2020-2021學年數學高中北師大版選修2-2課后習題：3.1.2 函數的極值 含解析

1、祝學子學業(yè)有成，取得好成績1.2函數的極值課后訓練案鞏固提升a組1。如圖是函數f（x)=x3+bx2+cx+d的大致圖像，則x12+x22等于（)a。23b.43c。83d。123解析:函數f（x）=x3+bx2+cx+d的圖像過點（0，0),（1,0），（2，0)，d=0，b+c+1=0,4b+2c+8=0.b=3，c=2.f(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2，且x1,x2是函數f(x)的兩個極值點,即x1，x2是方程3x26x+2=0的兩根,x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=443=83.答案:c2。設函數f（x）在r上可導,其導函數為f（x),且函數f（x)在x=-

2、2處取得極小值,則函數y=xf(x)的圖像可能是()解析：由函數f(x)在x=2處取得極小值，可知x-2時f（x)0,則xf（x)0;x-2時，f（x）0，則當-2x0時,xf（x）0。答案:c3。已知函數f（x）=x3px2qx的圖像與x軸切于點(1，0)，則f（x)有()a。極大值為427,極小值為0b。極大值為0,極小值為427c。極小值為-427，極大值為0d。極大值為-427,極小值為0解析：f(x）=3x22pxq，f(1)=32p-q=0。又f(1）=1p-q=0，由解得p=2，q=1,即f(x）=x3-2x2+x，f（x)=3x24x+1,令3x24x+1=0，解得x1=13,

3、x2=1。當x13時，f(x）0;當13x1時,f（x）0.當x=13時，f（x)有極大值427，當x=1時,f（x)有極小值0.答案：a4.若函數f(x)=sin x-kx存在極值，則實數k的取值范圍是（）a.（1,1）b。0,1)c.(1,+）d。(-,-1）解析:f(x）=cos x-k，當k1時，f(x）0,此時f（x）在定義域上是減少的，無極值，當k1時，f(x）0，此時f（x)在定義域上是增加的,也無極值;當1k1時,令f（x）=0，得cos x=k，從而可以確定x的值,使f（x）在定義域內存在極值，因此實數k的取值范圍是(-1,1）。答案：a5。若函數f（x）=x36x2+9x-

4、10a有三個零點，則實數a的取值范圍是（)a。(-,-10)b。(6，+）c。(-10,6)d。（,-10)(-6，+）解析：令f(x）=0,得x3-6x2+9x10=a,令g(x)=x36x2+9x-10，則g（x）=3x212x+9=3(x1)(x-3)。由g(x）=0，得x=1或x=3.當x1或x3時,g（x)0,g(x)是增加的;當1x3時，g(x)0，g（x）是減少的.所以g（x）的極大值為g(1)=-6,g(x）的極小值為g（3)=-10。作出函數g（x)的大致圖像如圖所示.函數f（x)有三個零點,即直線y=a與函數g(x)的圖像有三個交點,所以-10a-6,故選c.答案：c6.函

5、數f(x)=-ln x+x的極小值等于.解析:f（x)=11x,令f（x）=0，則x=1。當x變化時，f(x）,f（x）的變化情況如下表所示：x（0，1）1（1,+）f（x)-0+f(x）極小值故f(x）的極小值是f(1)=1.答案：17。若函數f(x)=x3+x2ax-4在區(qū)間(-1,1)上恰有一個極值點，則實數a的取值范圍是。解析：由題意知，f(x)=3x2+2x-a,則f(1）f（1)0），且f(x）9x=0的兩根分別為1，4.(1）當a=3且曲線y=f(x）的圖像過原點時,求f（x)的解析式;(2)若f(x）在(-,+）內無極值點,求a的取值范圍.解(1）由f（x）=a3x3+bx2+

6、cx+d，得f(x)=ax2+2bx+c.f(x）-9x=ax2+2bx+c9x=0的兩根為1,4，a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,a=3.a=3,b=-3,c=12.又f(x）=a3x3+bx2+cx+d過原點,d=0.f(x)=x33x2+12x。（2）a0,f（x)=a3x3+bx2+cx+d在（,+)內無極值點等價于f（x）=ax2+2bx+c0在(,+）內恒成立.由(1)知a+2b+c-9=0，16a+8b+c36=0，2b=95a,c=4a.f（x)0在（,+）內恒成立，=（2b)2-4ac=(9-5a)216a2=9(a-1）（a-9)0。a1,9,即a的取值范

7、圍為1，9.10.導學號88184036已知函數f(x）=xaln x（ar）.（1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點a（1,f(1)處的切線方程。(2)求函數f(x)的極值。解函數f（x)的定義域為（0,+),f(x）=1ax.（1)當a=2時，f（x）=x-2ln x，f(x)=12x(x0)，f(1)=1,f(1）=1.y=f（x）在點a（1,f（1）處的切線方程為y1=（x1)，即x+y2=0。(2)由f（x)=1-ax=x-ax，x0，可知當a0時,f（x）0，函數f(x)在(0，+）上是增加的,函數f（x）無極值。當a0時，由f（x）=0,解得x=a，x(0,a)時，f（x）0,

8、x(a,+)時，f(x）0，f(x）在x=a處取得極小值,且極小值為f（a)=a-aln a，無極大值.綜上可知，當a0時,函數f(x）無極值,當a0時，函數f（x)在x=a處取極小值a-aln a，無極大值。b組1.已知函數f(x）=ax3+bx2+c，其導函數圖像如圖所示，則函數f（x）的極小值是（)a。a+b+cb.8a+4b+cc。3a+2bd.c解析：由導函數的圖像可知,f（x)在（-，0)上是減少的，在（0，2)上是增加的,所以f(x)在x=0時取得極小值為c。答案:d2.設函數f（x)=x34x+a,0a2,若f（x）的三個零點為x1，x2,x3,且x1x2x3,則（）a。x11

9、b.x20c.x20d.x32解析:函數f（x）=x34x+a,0a0;在x-233,233上，f(x)0；在x233,+上,f（x)0。f-233是極大值,f233是極小值.又f（x)的三個零點為x1，x2,x3，且x1x2x3,可得x1-233，233x2233，x3233,根據f（0)=a0,且f233=a-1639x20。答案:c3.已知f（x)=x36x2+9x-abc，ab0;f（0）f(1）0；f(0)f(3）0.其中正確的結論序號為。解析：設g（x)=x3-6x2+9x=0，則x1=0,x2=x3=3,其圖像如圖（1）.圖（1）要使f（x)=x3-6x2+9xabc有3個零點，

10、須將g（x）的圖像向下平移,如圖(2).圖（2）又f（x)=3x2-12x+9=0時，x1=1，x2=3，即得f（1)是極大值，f（3)是極小值，所以f（0)f(1)0。答案:4。導學號88184037已知函數f(x)=13x3+12(a1）x2+ax（ar).(1）若f(x)在x=2處取得極值，求f(x）的遞增區(qū)間.(2)若f(x）在區(qū)間（0,1)內有極大值和極小值，求實數a的取值范圍。解f(x）=x2+（a-1)x+a（1)因為f（x）在x=2處取得極值，所以f(2)=0.所以4+2（a1)+a=0。所以a=23.所以f(x）=x2-53x-23=x+13（x2).令f（x)0，則x+13（x-2)0，所以x2或x13。所以函數f(x)的遞增區(qū)間為-,-13,（2，+）。(2)因為f(x)在區(qū)間(0,1)內有極大值和極小值,所以f(x)=0在(0,1)內