A20004021中南大學(xué)朱雙廳郭帥成王再興解讀

1、2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反 競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D中選擇一項填寫）：A我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)

2、置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜褐心洗髮W(xué)參賽隊員（打印并簽名）：1.朱雙廳2. 王再興3. 郭帥成指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：劉心歌日期：2009 年 9 月 13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：制動器試驗臺的控制方法分析摘要本文通過深入分析瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩等可觀測量，解決了制動器試驗臺的控制方法問題，提出了相應(yīng)的控制方法

3、。針對問題一，根據(jù)等效轉(zhuǎn)動慣量的定義，建立了等效轉(zhuǎn)動慣量模型，即：模r2，進(jìn)而型一，利用車的動能與等效轉(zhuǎn)動動能相等，求得等效轉(zhuǎn)動慣量 求得等效的轉(zhuǎn)動慣量約為52 kg.m2針對問題二，根據(jù)題目提供的飛輪的直徑，厚度和密度，利用轉(zhuǎn)動慣量的定義，建立模型二，給出了飛輪的轉(zhuǎn)動慣量計算公式 J =1/2 T R4 - r4 D，得出三個飛輪的慣量分別為：30 kg.m2， 60 kg.m2， 120kg.m2 ;由于基礎(chǔ)慣量為10kg.m2，因此機(jī)械慣量有23 =8種組合，分別為為：10，40，70，130，100， 160，190，220。有兩個補(bǔ)償值符合要求，故電動機(jī)2個補(bǔ)償轉(zhuǎn)動慣量為52-40=

4、12 kg m2 和 52-70=-18 kg m2。針對問題三，本文建立驅(qū)動電流關(guān)系模型（模型三），得到驅(qū)動電流與可觀測量 角速度和扭矩的三個關(guān)系式：I =1.5*（ J等一 J機(jī)）dw ， dtI =1.5*（ L J等，I =1.5* J等-J機(jī)L。根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，可求dtJ等J機(jī)得驅(qū)動電流為：174.78A和- 262.17A。針對問題四，本文從能量誤差的大小進(jìn)行評價。求得能量差的表達(dá)式為： E=1/2*（3-匹*丄）*w 2，根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，算出整個過程的能量差的相對35 P誤差為5.6%，并畫出能量差隨時間變化曲線，路測和試驗臺測試時的能量曲線。 評定結(jié)果為整個過程總體考慮

5、路測能量在消耗上大致符合試驗臺檢測的能量消 耗，但起始時電流供應(yīng)不足，導(dǎo)致起始時的能量偏差較大。針對問題五，根據(jù)模型三得出電流的表達(dá)式為I =1.5*（ J等- J機(jī)廠其中二J/J機(jī)，首先測出制動器扭矩L1與時間t的關(guān)系式。由此可得到電流I與時 間t的關(guān)系式，測得上一個點的 L與w便可求得那個點的電流，由此可知那個 時間點t1，將（t1+0.01）代入I的關(guān)系式中，便可求得下一個時間點的電流。但 這個方法要求所有過程沒有誤差，因此抗干擾能力差。冋題六是對冋題五的一個補(bǔ)充，為了解決抗干擾能力差的冋題，在冋題六中 提出了模型六。由于種種因素的影響，使臺試系統(tǒng)的能量與路試時有偏差， 模型 六就是在下

6、一個時間點補(bǔ)償或減少上一個時間點損失或獲得的能量，可得下一2 p時間段應(yīng)施加控制電流大小為I ( t+0.01) I ( t+0.01) (la -*) Wa b a關(guān)鍵字：等效慣量電流關(guān)系模型抗干擾電流補(bǔ)償模型問題重述1.1 問題背景汽車的行車制動器 （以下簡稱制動器） 聯(lián)接在車輪上， 它的作用是在行駛時 使車輛減速或者停止。 制動器的設(shè)計是車輛設(shè)計中最重要的環(huán)節(jié)之一， 直接影響 著人身和車輛的安全。 為了檢驗設(shè)計的優(yōu)劣， 必須進(jìn)行相應(yīng)的測試。 在道路上測 試實際車輛制動器的過程稱為路試， 其方法為：車輛在指定路面上加速到指定的 速度；斷開發(fā)動機(jī)的輸出，讓車輛依慣性繼續(xù)運(yùn)動；以恒定的力踏下制

7、動踏板， 使車輛完全停止下來或車速降到某數(shù)值以下； 在這一過程中， 檢測制動減速度等 指標(biāo)。為了檢測制動器的綜合性能， 需要在各種不同情況下進(jìn)行大量路試。 但是， 車輛設(shè)計階段無法路試， 只能在專門的制動器試驗臺上對所設(shè)計的路試進(jìn)行模擬 試驗。慣量是制動器試驗臺中的重要試驗參數(shù),慣量模擬精度直接影響試驗結(jié)果的準(zhǔn)確度。 最直接的慣量模擬方法是機(jī)械模擬， 即在主軸上安裝慣性飛輪， 使其 慣量與車輛折算到輪邊的慣量一致， 通過電動機(jī)驅(qū)動旋轉(zhuǎn)來模擬汽車行駛動能。 ， 但是機(jī)械慣量必然存在級差， 不能精確地用機(jī)械慣量模擬試驗， 本文考慮用一種 慣量模擬的能量補(bǔ)償法，通過控制電動機(jī)輸出功率來補(bǔ)償帶模擬慣量

8、儲存的動 能，從而實現(xiàn)慣量的模擬。1.2 相關(guān)信息等效的轉(zhuǎn)動慣量是指車輪承受的載荷在車輛平動時具有的能量 （忽略車輪自 身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效折算到試驗臺上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的能量， 與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量；試驗臺上的主軸等不可拆卸機(jī)構(gòu)的慣量稱為基礎(chǔ)慣 量；飛輪組由若干個飛輪組成， 使用時根據(jù)需要選擇幾個飛輪固定到主軸上， 這 些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機(jī)械慣量。 一般假設(shè)試驗臺采用的電動機(jī) 的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（本題中比例系數(shù)取為1.5 A/N - m ；且試驗臺工作時主軸的瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩是可觀測的離散量。工程實際中常用的計算機(jī)控制方法是： 把整個制動時間離散化

9、為許多小的時 間段，比如 10 ms 為一段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與 /或瞬時扭 矩，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，這個過程逐次進(jìn)行，直至完成制動。評價控制 方法優(yōu)劣的指標(biāo)是能量誤差， 指所設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制 動器在制動過程中消耗的能量之差。1.3 需要解決的問題（1）設(shè)車輛單個前輪的滾動半徑為 0.286 m,制動時承受的載荷為6230 N，求 等效的轉(zhuǎn)動慣量。（2）飛輪組由3個外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m 0.1568 m,鋼材密度為 7810 kg/m3,基礎(chǔ)慣量為 10 kg m2, 問可

10、以組成哪些機(jī)械慣量？設(shè)電動機(jī)能補(bǔ)償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為-30,30 kg m2,對于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動慣量，需要用電動機(jī)補(bǔ)償多大的慣 量？（ 3）建立電動機(jī)驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動 5.0 秒后車速為零,計算驅(qū)動電流（4） 對于與所設(shè)計的路試等效的轉(zhuǎn)動慣量為 48 kg m2，機(jī)械慣量為35 kg m2, 主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時間步長為10 ms的情況， 用某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)見附表。請對該方法執(zhí)行的結(jié)果進(jìn)行評價。（5） 按照第3問導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一

11、個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與 / 或瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值的計算機(jī)控制方法， 并對該方法進(jìn)行評價。如 果有不足，請重新設(shè)計一個盡量完善的計算機(jī)控制方法，并作評價。問題分析2.1制動原理慣性電輪聖動電機(jī)圖2.1制動器試驗臺結(jié)構(gòu)示意圖模擬試驗的原則是試驗臺上制動器的制動過程與路試車輛上制動器的制動 過程盡可能一致。如圖2.1所示，制動器試驗臺一般由安裝了飛輪組的主軸、驅(qū) 動主軸旋轉(zhuǎn)的電動機(jī)、施加制動的制動器、底座以及測量和控制系統(tǒng)等組成。被 試驗的制動器安裝在主軸的一端，當(dāng)制動器工作時通過提供反向的扭矩使主軸減 速。試驗臺工作時，電動機(jī)拖動主軸和飛輪旋轉(zhuǎn)，達(dá)到與設(shè)定的車速相當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)速 后電動機(jī)斷

12、電同時通過提供扭矩做功補(bǔ)償轉(zhuǎn)動慣量，當(dāng)滿足設(shè)定的結(jié)束條件時就 稱為完成一次制動。（模擬實驗中，可認(rèn)為主軸的角速度與車輪的角速度始終一 致）2.2等效轉(zhuǎn)動慣量（模型一）分析等效轉(zhuǎn)動慣量從能量角度的定義，車輪承受的載荷在車輛平動時具有的 能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效折算到試驗臺上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn) 動時具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量，已知車輪的半徑R和車輪所承受的 載荷G,假設(shè)車的速度為V,利用等效折算等式即可求出等效轉(zhuǎn)動慣量；2.3機(jī)械慣量與相應(yīng)的補(bǔ)償慣量（模型二）根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義：J二mr2，利用微元法可以求出已知外半徑 R,內(nèi)半徑 r,厚度D,材料密度圓柱環(huán)相對中心軸的轉(zhuǎn)動慣

13、量的計算公式；因機(jī)械轉(zhuǎn)動慣 量和等效轉(zhuǎn)動不相等，電動機(jī)補(bǔ)償慣量就是等效轉(zhuǎn)動慣量和機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量的差值，補(bǔ)償慣量為正表示電動機(jī)加與轉(zhuǎn)速同向轉(zhuǎn)矩，做正補(bǔ)償，否則反向，做負(fù)補(bǔ) 償；2.4電動機(jī)驅(qū)動電流模型(模型三)要建立電動機(jī)驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型， 由題目信息可知，試驗 臺工作時主軸的瞬時轉(zhuǎn)速n與瞬時扭矩L是可觀測的離散量，由制動原理可知瞬 時扭矩L為制動器對主軸的扭矩Li和電動機(jī)對主軸的扭矩L2的合扭矩。由于假 設(shè)試驗臺采用的電動機(jī)的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比(比例系數(shù)取為1.5A/N m，即要找電動機(jī)提供的扭矩L2與可n和L的關(guān)系；利用動力學(xué)方程L = Ji 和試驗臺上制動器對主軸的

14、扭矩和路試時制動器對主軸的扭矩相同， 建立方程組 求解；2.5計算機(jī)控制方法評價模型(模型四)評價控制方法優(yōu)劣的數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大??；可以考慮路試和試驗架上試驗過程任一時刻t能量的差，則單位時間內(nèi)消耗的能量的差為能量差對時間的 一階導(dǎo)；利用等效轉(zhuǎn)動慣量可求出路試時制定器在制動過程中消耗的能量；利用機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量可求出飛輪和主軸上的動能，利用瞬時轉(zhuǎn)速與或瞬時扭矩可表示出電流提供的等效轉(zhuǎn)動慣量上的動能；畫出能量差曲線圖和取整個過程能量誤差大小 進(jìn)行評價；2.6計算機(jī)控制方法(模型五)由于路試時是以恒定的力踏下制動踏板，所以對于一個制動器其開始制動到 制動力達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)其變化曲線是一定的，假設(shè)為

15、Li(t)，一般Li(t)前段時間遞 增，而后達(dá)到穩(wěn)定；由于制動器的扭矩 L(t)變化已知，故車輪的角速度也可求 出；利用模型三中求出的驅(qū)動電流與可觀測量 n，L之間的兩個關(guān)系式可遞推出 相連兩個時間段的電流I之間的遞推關(guān)系；已知前一時間段的瞬時扭矩可求出相 應(yīng)時間段的電流Ik，從而可求出本時間段的電流大小Ik+i ；2.7完善的計算機(jī)控制方法(模型六)考慮到前一時間段的提供的驅(qū)動電流補(bǔ)償?shù)刃мD(zhuǎn)動能量與飛輪的轉(zhuǎn)動動能的合能量與路測中能量的會有偏差(可能是由阻力變化或其它因素干擾產(chǎn)生)，若繼續(xù)用模型五，則產(chǎn)生的偏差不能消除，就會像第四問中的兩條能量曲線一樣 無法重合；此時需要重新建立一個更加完善

16、的模型；此時需要在設(shè)計時，計算機(jī)要記錄下前 10ms時間點補(bǔ)償?shù)尿?qū)動電流，記為 It，前10ms那個時間的時間點上的La與na是可觀測的三、模型假設(shè)(1) ，不考慮觀測誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差；(2) ,不考慮能量補(bǔ)償時間對慣量模擬的影響，考慮補(bǔ)償時間等于實際制動時間;(3) ，不考慮飛輪的慣量加工誤差，風(fēng)阻及軸承損耗等阻力引起的扭矩對實驗的影響考慮是一個常數(shù)，等效在制動器中；（4）,載荷考慮是車和載貨的自重，不考慮其他因素對載荷的影響;（5），假設(shè)試驗臺采用的電動機(jī)的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比;四、符號說明變量含義m表示飛輪質(zhì)量，m表示第i個飛輪的質(zhì)量n表示車輪和主軸的角

17、速度w表示車輪和主軸的角速度Ei表示汽車的能量E2表示飛輪等效模擬能量L表示主軸上的瞬時扭矩Li表示制動器的扭矩，路試是汽車制動扭矩L2表示電動機(jī)提供扭矩J機(jī)表示機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量J等表示等效轉(zhuǎn)動慣量Jo表示基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量I表示電動機(jī)電流p表示車輪和主軸的角加速度五、模型的建立和求解5.1等效轉(zhuǎn)動慣量模型（模型一）（1）符號說明G:表示汽車承受的載重，G=6230 N；r :表示車輪的半徑，r= 0.286 m；（2）模型一建立根據(jù)等效轉(zhuǎn)動慣量從能量角度的定義，車輪承受的載荷在車輛平動時具有的 能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效折算到試驗臺上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn) 動時具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣

18、量；首先表示出車輛以速度V行駛時的能量:巳=1/2 Ggv2 =1/2Gg (rw)按照轉(zhuǎn)動動能公式的定義，得出表達(dá)式:2E2 = 1/ 2 J 等 w根據(jù)（5.1.1）和（5.1.2）聯(lián)立可得,J 等 w2 = %(rw)2由此得出汽車運(yùn)行時的等效轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式:(5.1.1)(5.1.2)(5.1.3)(5.1.4)27帶入問題一中給出的數(shù)據(jù)，取重力加速度 g=9.8ms，則可解得:% =6230N /9.8NLkg=635.71kg可求解得等效轉(zhuǎn)動慣量：J等=%r2 =635.7仆0.2862 = 52kgm25.2機(jī)械慣量與相應(yīng)的補(bǔ)償慣量模型（模型二）（1）符號假設(shè)2R=1 m；2r=

19、0.2 m；R:表示飛輪的外半徑,r:表示飛輪的被半徑,D:表示車輪的厚度，Di表示第i個車輪的厚度，D1 =0.0392 m, D2 =0.0784 m,D3 =0.1568 m；3?:表示飛輪的材料密度，? =7810 kg/m ； Ji :表示第i個飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，i =1,2,3 ；（2）模型二建立在理論力學(xué)的參考文獻(xiàn)中查得圓柱環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量方程為:(5.2.1)(5.2.2)(5.2.3)J =1/2 m （R2 r2）又有圓環(huán)的質(zhì)量公式：m：iR2-r2 D根據(jù)（5.2.1）和（5.2.2）聯(lián)立可得：J -1/ 2 T -R4 -r4 D把R, r, Di，所給的數(shù)據(jù)帶入得求

20、解可得:2 2 2J1 =3 0. 0k）gmJ2=6 0.0k）gmJ3=1 2 0.0cm已知基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量為：J0 = 10.00kg m2根據(jù)排列組合可得，可組成的機(jī)械慣量有 23 =8中情況；各分組詳細(xì)信息如下表：表一：飛輪的組合方式及轉(zhuǎn)動慣量組合J0J0+J1J0 * J2J0 + J3J + J +J2J0 + J1+J3J0+J2+J3J *+2+3J機(jī)(kg m2)104070130100160190220由于電動機(jī)的補(bǔ)償轉(zhuǎn)動慣量范圍是：（-30，30），所以可選取J+Ji和J0+J2兩個組合：（1）當(dāng)選取J0+J1時，補(bǔ)償轉(zhuǎn)動慣量是52-40=12kg m2，此時電動機(jī)為正補(bǔ)

21、償;在正補(bǔ)償時，電動機(jī)提供的扭矩與飛輪的轉(zhuǎn)速方向相同，做正功，J等J機(jī);此時 J0 =10kg m2， J 30kg m2， J機(jī)二 40kg m2， J等二 52kg m2（2）當(dāng)選取J0+J2時，補(bǔ)償轉(zhuǎn)動慣量是52-70=-18 kg m2，此時電動機(jī)為負(fù)補(bǔ)償；在正補(bǔ)償時，電動機(jī)提供的扭矩與飛輪的轉(zhuǎn)速方向相反，做負(fù)功，J等舟J機(jī) ；此時 J0 =10kgm2， J1=60kgm2， J機(jī)二 70kgm2，J等二 52kgm25.3電動機(jī)驅(qū)動電流模型（模型三）（1）符號說明：1 :表示試驗臺上制動器對主軸的扭矩產(chǎn)生的角加速度；：2 :表示試驗臺上電動機(jī)對主軸的扭矩產(chǎn)生的角加速度；（2）模型三

22、建立路試時車輛的運(yùn)動過程是：發(fā)動機(jī)帶動車輪轉(zhuǎn)動，當(dāng)速度達(dá)到設(shè)定值時關(guān)閉 發(fā)動機(jī)，腳踩剎車由制動器進(jìn)行制動。實驗臺上機(jī)械慣量制動系統(tǒng)的工作過程是： 由電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)控制電機(jī)帶動慣量飛輪轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到設(shè)定值時切斷電源，然后由制動器控制系統(tǒng)控制制動器對慣量飛輪進(jìn)行制動。要建立電動機(jī)驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型，試驗臺工作時主軸的瞬 時轉(zhuǎn)速n與瞬時扭矩L是可觀測的離散量；由于假設(shè)試驗臺采用的電動機(jī)的驅(qū)動電 流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（比例系數(shù)取為1.5 A/N m，即要找電動機(jī)提供的扭矩L2與可n和L的關(guān)系；根據(jù)圖2.1的試驗臺上制動工作原理圖，路試和試驗臺上制動器提供的制動 扭矩是一樣的，從而路試車輪和試驗時的主軸的角加速度也相同；首先建立路試時汽車制動的動力學(xué)方程：L, =J等上（531）在試驗臺上，飛輪制動的動力學(xué)方程L=J 機(jī)上（5.3.2）在試驗臺上，制動器對飛輪提供的制動方程：L, = J 機(jī)（533） 在試驗臺上，電動機(jī)對飛輪提供的制動方程：L J機(jī)（ 5.3.4）其中齢和j與1之間和L,和L2與L之間滿足：當(dāng)電流為正補(bǔ)償時二-當(dāng)電流為負(fù)補(bǔ)償時二 -2（ 5.3.5）當(dāng)電流為正補(bǔ)償時L = L, -L2當(dāng)