二元一次方程組基礎(chǔ)題

1、二兀一次方程組基礎(chǔ)題二元一次方程組題型歸納類型一：列二元一次方程組解決 行程問題【變式 1】甲、乙兩人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小時，那么他們在乙出發(fā) 2.5 小時后相遇；如果乙比甲先走 2 小時，那么他們在甲出發(fā) 3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少 千米？解：設(shè)甲，乙速度分別為 x，y 千米/時，依題意得： (2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得： x=6， y=3.6 答：甲的速度是 6 千米/每小時，乙的速度是 3.6千米/每小時?！咀兪?2】兩地相距 280千米，一艘船在其間航行，順流用 14 小時，逆流用 20小時，求船在靜 水中的速度

2、和水流速度。解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度 x 千米/小時,則水流速度 y 千米/小時，有： 20(x-y)=280 14(x+y)=280解得： x=17，y=3 答：這艘輪船在靜水中的速度 17 千米/小時、水流速度 3 千米/小時，類型二：列二元一次方程組解決 工程問題【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作 6 周完成需工錢 5.2萬元；若甲 公司單獨做 4周后，剩下的由乙公司來做， 還需 9周完成，需工錢 4.8萬元.若只選一個公司單獨完成， 從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由 .解：類型三：列二元一次方程組解決 商品銷售利潤問題【變式 1

3、】（ 2011湖南衡陽）李大叔去年承包了 10 畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利 18000元，其 中甲種蔬菜每畝獲利 2000元，乙種蔬菜每畝獲利 1500 元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少 畝？解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了 x、y 畝，依題意得： x+y=102000x+1500y=18000解得： x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了 6 畝、4 畝變式 2】某商場用 36 萬元購進 A、B 兩種商品，銷售完后共獲利 6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元 /件）12001000售價（元 /件）13801200（注：獲利 = 售價 進價）求該商場購進 A、 B 兩

4、種商品各多少件； 解：設(shè)購進 A 的數(shù)量為 x件、購進 B 的數(shù)量為 y件，依據(jù)題意列方程組 1200x+1000y=360000（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000解得 x=200， y=120答：略 類型四：列二元一次方程組解決 銀行儲蓄問題【變式 2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000 元錢.第一種，一年期整存整取，共反復存了 3 次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息 2.25% ；第 二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為 2.70%. 三年后同時取出共得利息 303.75元 （不計利息 稅），問小敏的爸爸兩種存

5、款各存入了多少元？解： 設(shè) x 為第一種存款的方式， Y 第二種方式存款，則X + Y = 4000X * 2.25 * 3 + Y * 2.7 * 3 = 303.75解得： X = 1500，Y = 2500。答：略。類型五：列二元一次方程組解決 生產(chǎn)中的配套問題【變式 1】現(xiàn)有 190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做 8個盒身或 22 個盒底，一個盒身與兩個盒底 配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解：設(shè) x 張做盒身， y張做盒底，則有盒身 8x個，盒底 22y 個x+y=1908x=22y/2解得 x=110， y=80即 110 張做盒身，

6、 80 張做盒底【變式 2】某工廠有工人 60 人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14 個或螺母 20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配 套。解： 設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為 x 人 ， 生產(chǎn)螺母的工人為 y人x+y=6028x=20y解得 x=25，y=35答：略【變式 3】一張方桌由 1 個桌面、 4 條桌腿組成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 個，或做桌腿 300條。現(xiàn)有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌 面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？解： 設(shè)用 X 立方米做桌面，用 Y

7、 立方米做桌腿X+Y=5(1)50X：300Y=1：4(2)解得： Y=2， X=5-2=3答：用 3 立方米做桌面， 2 立方米的木料做桌腿。類型六：列二元一次方程組解決 增長率問題【變式 2】某城市現(xiàn)有人口 42 萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加 0.8%，農(nóng)村人口增加 1.1% ，這樣 全市人口增加 1% ，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有 x 萬人，農(nóng)村人口有 y 萬人。x y420.8%X 1.1%Y 421%解這個方程組，得： x=14， y=28 答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有 14 萬人，農(nóng)村人口有 28萬人。類型七：列二元一次方程組解決 和差倍分問題【變式 1

8、】略【變式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到 藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多 1 倍，你知道男孩與女孩各 有多少人嗎？解： 設(shè)：男有 X 人，女有 Y 人，則X-1=Y2( Y-1 )=X4解得： x=4，y=3答：略類型八：列二元一次方程組解決 數(shù)字問題【變式 1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 3 倍，結(jié)果是 23；這個兩位數(shù)除以它的各位 數(shù)字之和，商是 5，余數(shù)是 1，這個兩位數(shù)是多少？ 解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是 x，個位數(shù)是 y，則這個數(shù)是( 10x+y)10x+y-3(x+y)=23 (1)10x+y

9、=5(x+y)+1 (2)由( 1)，( 2)得7x-2y=235x-4y=1解得： x=5y=6 答：這個兩位數(shù)是 56【變式 2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大 5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù) 字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？解： 設(shè)個位 X，十位 Y，有X - Y = 5(10X + Y) + (10 + X) = 143 即X - Y = 5X + Y = 13 解得： X = 9，Y = 4 這個數(shù)就是 49【變式 3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為 0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是 9，如果百位數(shù)字減 1，個位數(shù)字加 1，則所得新三位數(shù)正好是

10、原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原數(shù)百位是 x，個位是 y 那么 x+y=9x-y=1 兩式相加得到 2x=10 = x=5 = y=5-1=4 所以原數(shù)是 504類型九：列二元一次方程組解決 濃度問題【變式 1】要配濃度是 45%的鹽水 12 千克，現(xiàn)有 10%的鹽水與 85%的鹽水，這兩種鹽水各需多 少？解：設(shè) 10%的 X 克， 85%的 Y 克 X+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%5即： X+Y=12X+8.5Y=54解得： Y=5.6答：略【變式 2】一種 35% 的新農(nóng)藥，如稀釋到 1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為 35%的農(nóng) 藥加水多少千克，才

11、能配成 1.75%的農(nóng)藥 800 千克？解： 800千克 1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為 8001.75%=14 千克含 14 千克純農(nóng)藥的 35% 的農(nóng)藥質(zhì)量為 1435%=40 千克由 40 千克農(nóng)藥稀釋為 800 千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為 800-40=760千克答：用 40 千克濃度為 35%的農(nóng)藥添加 760千克的水，才能配成濃度為 1.75%的農(nóng)藥 800千克。類型十：列二元一次方程組解決 幾何問題【變式 1】用長 48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉 3 厘米，補到 較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？ 解：設(shè)長方形的長寬分別為 x 和 y

12、 厘米，則2（x+y） = 48x-3=y+3解得： x=15 ， y=9 正方形的面積比矩形面積大（ x-3）（ y+3） - x y= （15-3）（ 9+3）- 15 * 9= 144 - 135= 9（ cm2） 答：略【變式 2】一塊矩形草坪的長比寬的 2 倍多 10m，它的周長是 132m，則長和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決 年齡問題【變式 1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?.小李發(fā)現(xiàn)， 12 年之后，他的年齡變成爺爺?shù)?三分之一 .試求出今年小李的年齡 .解： 設(shè)小李 X 歲，爺爺 Y 歲，則5X=Y 3（X+12）=Y+12兩式聯(lián)立解得： X=12 Y=6

13、06012類型十二：列二元一次方程組解決 優(yōu)化方案問題：【變式】某商場計劃撥款 9 萬元從廠家購進 50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電 視機，出廠價分別為：甲種每臺 1500 元，乙種每臺 2100元，丙種每臺 2500 元。(1) 若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機 50臺，用去 9 萬元，請你研究一下商場的進貨方 案；(2) 若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利 150元、 200 元、 250元，在以上的方案中，為 使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？解：(1)分情況計算：設(shè)購進甲種電視機 x 臺，乙種電視機 y 臺，丙種電視機 z臺()購進甲、丙兩種電視機解得()購進乙、丙

14、兩種電視機解得(不合實際，舍去 )故商場進貨方案解得()購進甲、乙兩種電視機為購進甲種 25 臺和乙種 25 臺；或購進甲種 35 臺和丙種 15 臺 (2) 按方案 ( ) ，獲利 150 25 200 25 8750( 元) ； 按方案 ( ) ，獲利 150 35 250 15 9000( 元) 選擇購進甲種 35 臺和丙種 15 臺課堂練習一、數(shù)字問題例 1 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大 9 ；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)， 所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大 27，求這個兩位數(shù)二、利潤問題例 2 一件商品如果按定價打九折出售可以盈利 20% ；如果打八折出售可以盈利 10 元，

15、問此商品 的定價是多少？三、配套問題例 3 某廠共有 120 名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓 25個或螺母 20 個，如果一個螺栓與 兩個螺母配成一套， 那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓， 多少名工人生產(chǎn)螺母， 才能使每天生產(chǎn)出來的 產(chǎn)品配成最多套？四、行程問題例4 在某條高速公路上依次排列著 A、B、C三個加油站， A 到B的距離為 120千米， B 到C 的距離也是 120千米分別在 A、C 兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕 車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在 B 站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別7往 A、C 兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往 B 站駛來的團

16、伙在 1 小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截 住，而另一團伙經(jīng)過 3 小時后才被另一輛巡邏車追趕上 問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？五、貨運問題典例 5 某船的載重量為 300 噸，容積為 1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物 每噸體積為 6 立方米，乙種貨物每噸的體積為 2 立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、 乙兩 重貨物應(yīng)各裝多少噸？六、工程問題 例 6 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來4 的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝 150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的 4 ；5 現(xiàn)在工廠改進了人員組

17、織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程， 每天可生產(chǎn)這種工作服 200 套，這樣不僅比規(guī)定時間少用 1 天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25 套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？例1（ 2006年南京市）某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為 6元 /輛，小型汽車的停車 費為 4元/輛.現(xiàn)在停車場有 50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？例 2（2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利情況如下表所示：銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（元）100250450現(xiàn)在該公司收購了 140 噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜 6 噸或粗加工蔬菜 16噸

18、（兩種加 工不能同時進行） （1）如果要求在 18 天內(nèi)全部銷售完這 140 噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2）如果先進行精加工，然后進行粗加工，要求在 15 天內(nèi)剛好加工完 140 噸蔬菜，則應(yīng)如何分 配加工時間？.（2）設(shè)應(yīng)安排 x 天進行精加工， y 天進行粗加工 .【跟蹤練習】為滿足市民對優(yōu)質(zhì)教育的需求， 某中學決定改變辦學條件， 計劃拆除一部分舊校舍， 建造新校舍， 拆除舊校舍每平方米需 80 元，建新校舍每平方米需 700 元. 計劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200 平方米，在實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80% ，而拆除舊校舍則超過了計劃的 10% ，結(jié)果恰好完成了原計劃的拆、建總面積 .（1）求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化 1 平方米需 200 元，那么在實際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多 少平方米？ 列方程解應(yīng)用題的基本關(guān)系量：（1