2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試Ⅰ文

1、2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(必修+選修I)共150分.考試時(shí)間120分本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分 鐘.第I卷(選擇題共60 分)球的表面積公式S=4 二 R 2其中R表示球的半徑, 球的體積公式43V= R ,3其中R表示球的半徑參考公式:如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P( A)+P( B)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P (A B) =P (A) P ( B)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=C： Pk(1 P)n - k一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.1 設(shè)集合

2、U=1 , 2, 3, 4, 5 , A=1 , 2, 3, B=2 , 5，則 AQ( ( u B)=()A. 2B.2 , 3C. 3D.1 , 32.已知函數(shù)1 -x1f (x) - ig,若 f (a),則 f (a) =()1 +x211A. 一B. C. 2D. 2223.已知a+b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么|a+3 b|=()全國卷數(shù)學(xué)(文)第1頁(共8頁)B.、10C. 13D. 44.函數(shù) y = .x-11( x 1)的反函數(shù)是A.2y 二 x-2x 2( x : 1)C.2y 二 x-2x( x : 1)2B. y = x 2x 2(x - 1)2D. y=x

3、 -2x(x-：1)3 1 75. (2x3 )7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是VxA. 14B. 14C. 42()D. 42c 、rtn -H-6. 設(shè)：；三(0,)右 sin :27A.-55417B .-C .-52,貝U 2 cos( )=2Fi、F2,過Fi作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)x7. 橢圓一y2 =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為4()D . 4為 P,則 | PF 2 | =Q3；7A.B. .3C. 一2 28. 設(shè)拋物線y2 =8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線丨與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（）1 1AB. 2, 2C. 1 , 1D . 4, 42 29. 為了得

4、到函數(shù) y =sin（ 2）的圖象，可以將函數(shù) y = cos 2x的圖象（）54A.B.991110()C .D .21212 2 2 2 2 212.已知 a b 1, b c 2,c aA .、3 1B .1 - -322=2,則ab bc ca的最小值為（）C.丄一3 D.丄+心2 2A.向右平移-個(gè)單位長度B.向右平移一個(gè)單位長度63C.向左平移JT-個(gè)單位長度D .向左平移一個(gè)單位長度6310 .已知正四面體ABCD的表面積為S,其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H,設(shè)四面體EFGH的表面積為T,則T等于S( )1411A .-B .C .D .-994311 .從 1 , 2，9這

5、九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這 3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是第H卷（非選擇題共90 分）二、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上13. 不等式x+x30的解集是 .14. 已知等比數(shù)列 an中，a3 =3,a10 =384,則該數(shù)列的通項(xiàng) an =.2 215. 由動點(diǎn)P向圓x +y =1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為 A、B,Z APB=60 ，則動點(diǎn)P的軌跡方程為 .16. 已知a、b為不垂直的異面直線，：是一個(gè)平面，則a、b在上的射影有可能是 .兩條平行直線兩條互相垂直的直線同一條直線一條直線及其外一點(diǎn)在一面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是 （寫出所有正確結(jié)論

6、的編號）.三、解答題：本大題共 6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17. （本小題滿分12分）等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和記為Sn已知a10 =30,a 20 = 50.(I)求通項(xiàng)a n ;(n)若 Sn=242，求 n.18.（本小題滿分12 分）全國卷數(shù)學(xué)（文）第8頁（共8頁）求函數(shù)f（x）sin 4 x cos 4 x 亠 sin ? x cos ? x的最小正周期、最大值和最小值19. （本小題滿分12分）已知f （x）二ax 3 3x - sin 2x -x - 1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍20. （本小題滿分12分）從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出

7、3位參加測驗(yàn)每位女同學(xué)能通過測驗(yàn)的概4 3率均為4，每位男同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為-.試求：5 5（I）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；（II）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過測驗(yàn)的概率21. （本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐 PABCD ,PB丄AD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD 為菱形，側(cè)面 PAD與底面ABCD所成的二面角為120 .（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（II ）求面APB與面CPB所成二面角的大小22. （本小題滿分14分）2XC設(shè)雙曲線C:2 y =1（a0）與直線|：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A、B.a2（I）求雙曲

8、線 C的離心率e的取值范圍：5 （II）設(shè)直線I與y軸的交點(diǎn)為P,且PA PB .求a的值.122004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（必修+選修I）參考答案、選擇題DBCBABCCBACB、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上13. x|x014. 3 2n315. x2 y2 =416.三、解答題17本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查運(yùn)算能力滿分12分.解：(I)由 an- (n _1)d ,a10 =30, a20 =50,得方程組7分12分12分.a1+9d=30,4 分 解得 a1=12,d=2.所以 a2 n+10.a, +19

9、d =50./ 、丄n(n 1)心、“(n)由 Sn 二 na!d,Sn = 242 得萬程2n(n 1)八 ” ,口12n2 = 2 4 210分解得n =11或n = -22(舍去).218本小題主要考查三角函數(shù)基本公式和簡單的變形，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)滿分2 2 2 2 2(sin x 亠 cos x) sin x cos x解：f (x):2 2 sin xcos x2 21 s in x co s x2(1 s in x c o s)1= _(1 亠 sinxcos)211二一si n2x .422 1所以函數(shù)f (x)的最小正周期是？.，最大值是一，最小值是一12分3 419本小

10、題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查綜合運(yùn) 用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.滿分12分.解：函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)：f (x) = 3ax 2 6x -1. 3分(I)當(dāng) f (x) : 0 ( x R )時(shí)，f (x)是減函數(shù).=a ： -3.23ax - 6x -1 : 0(x R) = a : 0且厶=3612a : 0所以，當(dāng)a ： -3時(shí),由f (x) ： 0,知f(x)(xR)是減函數(shù)； 9分32138(II )當(dāng) a - -3 時(shí)，f(x) =3x3 3x2 -x T = 3(x),9由函數(shù)y = x 3在R上的單調(diào)性，可知全國卷數(shù)學(xué)(文)第12頁(共8頁)

11、當(dāng)a -；時(shí)，f (x)(x .二R )是減函數(shù);(川)當(dāng)a . -3時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間，其上有 f (x) .0,所以，當(dāng)a . _3時(shí)，函數(shù)f(x)(xR)不是減函數(shù)綜上，所求a的取值范圍是(一：，_3. 12分20.本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識 解決實(shí)際問題的能力，滿分12分.解：(I)隨機(jī)選出的 3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率為1-10(n)甲、乙被選中且能通過測驗(yàn)的概率為1C 84343C10551 2 512分21本小題主要考查棱錐，二面角和線面關(guān)系等基本知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力滿分12分.(I)解：如圖，作

12、 PO丄平面ABCD，垂足為點(diǎn) O.連結(jié)OB、OA、OD、OB與AD交于 點(diǎn)E,連結(jié)PE./ AD 丄 PB,. AD 丄 OB ,/ PA=PD , OA=OD ,于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以由此知/ PEB為面PAD與面 ABCD所成二面角的平面角， 4分/ PEB=120。，/ PEO=60 由已知可求得PE= . 3PE丄 AD 33 PO=PE sin60 = 32 23 即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為 6分2(II )解法一：如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA.P(0,0,3), B(0, U,0), PB 中點(diǎn)2 2G的坐標(biāo)為(0,U,3).連結(jié) AG

13、44又知A（1,竺,030,C( -2,23 ,0）.由此得到233GA =(1,),44333PB =(0,),BC 二(-2,0,0).22于是有 GA PB 二 0, BC PB 二 0全國卷數(shù)學(xué)（文）第16頁（共8頁）所以 GA _ PB BC _ PB. GA, BC 的夾角 j等于所求二面角的平面角， 10分GA BC于疋 cos =:|GA | |BC |所以所求二面角的大小為二-arccos712分2解法二：如圖，取PB的中點(diǎn) G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF,貝U AG丄PB, FG/BC ,1FG= BC.2/ AD 丄 PB,. BC丄 PB, FG丄 PB,/ A

14、GF是所求二面角的平面角.9分/ AD 丄面 POB , AD 丄 EG又 PE=BE , EG丄 PB,且/ PEG=60 .在 Rt PEG 中，EG=PE cos601在 Rt PEG 中，EG= AD=1.2于是 tan/ GAE=EG爲(wèi)又/ AGF= n -/ GAE.所以所求二面角的大小為n - arctan 12分2AE22.（本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想 和綜合解題能力.滿分14分.解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組2x2-y 1,ax y = 1.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得2 2 2 2(1 a ) x +2a x 2a =0. 21 -a 鼻 0.424a - 8a (1-a2)解得 0 ： a ： 、2 且 a-1.-