傅里葉級(jí)數(shù)課程與習(xí)題講解

1、第15章傅里葉級(jí)數(shù)15.1傅里葉級(jí)數(shù)一基本容一、傅里葉級(jí)數(shù)f (x) = yaltxn在幕級(jí)數(shù)討論中心 ，可視為/)經(jīng)函數(shù)系1,血f ,疋9 線性表出而得.不妨稱(chēng)l，x，F(xiàn)，為基，則不同的基就有不同的級(jí)數(shù).今用三角函數(shù) 系作為基，就得到傅里葉級(jí)數(shù).1三角函數(shù)系函數(shù)列1，COSX,sin X, cos 2x, sin 2x.r cos zu; sin nx.J稱(chēng)為三角函數(shù)系其有下而兩個(gè)重要性質(zhì).(1) 周期性每一個(gè)函數(shù)都是以2兀為周期的周期函數(shù)；(2) 正交性任意兩個(gè)不同函數(shù)的積在【一兀刃上的積分等于 零，任意一個(gè)函數(shù)的平方在上的枳分不等于零.對(duì)于一個(gè)在一兀兀可積的函數(shù)系(X)： xe(h處i，

2、2,立義兩個(gè)函數(shù)的積為 暫(X)，心(X)=仏(兀) % U)d X、m = n(“(牙)iz (jv) v如果“ W 則稱(chēng)函數(shù)系3： gHT2,為正交系.由于1, sin nxsin1 sin；?Adx= 1 cos?xdA=0sin mx.sin mx sin nxd x = -X(cosmx.coscos nix cos zu d x =7t m = n0 m * n : 龍m = n 0 m H n :(sinmx, cos/zx) = J sin mx cos nxd x = 0界：Odx = 2/r ,所以三角函數(shù)系在一兀刃上具有正交性，故稱(chēng)為正交系.利用三角函數(shù)系構(gòu)成的級(jí)數(shù)為(c

3、osnx + h； sin nx) g】稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)，其中他4%心，吊為常數(shù) 2以2兀為周期的傅里葉級(jí)數(shù) 定義1設(shè)函數(shù)/在一兀刃上可積，ak =(/(a),cosAa =J /(x)cosAxdx 2bk =丄(/(x),sinfcv) = j /(x)sinvdx2稱(chēng)為函數(shù)/(x)的傅里葉系數(shù)，而三角級(jí)數(shù)00H-l* + 乞( coshx + bn sin nx)稱(chēng)為/(X)的傅里葉級(jí)數(shù)，記作/(門(mén) 牛 + (5 cos /u + blt sin nx)這里之所以不用等號(hào)，是因?yàn)楹瘮?shù)/(X)按肚義1所得系數(shù)而獲得的傅里葉級(jí)數(shù)并不知 其是否收斂于/(X).二、傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理定理1若以2兀為

4、周期的函數(shù)/(X)在-忑刃上按段光滑，則生+心那啟+處咲戶金+)+用一)2M-1其中5,化為/(X)的傅里葉系數(shù).定義2如果廠d)eCl“，甸，則稱(chēng)/(X)在S切上光滑.若Vx ea,b),f(x + 0), fx + 0)存在： fxe(atbJ(x-0) t f(x-0)存在， 且至多存在有限個(gè)點(diǎn)的左、右極限不相等，則稱(chēng)/(力在切上按段光滑. 幾何解釋如圖. 按段光滑函數(shù)圖象是由有限條 光滑曲線段組成，它至多有有限個(gè) 第一類(lèi)間斷點(diǎn)與角點(diǎn).推論如果/)是以2兀為周期的連段光滑，則%已R,函數(shù)xe(-7T xwQkm、2k 兀 + 7r,k =L2,f (x) = cos nx + hit s

5、in /a ) 有2”定義3設(shè)/(X)在(-兀刃上有左義，/(A-) = P(X)f(x-2k稱(chēng)/)為的周期延拓.習(xí)題解答1在指泄區(qū)間把下列函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)()f (x) = a; (i) -7rx7T. (ii) 0x z x*d(cos/?.v) o1嚴(yán)九=J(,兀j 1 o 2用 2 f 2打=cosnx |+ xcosnxdxnn0 nnJ 04/r2 嚴(yán)=一+ r Ad(sinnx)n ir/r J04/r2.12亦 2.4兀=一+ -xsinnx| 一 一 sin/?xdx = - n ir7r0 ivnJ 0nArr- x所嚴(yán)詩(shī)陀cosnx Trsinnxiiax -7r x

6、 S 0bx 0X7T(a H h 0,方工 0)丿，xe(03為所求./U） = 7t S兀J-用兀Jo2當(dāng)心1時(shí)， = f ax1 cos/?Adx + f T/?xcos/?.rdx兀J兀Jo=1_(_1門(mén)呼f 0 f 用bn =axsin nxdx + bxsin ivcdx=(_)”+】d + n兀(b-a)2( -1c 、所以4兀幺D-+(d+b)(-1 嚴(yán)竺坐心”,血(一兀兀)為所求.2設(shè)/是以2兀為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)。，有1c+2x1用atl =fCv)cos/udx = f (x)cos/ud x.n = 0J,2,7TJc7TJ,bn =丄* 7(x)sinxd

7、x = -!-T (x)sin nxdx,n = L2,-證：因?yàn)?，sin/tv , cos ha-都是以2為周期的可積函數(shù)，所以令t=X+27T有丄 J 7/(x)cosMxdx = y-1 /(/ -2-)cos/?(r - 2-)d(/ -2-)1 c c+2x1c+2=/(/)COS/7/dZ= f(X)COSllXQX小小1 pan= /(x)coszudx 從而 兀n1 r t+2用1-尺 = f (x) cos nxd x = f (x) cos /ud x7ric+ f f (x)cos/udx + 廣/(x)cosnxdx 打J-尺托J應(yīng)丄J7TJ/(x)cosnxdxra

8、)=714n.4把函數(shù)1 1 卜一 - 5 7:兀|11=1 + 一一3-75t 1I1116571113170 x !則4357I.11亠一.1.4-.由7= 13r57十.得n_ 11 1 1_ 4-12=39 15 217T71亠71-1 +1_I . 11亠1于是341n1 15n1 13蘭匚馬+丄_丄+丄丄+.4設(shè)函數(shù)/滿足條件f(丹= f(x)，問(wèn)此函數(shù)在(一龍，穴)的傅里葉級(jí)數(shù)具有什 么特性.解：因?yàn)?(X)滿足條件/(X +兀)=一/(力，所以f(X+ 2兀)=-/ X + 7r) = /(A),即f(x)是以加為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得兔=十匸/Cr)dx = + j：/

9、(x)dx + +j ；/(x)dxpH1 I用=f f(t + 7r)di + f /(x)dx = 0龍J 0兀J 0當(dāng)淪1時(shí),/(X)COSHAdx 1 + (-1 嚴(yán)7tf f(x) cos nxdxn = 2k -1J 0 0I7T丿f T/(x)sinzzxdx = 7T 0|)/(x)cosnxdxIn = 2ko1 r 亓.f(x)sin nxdx + f(x)sinnxdx 丸兀J on = 2k-故當(dāng) f(x + ) = -f(x)時(shí)，h2k =.5設(shè)函數(shù)/(X)滿足條件：么特性.n = 2k函數(shù)/在(一兀刃的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是5 = ,fx+7r) = f(x) f問(wèn)此函

10、數(shù)在(-兀刃的傅里葉級(jí)數(shù)具有什解：因?yàn)?滿足條件/(X +兀)= /),所以/(x + 2兀) = /(x +兀) = /(x),即/Cv)是以2兀為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得 兔= + j_/Cr)dx = + j：/a)dx + +j ；/Cr)dx=f f(t + 7r)dt + f f(x)dx = f f(x)dx兀兀 JoJO當(dāng)心1時(shí)，an = j J /(x)cos/Lrdx + -!-J ：/(x)cos“xdx71=j /(/)cos(nx + ”/r)dx + 丄 J ：/(a)cosnxd.r= I* /(x)cosAtvdxTV J 0)/(x)cos/?xdx n

11、= 2k-J= cos(/n-”)xdx = 0所以sinx, sin2x,，sinnx,在0,兀上是正交系.但1, sinx, cosx, sin2x, cos2x,，sinnx, cosnx，不是，兀卜.的疋交系 (Lsinx)= f Tsinxdx = 1 *0實(shí)因：!幾7求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù). 由系數(shù)公式得r 2、1 2 兀一jvT F* dA=07T當(dāng)淪1時(shí)， 號(hào)亍d（siw）-_ sin/u| + f sin/?Adx = 02曲0 2ii7r0“加寧咲“軌號(hào)7T-X cosnx 2n兀|2_Lf27C0S/LVdX = l0 Inn0ny

12、sinnxx灼（0,2刃為所求.（2）/（x） = /l-cosx, 一tiKh .解：mxJi-cosx, ns作周期延拓的圖象如下.所以（）其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù).f (x) = Jl-cosx =2VJsin 專(zhuān)因?yàn)?所以由系數(shù)公式得1用o= J f(x)dxn J f-邁 f 0 . x /2 r . x 4/2=I sin u x 4* I sin d 兀=兀 72Jo 2n0X/24x/21/ (x)= ；COS/IX而 X = 7T9所以兀 兀鋁4/一1,兀(兀,兀)“、2忑4忑(1f(X)=一 sCOSHX故兀 龍H-1 4/r-l, xw 兀刃為所求.(3) /(x

13、)= g2+x + c, (i)0vxr.兀）為所求.(4)/(x)=chx, 一VXV/T；解：由系數(shù)公式得1 r用1應(yīng)2a。= f(x)dx =chxdx = shr7T 冗 yn當(dāng)淪1時(shí)，1 f齊aty = chxcosrixdx兀J Y=chxsin/u|? f shxsin/?xdxH7Ty nn J y=! f shxd(cosnx)im J y/r/r=ishxcosnxlTJ fitny iVn J=(心斗”ivn nch x cos/a d x=(-ir 2sh兀 所以”+1次.1 f龍f用btl = chxsin /?.rdx = chxd(cos/:x)X J f7 J

14、y=-chxcos/uj 7 +丄 njty nn1 f n=5sh xd(sin nx)n n J y=-一shxsiiwxr +Jchxsin/udxIC7Ty )V7t J 7shxsin/7.| 7 +J f chxsinnxdx =,b1V71y )V7tytv所以S=,2 1/(x) = ch.v = sh - + 故71 L2r *| shxcos/udxXW （一盜龍）為所求(5)/(X)= ShX, -7TXTan =shxcosnxdx = 0當(dāng)心1時(shí)， 宀btl = sh xsin md x = sh xd(cos nx) 兀 J yzr J y=-shxcos/LvI

15、+ f chxcos/udxH7TY H7V Jr0i=(-) sh + f chxd(sinMX) nnnn J y= (-l)* *1 sh + chxsinzulJ f shxsin/LtdxH7Tivny 1VT J -t九=(-1嚴(yán)所以2/?shx(n2 + X)tc/(x) = shx = f (-1)心 故曲2/ish/r(it1 +1)兀sin nxxw (一兀兀)為所求.f(x)=丄(3F 一 67tx + 2/r1)工 A = 28求函數(shù)12的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式并應(yīng)用它推出心v6f (x) = ax2 +bx + c =+b/c + c解：由34a4曲+ 2方.小、+cos/

16、ix-sin nx. xe(0,2)“I /n得222 x |f(x) = (3x2 一6兀兀 + 2穴2) = - + + cos HA12326 /i-i,rx 1=V -rCOS/lX、幺/xe(0M7/(0 + 0) = /(2兀-0)=亠而6 ,故由收斂定理得仝/(0 + () + /(2斤-()= 丄 cosO 丘丄62結(jié)/ 粽卩廠9設(shè)/為卜如刃上光滑函數(shù)，/(-兀)=/仗).且5, 9為/的傅里葉系數(shù)， 4：厲為/(a)的導(dǎo)函數(shù)八X)的傅里葉系數(shù).證明 4： = o, a； = nhn, b；= 一叫=12 ).證：因?yàn)?為一不刃上光滑函數(shù)，所以廠3)為一不刃上的連續(xù)函數(shù)，故可積

17、. 由系數(shù)公式得4 =J=l(/U)-/(-) = 0a：=丄fx)cosnxdx 當(dāng)心1時(shí)， 沁7=f(x)cosnA| + f f(x)sinnxdx = nbf 兀Y 兀3 Y1 ff tbn = f (x)sinnxdx7t J f =f(x)sin/Lv| - fT f (x)cosnxdx = -na7T *y 兀7故結(jié)論成立.10證明:若三角級(jí)數(shù)5T+ 為(匕 cos nx + bn sin nx) /!中的系數(shù)滿足關(guān)系sup|xHx|0, /fW在尺上連續(xù),且 “o (x) = 0, url (x)= 一叫 sin fix + nhn cos/lv 亦在 r 卜連續(xù) 又Vxe/

18、?, IS)l-nIsin冋+氏cos戀I(mǎi)n|d| + /?|/?|：（X）=藝（心cos/?x 一/q sin nx）在R匕_致收斂5(x) = + V (an cos nx + bn sin nx)故設(shè)2曲 則s(x) =，(一g costix + nbn sin nx)=才 h：(jv)n-iw-l在尺上連續(xù)./(a)=cos nx + nbt sin nx) 且15.2以2/為周期的函數(shù)的展開(kāi)一基本容一、以刀為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)/（X）是以2/為周期的函數(shù)，作替換=石,則丿是以2兀為周期的函數(shù)，且/(x)在(一/, /)上可積o F在(-不兀)上可積. a 30F(r)- + Y

19、(an cos nt + hfJ sin nt)于是2 -i,J?1% T匚FScosmck, bt =|j(OsinH/drItF=f = f(x) sinm = sin仝.cosm = cosH7TX7Tn/rx f . nnx an cos+ h sinn I n I/(X)身+ 從而z I其中T：/cos平n7rx f . n/rx cos+ sm 上式就是以2/為周期的函數(shù)/(x)的傅里葉系數(shù).在按段光滑的條件下，亦有 /(r + 0) + /(0)_q * 十2 T召其只含余弦項(xiàng)，故稱(chēng)為余弦級(jí)數(shù).同理，設(shè)/(X)是以2/為周期的奇函數(shù)，則f (x)cosnx 奇，f (x)sin

20、nx 偶U =jff(x)cos-dx = 0* =；J：/(x)sindx = #J：/(x)sin *從而2-11英只含正弦項(xiàng)，故稱(chēng)為正弦纟由此可知，函數(shù)/(A),xe(0,/) 要展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)必須作偶延拓.f(x) xe(O,/)/(一X)x e (一人0)a于是7u)= 偶延拓函數(shù)/(x)，xe(J)要展 開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)必須作奇延拓. 奇延拓y-/OI X一 /.V/O/ X八、/7u)=7xdA =0 nn0 riTTJ 0b; = 2j 2! (x - x)sin 2/?xdx = 2 j xsin 2/zxd x-1 f I=xd(cos ln7tx) 幀J。cos 2n/rxd

21、x =nn .= xcos2n7rx * + f n jr0 mt J1 1 30 1f (x) = x - lx = - V sin 2n7rx扳2兀們,*(-oo,+oo)為所求.(3) /U)= sin| /(x) = sin4 x = - - - cos 2x + - cos,、 故8 28xw(to,+oo)為所求.x(周期；T)：解：函數(shù)/（Q = sinS,n 7t亍邁延拓后的函數(shù)如下圖.4f?當(dāng)心1時(shí)， 心貳12= 0I.8J-lcoS2x+lcos4x)dx=|-cos 2x + - cos4x cos2nxdx 8 -/? = 1、 yX3龍0才y3龍Y9由于/（X）按段光

22、滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/（力是偶函數(shù)，故英展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù).!=-因 2 ,所以由系數(shù)公式得1-cos 2x2dx= f sin4xdx = f 7sin4 xdx = y2 Q = J ； |cos Ajsin nx d x = 0（4）f（%）= sgn（cosx）（周期“）解:函數(shù)/（%）= sgn（cosx）, xw（-s）延拓后的函數(shù)如下圖.Ty_打-TT0n力loX由于/（X）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/（力是偶函數(shù)，故英展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù).因/=兀，所以由系數(shù)公式得1 r寸2用= sgn（cos x）dx = sgn（cos x）dx = 0於y兀J .a =

23、 f sgn（cosx）cosmdx當(dāng)舁21時(shí)，”=f cos?xdx- ：cosxdx = sin37TJq7TJ 2龍 2n = 2k4 H7T = =sin ri7T 22用bn= sgn(cos x) sin nxd x = 0 7T J y“、(、4總cos ? + l)x2n +1/(x)=sgn(cosx) = -l：(-l)gy,毎)x 0xl/U)= 2求函數(shù) 解:函數(shù)/（X）,11 x 23_J 2-r-3的傅里葉級(jí)數(shù)并討論英收斂性.“（0,3）延拓后的函數(shù)如下圖.由于/（力按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/）是偶函數(shù)，故英展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù)./=2因 2,所以由系數(shù)公

24、式得綣弓:/蠢皿+|口卄|匸（3_畑首2n/rx .2 r 2 2mxdx + - cosax33J323、 2n;rx .+-J (3-x)cos-dx當(dāng)心1時(shí)，弓cos| 了. 2n7rx xd sin0 I 3丿1 2H7TX +sinnn1 . 2n;r 1 =sin一一Utt 3n/r JI . 2/77TX sin 01 f 、 2/?zrx +(3-x)d sinn/r -2I 3.1 4fl7Tdx +sin3 nn1. 2htt一一sinnn 331、 2httx+ (3 x)sin nrt+ 丄sin沁dxH7T J 231. 4n7T=sinnn2n;rx3 + cos3

25、2才31 .3 2n7rx一 一 sin一 一cosriTT 32卩廣龍.32/i/r34htt3,3=-r cos一 一一 一cos 2n7T + cos2打232n222n22丁332m3nk3iVn.2啟bn= f (x) sin md a = 0 兀J Y73 x/(g +牡 故3 n心一 112/77T1? + 1?COS2httxcos3, *(y,+oc)為所求./ （x） = -X rA !3將函數(shù)2在0山上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).解：函數(shù)f（A）=2 xe0作偶延拓后的函數(shù)如下圖.V9O 八3兀2/rx由于/（X）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/）是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦 級(jí)

26、數(shù).由系數(shù)公式得2r 兀、.(ji1一-xdx= x-.r小2丿22丿=00當(dāng)心1時(shí)，r7 = f I -x jcos/udx“Jn )y sin/zv*2THL sinnxdx -2U )o曲1* vOo tLnLn2H7Tn = 2k-l=1 irn0 n = 2kb =0 n.兀4 x f(x) = -x = -22 _cos(2/?一 1)兒 xe0,兀故2 兀紅(2 一 1廣4將函數(shù)/（A）-CS2在【，刃上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù). 解：函數(shù)/（a） = COS2,血0,刃作偶延拓后的函數(shù)如下圖.由于/）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/（力是奇函數(shù)，故其展開(kāi)式為正弦 級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得

27、” = 0,1,2,b= cos 丄sin/nd x 21 f 1）- （ 1）八 I 2） I 2丿丄7T1COS /? + - X2丿1n + -2cosf-ik2丿1n_ 28龍（4用一 1）故在，刃上/U) = con4/?2-lsin nx為所求.1-A-0a2/ (x)=5 把函數(shù) lx3 2x4在(0, 4)上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).由于/（X）按段光滑.所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/（力是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù).因/ = 4,所以由系數(shù)公式得兔弓:/(x)dj：(l-x)dx+；(x-3)dx = 0 an =- f 5 T/(x)cos-dj當(dāng)川21時(shí)，”4。4=-(l-)co

28、s-dx4- f 4(x-3)cos-dj 2“4224=A(i_x)sin nn+Af2sindx0 兀4Z(-3)sin 竺-2 門(mén) in 竺肛nn4 1224H7TX8I17TXo/U) = * 所以nJt ，二2 - -)0x28 二2 x4 ns- 2cos + ()”l-x兀一 32016)=y1 于幺(21)2cos(2/? 一 )7TX2為所求6把函數(shù)/u）=（-ir在（0,1）上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并推出 宀仆丄+丄+2232 丿解：函數(shù)/，燈（，1）延拓為以2為周期的函數(shù)如下圖.由于/（X）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/）是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù).因1=0.5,

29、所以由系數(shù)公式得=2j */（A）dx = 2j （x-l）2dx = -n =2f （x-l）2cos/7Adx當(dāng)淪1時(shí)，2 、=(x-1)2 sin H7tx httn J 02 e i一(x-l)sin/?7rxdx 0曲02Cv-l)cosmrx trn(x l)y 所以令x = 0得7求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式 /（x） = arcsin（sin x）.解：函數(shù)/0）= wsinGin勸是以2兀為周期的函數(shù)如下圖.入./0 八/2兀竺X由于/（X）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/（力是奇函數(shù)，故其展開(kāi)式為正弦 級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得 an =0,川=0,1,2,bn= arcsi

30、n(sinx)sinnxdx兀Jo=2xsin/?xdx + f (Tr-x)sinnxdx 兀J 龍J亍2=xcosnx n兀+ f yCOS7?xdx-2nn(兀一 x)cos/u+ -COS7?Ad. nnJ tMB4 f -Jo2d-=4nn -sin ivn 2i 4 x i-+ Vcos?., xe(OJ3 兀 k-1 h4(-1) n = 2k-IVTI4 x (-1)“/(x) = arcsin(sinx)= sin(2/? 一 l)x所以.龍心？一1)-, xeR. f(%)= arcsin(cosx)解：函數(shù)f(x) = arcsin(cosx)是以加為周期的函數(shù)如下圖.由

31、于/（X）按段光滑.所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/（力是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得2廠 arcsin(cosx)d,v = 0 兀Jo=f 7arcsin(cosx)cos/u dx”Jo+sinAtvdx2=sin nx nn0=4jr/rn = 2k” =2k 1b“ =0,農(nóng)= 1,2，4 301f (x) = arcsin(cosx)= cos ? 一 l)x所以兀心(2一I)-, xwR.2上的可積函數(shù)/(X)延拓到區(qū)間(一龍M),使他們的傅里葉8試問(wèn)如何把左義在 級(jí)數(shù)為如下的形式XX藝吆-cos ? 一 l)x藝爼 I Sin(2 一 l)x(1)川*:(2)曲解：

32、先把/)延拓到，刃上,方法如下：/一/S-x)0x-27T “ X72再把/延拓到0.2刃上，方法如下：7(x)/(2龍一兀)./(g0xTCX 3打%AtVLZ T其圖象如下.由于/(X)按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/(X)是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦 級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得2t _綣=一/3山=7TJo,12& _btl =f(x)sinnxdx = 0當(dāng)心1時(shí)，”2 i-= 2 f(x)cosnx-cos(n7T -nx)dx 龍Jo c 2 f(x)cosnxdx n = 2k- = 龍 J un = 2k（2）先把/（X）延拓到【“上，方法如下.9_/（X）0A7a）=2f（JC-

33、X） X7T 2 : 再把了延拓到02刃上，方法如下. %.） OS一 / （2穴 一 X）7TX 2 兀其圖象如下.tvy = /（A）由于/（X）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又/）是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得2 f i打 f(A)sin nx + sin(/? - nx)dx= 2 f (x)(sin/7x + sin(77-/?x) dx 龍Jo153收斂定理的證明一基本容一、貝塞爾（Bessel）不等式 定理1設(shè)/在【-兀刃上可積，貝I號(hào)+ （戀+怎）專(zhuān)匸/（如其中為/)的傅里葉系數(shù).推論1設(shè)/(X)在-如刃上可積,則lim/(x)cosnxdA =0 lim/(x)sin?xdx = O“TOC J *TOC J JT *推論2設(shè)/（X）在【-兀刃上可積,則lim f /（x）sin川 TOO J 0 *lim f /(x)sin