(完整版)洛必達法則詳述與其在高考中的實際運用

1、( ) ( )o)o= a= ao()o= a= ax a x a00 00 0 0一lhospital 法則（洛必達法則）法則 1 設(shè)函數(shù)lim(1)f x 和 g x 在點 a 的某個去心鄰域u f ()x= 0 及 lim g ()x= 0；(a,d內(nèi)有定義，且滿足：x a x a(2)f (x )和 g (x )在 u (a, d )內(nèi)可導(dǎo)，且 g (x )0；(3)limx af ()x g (x)（a 為常數(shù)，或為）則有 limx af (x)g (x)=limx af (x) g (x)。法則 2 設(shè)函數(shù)f (x )和 g (x )在點 a 的某個去心鄰域u(a, d )內(nèi)有定義

2、，且滿足：(1)(2)lim g x =；x af (x )和 g (x )在 u (a, d )內(nèi)可導(dǎo),且g (x )0；(3)limx af ()x g (x)（a 為常數(shù)，或為）則有 limx af (x)g (x)=limx af (x) g (x)利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：1.將上面公式中的 xa，x換成 x+，x-， + ， - 2.洛必達法則可處理 ， ， 0 ，1 ， ， ， -型。0 洛必達法則也成立。0 3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足 ， ，0 0 ，1 ， ， 0， -型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件

3、時，就不能用洛必達法則，這 時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。11)e2+)+0 型： lim x ln x = limx0 + x 0 +ln x (化為 型)x1=limx 0 +x10(化為 型，但無法求解) 0ln x-型：lim (tan x - sec x px2)=sin x - 1 cos x lim = limp cos x p - sin x x x 2 20=0(通分后化為 型)01型：lim (cos xx 0x 2 =elncos xlim lim x0 x = x0- sin x cos x2x =

4、e-11 (化為00型)0型：lim xx+ sin1x=e1lim sin ln x x + x =elimx + ln xx =elimx + 1x=1(化為型)0 0型：lim xx 0 +sin x=eln xlimx0+ csc x elimx01x(- csc x cot x=elim -x0sin xxtan x=1(化為型)變形舉例:limx - x1 + x2=limx - -11 +1x 2=-1(不變形求導(dǎo)無法求出)-1 -x ， f ( x) =e()x()二高考題處理1.(2010 年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù) f ( x) =ex -1 -x -ax 2。（1） 若a =

5、0，求f ( x )的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當(dāng)x 0時f ( x) 0，求a的取值范圍原解：（1）a =0時， f ( x )=ex x-1.當(dāng)x ( -,0) 時， f ( x) 0 .故 f ( x) 在 ( -,0)單調(diào)減，在(0, +)單調(diào)增（ii） f ( x )=ex-1-2 ax由（i）知ex1 +x，當(dāng)且僅當(dāng)x =0時等號成立.故f ( x) x -2 ax =(1-2 a ) x，從而當(dāng)1 -2a 0，即 a 12時，f ( x) 0 ( x 0)，而f (0) =0，于是當(dāng) x 0 時， f ( x ) 0.由 ex1 +x ( x 0)可得e-x1 -x ( x 0).從而

6、當(dāng)a 12時，f ( x) e x -1 +2 a ( e -x -1) =e -x ( e x -1)(e x -2 a )，故當(dāng)x (0,ln 2a )時，f ( x ) 0，而f (0) =0，于是當(dāng)x (0,ln 2a )時，f ( x) 0時，f ( x) 0等價于 a ex-x -1x 2令 g x =ex-x -1x 2(x0),則g(x) =xe -2e xx3+x +2，令 h x =xex-2ex+x +2 (x0)，()1 h (x)=xe+，+則 hx =xex-ex x0，知h(x)在(0,+)上為增函數(shù)，h(x)h(0)=0；知h (x)在(0,+)上為增函數(shù)，h (x)h(0)=0； g(x)0，