二次函數與特殊四邊形存在性問題

1、222探究特殊二次函數四邊形存在性問題1如圖，拋物線 yx 2x3 經過點 a （2，3），與 x 軸負半軸交于點 b，與 y 軸交于點 c，且 oc3ob.(1) 求點 b，c 的坐標；(2) 若點 d 在 y 軸上，且bdobac，求點 d 的坐標；(3) 若點 m 為拋物線上一點，點 n 在拋物線的對稱軸上，是否存在以點 a、b、m、n 為頂點的四邊形是 平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點 m 的坐標，若不存在，請說明理由第 1 題圖解：(1)令 x0 得 y3，c(0，3)，oc3，oc3ob，ob1，b(1，0)，把 a(2，3)，b(1，0)分別代入 yax bx3 得： a

2、b30 a1 ，解得 ，4a2b33 b2拋物線的解析式為 yx2x3；(2)如解圖，過點 b 作 be ac，交 ac 延長線于點 e.第 1 題解圖c(0，3)，a(2，3)， acx 軸，be3， 1 22222又ob1，ae3，aebe，bae45，bdobac45， obod，d 點的坐標為(0，1)或(0，1)， (3)存在如解圖.第 2 題解圖當 abmn 時，由 abmn3 2，可知點 m 與對稱軸的距離為 3，由 yx 線 x1，2x3 可得對稱軸為直點 m 的橫坐標為 4 或2，把 x4 和2 分別代入 yx 2x3 可得點 m 坐標， 把 x2 代入 yx 2x3 得 y

3、4435，m (2，5)1把 x4 代入 yx2x3 得 y16835，m (4，5)，2當 mn 與 ab 互相平分時，四邊形 ambn 是平行四邊形，由 acbn2，可知點 m 與點 c 重合， 點 m 坐標為(0，3)，3m 的坐標為(2，5)或(0，3)或(4，5)2如圖，拋物線頂點 p(1，4)，與 y 軸交于點 c(0，3)，與 x 軸交于點 a，b.(1) 求拋物線的解析式；(2) q 是拋物線上除點 p 外一點，bcq 與bcp 的面積相等，求點 q 的坐標；(3) 若 m，n 為拋物線上兩個動點，分別過點 m，n 作直線 bc 的垂線段，垂足分別為 d，e，是否存在 點 m，

4、n 使四邊形 mned 為正方形？如果存在，求正方形 mned 的邊長；如果不存在，請說明理由第 2 題圖解：(1)設拋物線解析式為：ya(x1) 4(a0) 拋物線過點 c(0，3)，a43，a1. 2 22221 22y(x1) 4x 2x3；(2)由(1)得，拋物線的解析式為 yx 2x3，令 y0，解得 x 1，x 3，1 2a (1，0)，b (3，0)，c (0，3)，直線 bc 的解析式為 yx3，s s ，bcp bcq點 p 、q 到 bc 的距離相等當點 p 、q 位于 bc 的同側時，如解圖，過點 p 作 pq bc 交拋物線于 q ， 又p (1，4)，直線 pq 的解

5、析式為 yx5，聯(lián)立yx5， yx 2x3.x 1 x 2 解得 (舍去)， ，y 4 y 31 2q (2，3)1第 2 題解圖當點 p 、q 位于 bc 的異側時，設拋物線的對稱軸交 bc 于點 g ，交 x 軸于點 h ，g (1，2)， 此時點 p 、h 到 bc 的距離相等，h (1，0)，pg gh 2，如解圖，過點 h 作 q q bc 交拋物線于點 q ，q .2 3 2 3直線 q q 的解析式為2 3yx1，聯(lián)立yx1，yx 2x3.3 17 3 17x x 1 2 2 2解得 ， ，1 17 1 17y y1 2 2 23 17 1 17 3 17 1 17 q ( ，

6、)，q ( ， )2 2 2 3 2 2 3 222222222222 223 17 1 17 3 17 1 17綜上所述，滿足條件的點 q 的坐標為(2，3)或( ， )或( ， )；2 2 2 2第 2 題解圖(3)存在滿足條件的 m，n.如解圖，過點 m 作 mfy 軸，過點 n 作 nfx 軸交 mf 于點 f，過點 n 作 nhy 軸交 bc 于點 h. 則mnf 與neh 都是等腰直角三角形設 m(x ，y )，n(x ，y )，直線 mn 的解析式為 yxb.1 1 2 2yxb，yx2x3，x 3x(b3)0.nf |x x | (x x ) 4x x 214b.1 2 1 2 1 2mnf 為等腰直角三角形，mn 2nf 428b.直線 mn 與 y 軸交點(0，b)到點 c(0，3)的距離為|b3|，nh(b3)，ne22nh，1ne (b3) .2如果四邊形 mned