 時，有： M 1 x M e x 2M e a積分兩次，得：積分兩次，得： 1 x1 xE1I ( M2a1EI 2ae x2當 2a x 3a 時，有：Meea3M2 x EI2 xE1

35、I 3MMee x 2M e aEI2M ex) C1xdxMe1 3MEIex 2a x2 C2dx E1I (M2ae x2 2Mex) C11MxEI 6 ae 3 2 e xM exC1x D1M e x 2a 3M e aex 2ae xC2Mexax 1 3 M ex2 Me 3 EI 2 e6a x C2x D2由邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數：當 x 0 時， 1 0 有： C1 D1 028Mea2截面 C 處的撓度值為28M eaEI9.21 E 和 I z為常數，試用積分法求圖示梁C截面的的撓度 wC和 A截面的轉角 A 。(a) (b)題 9.21 圖 解：(a)如下

36、圖所示，以 A 為坐標原點建立相應的坐標系：Ba該結構的等效受力圖形為：如上圖所示，根據平衡條件，求出支座反力FRA qa, FRB qa,M B2qa彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為1)AC段M1(x) qax 1qx220x 2a)積分兩次得：C1112qx4 C1x D122)CB段 M 2 x qa x 2a 2qa2 qax (2ax3a)當 x 2a時， 1 2a EI 6a 2a Me 2a EI積分兩次得：2 M2 x dx2qa2 qaxdx 1 2qa2x 1qax2 C22 EI EI EI 2 22E1I 2qax 21 qax22213dx 1 qa x EIqax

37、6C2x D2由邊界條件，得：當 x=0 時， 1 0 ，有： D1 021當 x=3a 時， 2 2 0 ，即：2qa2 3a 1qa 3a C2 0 EI 2 2EI qa 3a 6qa 3aC2x D2 0解得：C23qa32EID2 0當 x=2a 時，21EI qa2 2a 16qa 2a3qa3 2a qa42EI 3EI1 1 31 E1I 16qa 2a214q 2a 4 2aC1 23qEaI 2aC13解得： C12qEaI所以：3qa2EI4qa3EI(b) 如下圖所示，以 A 為坐標原點建立相應的坐標系：F= 2qaBx該結構的等效受力圖形為：F=2qa對上面結構進行受

38、力分析，易得：2 FAy qa FBy 3qa M B 4qa彎矩方程，撓曲線微分方程及其積分為：1)AD段 0 x a 時，有：M1 x qax121 x qax C11 2EI 1131 x qaxC1x D16EI2)DC段 a x 2a 時，有：2M 2 x qax 2qa x a 2qa qax2 2 1 x qa xEI1 2 22 x qa x2 EIqax2 C22EI13 qax3 C2x D2 6EI 2 23) CB段 2a x 4a 時，有：12M3 x qa x 2a q x 2a1 2 1 33 x qa x 2a 2 q x 2a 3 C33 2EI 6EI 31

39、 3 1 43 x qa x 2a q x 2aC3x D33 6EI 24EI 3 3由邊界條件確定積分常數(1) A 點x 0 時，有：1 D1 02)D點x a 時，有：1 qa3 C12EI 16EI4qaaC1313qa32qa3qa3 C2EI 2qa 2qaC2 2EI4 1 4 qa qa EI 6aC2 D2C25 qa4 aC2 D26EI 2 2所以有：3)B點C3D34)C點1 qa3 C1 3qa32EI 1 2EI3qaC1 C2 EI1 qa4 aC1 56EI 1 6EIC2qa4 aC2 D2a C1 C2 D2 3EIx 4a 時，有： 3 3 0EI 12

40、qa 4a2 61q 8a310qa33EI解得： D 24qa3EI2 qa4C3 01 3 1 4qa 2a q 2a4aC3 D3 06EI 24EI 3 334qa43EIx 2a 時，有： 3 23 2aC3 D314qa4C2C11 qa2 2a 2EI23qa36EIC2qa3當 x 0 時，有：1 C13EI13 qa 2 a2aC22 3EI4qa6EI17qa36EI17qa36EI即：梁 C截面的的撓度 wC和 A截面的轉角 A 分別為：14qa4和3EI17qa36EIA、 B及 wA、 wD。9.22 E和 I z為常數，試用疊加法求圖示外伸梁的ABF= qaDCa

41、a a題 9.22 圖解：設想沿截面 B 將外伸梁分成兩部分， AB部分為懸臂梁， BC部分為簡支梁，如下圖所示：F=qaq232EI 2EI參照梁在簡單荷載作用下的變形表得：34FlqlA13EI3EIB2故：33 q(2 a)qa24EI3EIqa2 2a32qa3EI3EI5q (2a )45qa4D1D1 384EI 24EI qa2 (2a)24qa4D29 3EI 9 3EIA1 A 2 A1 B1 B2B1 B 2qa3EI所以有：A A1 A2 2qaA A1 A 2 3EI4A21A2A2 2B a3qEa I4D1D24qa49 3EI5qa36EIz5qa424EI解畢。

42、9.23 E 和 I z 為常數，試用疊加法求圖示外伸梁中點的撓度wC。題 9.23 圖解：題中 BD段的受力可以等效為：F=qaF=qa2其中： M1 qaM 2 qa22參照梁在簡單荷載作用下的變形表得：由 M1引起的 C 處的撓度為：由 M2引起的 C 處的撓度為：c1c2M1l9 3EIM 2l9 3EI所以， C 處的總撓度值為： c c1 c2(M1 M 2) l29 3EI2(q2a qa2) (2 a)29 3EI2qa43 3EI9.24 如圖所示為一變截面懸臂梁，受到集中載荷F 的作用，抗彎剛度分別為 EI z 和 2EIz試求自由端 A 處截面的轉角和撓度。題 9.24

43、圖解：將兩段分別剛化，如圖（ a）（ b）（ c）所示：FBFl(b)(c)參照梁在簡單荷載作用下的變形表得：FlFlFl2EIFl3EI4EI2EIFl32lFl3Fl 2 l5Fl36EIz6EIz4EIz l12EIzFl3lFl3Fl22Fl36EIz3l6EIzl2EIz3EIzz和撓度 分別為：2截面 A 處的轉角125Fl4EI3Fl2EIE為常數，Iz1試用疊加法計算圖示各階梯形梁的最大撓度。設慣性矩a）Iz2 2Iz1 。aaaaIz1Iz2Iz2Iz1CD（b）題 9.25 圖解：（a）顯然，最大撓度在懸臂梁的端部取得。與習題 9.24 的解法相同，其中Iz1 Iz，Iz2

44、 2Iz以及 a l ，端部的最大撓度為：max3Fl32EIzb）由于梁的受力與支座形式對稱于中截面段的變形，與下圖所示懸臂梁的變形相同C ，梁的撓曲線也對稱于該截面，其右半B 端的變形由以下三部分構成：3D Fa2 B3參照梁在簡單荷載下變形表，易得：F2F2a2Fa2a2Fa312EI z14EIz111 3EI z16EIz1F22a2Fa2Fa322a5Fa32EI z28EI z12 12EIz124EIz1Faa23332Fa 23Fa33a3FaEIz24EI z18EIz18EI z11233Fa34EIz1所以，中截面處得撓度值為：3Fa34EIz19.26 圖（a）所示簡支梁， 中段承受均布載荷 q作用，試用疊加法計算梁跨中點橫截面 C 的 撓度 wC 。設彎曲剛度 EI 為常數。（提示：由于梁的受力與支座形式對稱于截面 C ，梁的撓曲線也對稱于該截面，其右半段的變形，與圖（b）所示懸臂梁的變形相同）(a)解：由提示可知，b）圖中端部 B 的位移等于（ a）圖中點 C點的撓度。qwBqb查梁在簡單荷載作用下的變形表可得：qb ( a b)33EIqb36EI8qEbIaqb4 qb3 a8EI 6 EIqb 4 qb 3 a8 EI 6EI易得：截面 B 處的撓度值為 1 2 qb （a b）1