三角形四心與向量

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔三角形的四心與平面向量總結(jié)三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1. O 是 ABC 的重心= OA OB 0C 二 0；1十若 o 是 ABC 的重心，則 S.BOC =S.AOC 二s.AOB =3Sabc 故 OA OB OC=6； P 1（ PA - PB 亠 PC）:二 G 為-ABC 的重心.2. o 是也ABC 的垂心= OA，OB =OB OC =OC OA ；若o是AABC（非直角三角形）的垂心，則Soc : S雪oc ： S辱ob = tan A : tan B: tanCVf故 tan AOA tan BOB tan COC = 0op2223. o是也A

2、BC的外心= |OA |=|OB |=|OC |（或OA =OB =OC）若 o 是 ABC 的外心則 SboC S aoc： S Aosin BOCsin AOCsin AOB=sir2A:sin2B:sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 00（ A） =0B ,（ ）=0C ,（ ）= o4. o 是內(nèi)心 ABC 的充要條件是|AB | AC|BA | |BC |CA | | CB |引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記 AB,BC,CA的單位向量為ei,e2，e3，則剛才o是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成0A （ei *e3）= 0B 2 +。2）= 0C （

3、e2 *e3）= 0 ，o是心ABC內(nèi)心的充要條件也可以是i!1#OA sinBOB sinCOC 二 0；aOA bOB cOC = 0 。若 o 是二 ABC 的內(nèi)心，則 s boc : S . aoc : S aob = a: b: c故_aOA bOB 二。匸 0或sinA| AB | PJJ BC 丄學(xué) |CA | PB = 6二 P 是 ABC 的內(nèi)心；向量1（ AB AC ）C. - 0）所在直線過lABC的內(nèi)心（是一 BAC的角平分線所在直 |AB| |AC |線）；范例（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查AB ac例1. o是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，

4、 動(dòng)點(diǎn)P滿足OP = OA+h（ + ），九 0,Xc ）則aB | aC|，P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的（ ）（A）夕卜心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心AB解析：因?yàn)槭窍蛄縷ab|AB的單位向量設(shè)AB與AC方向上的單位向量分別為又OP - OA = AP，則原式可化為AP = （e, e2），由菱形的基本性質(zhì)知 ap平分/ BAC，那么在 ABC 中，ap平分乙BAC，則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2 . H是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HB =HB HC =HC HA U 點(diǎn)H是厶ABC的垂心.由 HA HB =HB HC = HB （HC -HA） =0

5、= HB AC =0= HB _ AC ,同理HC _AB，HA _ BC .故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略）實(shí)用文案例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PA = PB = PC PA，則P是厶ABC的（D ） A .外心B .內(nèi)心C .重心D.垂心解析:由 PA 卩B = PB PC得 PA PB PB PC = 0 .即 PB （PA_ PC） =0,即卩PB CA = 0 則PB _ CA,同理PA _ BC, PC _ AB 所以P為:ABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， GA GB GC = 0：

6、二證明 作圖如右，圖中 GBGC =GE連結(jié)BE和CE，貝U CE=GB，BE=GC u BGCE為平行四邊形的中線.將 GB GC =GE 代入 GA GB GC =0，得GA - EG =0= GA - E - -2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（證略）1例5. P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是厶ABC的重心3證明 PG =PA AG =PB BG =PC C - 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC）/ G 是厶 ABC 的重心 / GA GB GC = 0= AG BG CG = 0，即 3PG = PA PB PC一 1 一 一 一由此可得PG （PA PB

7、PC）.（反之亦然（證略）3實(shí)用文案為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，OA OB OC0C = 0，則 0 是 ABC 的(A .內(nèi)心B .夕卜心C .垂心D.重心解析：由0aOB OC=0得忒OC-0A，如圖以O(shè)B 0C為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則OB - _-一-一T 1 T平行四邊形性質(zhì)知 OE = OD，OA =2 OE（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選OA=OB = OC，則 0 是 ABC 的（A .內(nèi)心B .外心C.垂心D .重心解析：由向量模的定義知 0到 ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故 0是 ABC的外心，選B。（五）將平面

8、向量與三角形四心結(jié)合考查例8求證證明已知向量 OR，OP2，OP3 滿足條件 OR +OP2 +OP3 =0，|OP1 |=|OP2 |=|OP3 |=1， P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五 B組第6題）12，由已知0P1 +0P2 =-0P3，兩邊平方得 0P1 0P2一 一.一 一1同理0P2 OP3 = OP3 0P1 = -一2/ |RP2|=|P2P3|=|P3P-1|=、一3，從而P1P2P3 是正三角形.反之，若點(diǎn)0是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有 OR +0P2 +0P3 =0且|0P1 |=|0P2 |=|0P3 |. 即0是厶ABC所在平面內(nèi)

9、一點(diǎn)，0卩1 + OP? + OP3 =0 且 | OP1 |=| OP? |=| OP3 |例9.在 ABC中，已知【證明】：以A為原點(diǎn)，為AB BC AC的中點(diǎn)，則有：D (斗0)、2 2!x1 x2 y2*點(diǎn)O是正 P1P2P3的中心.Q、G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。y)、F(X_2,2) 由題設(shè)可設(shè) Q(1, y 3)2 2 2 221 y2 y3)G (七,嚴(yán))；AH =(X2,y4),QF =(33222Q G H三點(diǎn)共線，且 QG:GH=12A(0,0)、B (X1,0 )、C(X2,y 2)，D E、F 分別gm)

10、,BC 許2 -Xi，y2）7aH _ BC.AH *BC =x2（x2 _xj y2y4 =0X2（x2Xi）y4 :-T I y2；QF _ACy2、2 %）ry yQF *AC X2（22）y2（X2（X2 Xi）嚴(yán) 2 ya :2 y 2 2Xi （ 2X2 _Xi-QH二代亍丫厶丫彳）（ 2 1-03X2（X2-Xi） Y2）2）X 2 x1 QG珂丁2y2-ya）（ 2x2 一xi y2 X2（X2 -xi） y22y22)2x2 -Xr3x2（x2-xj y2、1 2x2-xr6y23X2（X2 -Xi） y2、2y2 T）= 1qh3即QH =3QG，故Q G H三點(diǎn)共線，且Q

11、G GH=i：例10.若O、H分別是 ABC的外心和垂心.求證OH =OA OB OC .證明 若厶ABC的垂心為H，外心為O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于 D,連結(jié)AD，CD.二 AD _AB，CD _BC .又垂心為 H，AH _ BC，CH _ AB， / AH / CD，CH / AD，二四邊形AHCD為平行四邊形，AH 二 DC =DO OC，故 OH =OA AH =oA OB OC . 著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心(1) 三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線；(2) 三角形的重心在“歐拉線上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)， 心的距離是重心

12、到外心距離的 2倍?！皻W拉定理的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題例11. 設(shè)O、G、H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.的位置關(guān)系:即重心到垂證明按重心定理G是厶ABC的重心:二 1 -OG （OA OB OC）3按垂心定理 OH =OA OB OC1 由此可得 OG OH .3補(bǔ)充練習(xí) 1 求證 OG OH31.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)， O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足 一 1 1 一 1 一 一OP =( OA + OB+2OC),則點(diǎn)p 一定為三角形abc的3 22A.AB邊中線的中點(diǎn)C.重心B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)D.AB邊的中點(diǎn)一 .一 一 1

13、 1 -1. b取 ab邊的中點(diǎn) m,則OA OB = 2OM，由 OP = （ OA32+OB+2OC）可得3OP = 3OIM 2MC，2二 MP =2MC3，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，故選B._ABC及一點(diǎn)o滿足關(guān)系式： 0A2 += 0B2 + CA2 :0C2 + AB2 ，則o為:ABC的(D)A外心B內(nèi)心C重心D垂心2 .已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)(C)A外心B內(nèi)心C重心D垂心2.在同一個(gè)平面上有一點(diǎn)P滿足：B P C0 ，貝U P 為 ABC 的3.已知O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),OP =OA （AB

14、- AC），則P的軌跡一定通過厶ABC的A 外心B 內(nèi)心 C重心 D 垂心的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn) P滿足:動(dòng)點(diǎn)滿足:4.已知 _ABC，P為三角形所在平面上PA PCA 外心亠PA * PB亠PB * PC = 0 ,則P點(diǎn)為三角形的B內(nèi)心 C 重心D 垂心5 .已知 (AB外心ABC，)P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足:PA b PBcPC，貝U P點(diǎn)為三角形的內(nèi)心重心D 垂心在三B ） 外心ABC2滿足：CA2 -2AB *CP，則U P點(diǎn)軌跡一定通過厶ABC的：內(nèi)心重心垂心tAB AC7.已知非零向量 AB與AC滿足（學(xué) +牛 |AB| |AC|A.三邊均不相等的三角形_. B.直角三角

15、形TAB AC)t ABBC=0 且=|AB|C.等腰非等邊三角形AC|AC|,則厶ABC為（）D.等邊三角形解析：非零向量與滿足（）=0，即角A的平分線垂直于|AB| |AC|所以 ABC為等邊三角形，選 D .BC，/ AB=AC，又 CS8. ABC的外接圓的圓心為o,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 h, OH =m（0A - OB - OC），則實(shí)數(shù)m =_j9.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 OA OB =OB OC =OC OA，則點(diǎn)0是二ABC的（B）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)(A)(C)1,已知點(diǎn)G是 ABC的重心，過

16、G作直線與AB, AC兩邊分別交于 M N兩點(diǎn)，且1 1，則3。x y證點(diǎn)G是 ABC的重心，知GA -得 _AG （AB AG）（AC AG）3于是存在,，使得AG二，AMAN（且1）,有 AG 二 xAByAC =10.如圖AN =yAC gC = o,=O,有AG二1 （AB - AC）。又M, N G三點(diǎn)共線（A不在直線MN上），= 1(AB AC)，3- - -1 1 1得1，于是得3。x =x yI3例講三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)目標(biāo)：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2 、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì)3 、利用向量處理三角形中與向量有關(guān)的問題4 、數(shù)形

17、結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)：靈活應(yīng)用向量性質(zhì)處理三角形中與有關(guān)向量的問題教學(xué)難點(diǎn)：針對(duì)性地運(yùn)用向量性質(zhì)來(lái)處理三角形中與向量有關(guān)的問題 教學(xué)過程：1、課前練習(xí)21.1已知0是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若 0A A、重心B 、垂心 C2 2=OB 0C、外心 D則0是厶ABC的、內(nèi)心1.2在厶ABC中，有命題AB _ AC=BC : AB BC CA = 0 ；若 AB AC AB _ AC 0，則 abc為等腰三角形；若 AB AC . 0 ,則厶abc為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B 、 C 、 D、2、知識(shí)回顧2.1 三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2.2 向量的有關(guān)性質(zhì)2.3上述兩

18、者間的關(guān)聯(lián)3、利用向量基本概念解與三角形有關(guān)的向量問題f_tttAB AC *abAC1例1、已知 ABC中，有 + BC = 0和*=-,試判斷 ABC的形狀。但剛|AB| |ac| 2練習(xí)1、已知 ABC中, AB = a，BC =b，b是厶abc中的最大角，若 a： 0，試判斷厶abc的形狀4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題2 例2、已知0是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足0A + BC2 + AC| AB ，則0是厶ABC的5、A、重心B 、垂心C 、外心 D內(nèi)心運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、已知P是厶ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足0P = 0A

19、AB AC三0,=，則動(dòng)點(diǎn)p 一定過ABACABC 的A、重心B 、垂心、外心 D 、內(nèi)心練習(xí)2、已知0為平面內(nèi)一點(diǎn),B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 0P =0A ，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的A、重心 B 、垂心 C、外心 D 、內(nèi)心例4、已知0是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABC的A、重心B 、垂心 C 、P 滿足 OP =OA 外心 D 、內(nèi)心練習(xí)3、已知0是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),ABAB cosB+ ACAC cosC -0,，則動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) P滿足0P二心C2ABAB cosBACAC cosC則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABC的標(biāo)準(zhǔn)文檔A、重心 B 、垂心 C 、外心

20、 D 、內(nèi)心 一 一 一 11例5、已知點(diǎn)G是的重心，過G作直線與ABAC分別相交于 MN兩點(diǎn)，且AM xAB, AN二yAC，求證：3x y6、小結(jié)處理與三角形有關(guān)的向量問題時(shí)，要允分注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，關(guān)注向量等式中的實(shí)數(shù)互化，合理地將向量等式和圖形進(jìn)行轉(zhuǎn) 化是處理這類問題的關(guān)鍵。7、作業(yè)1、已知0是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若A、重心B 、垂心Oa Ob OC 二 0，則C、外心 D0是厶ABC的、內(nèi)心若厶ABC的外接圓的圓心為 0,1半徑為1，且 0A 0B 0C = 0，則 0A 0B 等于1已知0是厶ABC所在平面上的一點(diǎn),ABCWC A、重心B 、垂心 1A、B、C、所對(duì)的過分別是a、外

21、心D 、內(nèi)心4、已知P是 ABC所在平面內(nèi)與A、重心B 、垂心A不重合的一點(diǎn),C、夕卜心滿足 AB ACD 、內(nèi)心2b、c 若 a * 0A - b * 0B c *0C = 0，則 0是厶= 3AP，則P是厶ABC的實(shí)用文案求證： ABC為正三角5 、平面上的三個(gè)向量 OA、OB、OC 滿足 OA +0B +0C = 0 , 0A = OB = 0C = 1，形。6、在厶ABC中，0為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 AMk2,求0A (0B 0C)三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量”(必修4第二章)的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)

22、合來(lái)研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的 思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量 表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問題，最 后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。 既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會(huì)了向量帶來(lái)的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感。重心”的向量風(fēng)采【命題1】 已知G是 ABC所在平面上的一點(diǎn)，若GAGB GC = 0 ,則G是 AB

23、C的重心如圖O圖圖【命題】 _已知0是平面上一定點(diǎn)，a b, c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足OP =0A(AB JC), (0,：)，則P的軌跡一定通過 ABC的重心【解析】由題意AP =：L(AB AC)，當(dāng)(0,：)時(shí)，由于 (AB AC)表示BC邊上的中線所在直線的標(biāo)準(zhǔn)文檔向量，所以動(dòng)點(diǎn) P的軌跡一定通過 ABC的重心，如圖二、垂心”的向量風(fēng)采【命題3】【解析】+ + + * +是_ABC所在平面上一點(diǎn)，若_PA PPB PPC_PA，貝V P是ABC的垂心.PB PC，得PB ( PA_ PC) =0, 即卩 PB .CA = 0，所以 PB 丄 CA 同理可證PC 丄 AB ,P是由 PA PBPA丄BC P是厶ABC的垂心如圖.kB圖【命題4】 已知0是平面上一定點(diǎn)，A個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，八三（0, :），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過O OA + tacA Cc o sC ABC的垂心.【解析】由題意AP二，AB cos BAB BCAB cos BAC BCAC cosCAC cosCA