2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教B版選擇性必修第三冊(cè)課時(shí)分層作業(yè)：5.5 數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析

1、課時(shí)分層作業(yè)(十)數(shù)學(xué)歸納法(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nn)，第一步驗(yàn)證()an1bn2cn3dn4c由題知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3是否成立2已知f(n)，則()af(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)bf(n)共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)cf(n)共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)df(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)d結(jié)合f(n)中各項(xiàng)的特征可知，分子均為1，分母為n，n1，n2的連續(xù)自然數(shù)共有n2n1個(gè)，且f(2).3用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1(nn)時(shí)，等式左邊應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()ak21b(k1)2c.d(k21

2、)(k22)(k23)(k1)2d當(dāng)nk時(shí)，等式左邊12k2，當(dāng)nk1時(shí)，等式左邊12k2(k21)(k1)2，故選d.4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()a若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立c若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)k2成立d若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立d對(duì)于a，若f(3)9成立，由題意只可得出當(dāng)k3時(shí)，均有f(k)k2成立，故a錯(cuò)；對(duì)于b，若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)均有

3、f(k)k2成立，故b錯(cuò)；對(duì)于c，應(yīng)改為“若f(7)49成立，則當(dāng)k7時(shí)，均有f(k)k2成立”5k(k3，且kn*)棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()af(k)k1bf(k)kcf(k)k1df(k)k2c三棱柱有0個(gè)對(duì)角面，四棱柱有2個(gè)對(duì)角面，五棱柱有5個(gè)對(duì)角面，六棱柱有9個(gè)對(duì)角面，猜想：若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k1)棱柱有f(k)k1個(gè)對(duì)角面二、填空題6若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f

4、(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2，即f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.7用數(shù)學(xué)歸納法證明1，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上_因?yàn)楫?dāng)nk時(shí)，左端1，當(dāng)nk1時(shí)，左端1.所以，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上.8已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a11，snn2an(nn*)，依次計(jì)算出s1，s2，s3，s4后，可猜想sn的表達(dá)式為_(kāi)sns11，s2，s3，s4，猜想sn.三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明：13(2n1)n2(nn)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，等式成立，即13(2k1)k2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，13(2k1)2(k1)1k22(

5、k1)1k22k1(k1)2.也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)等式成立根據(jù)(1)和(2)可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明：11)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即1k，則當(dāng)nk1時(shí)，有1kkk1，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立由(1)和(2)知，對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立11用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成()a假設(shè)n2k1(kn)時(shí)正確，再推n2k3時(shí)正確b假設(shè)n2k1(kn)時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確c假設(shè)nk(kn)時(shí)正確，再推nk1時(shí)正確d假設(shè)nk(kn)時(shí)正確，再推nk2時(shí)

6、正確bn為正奇數(shù)，在證明時(shí)，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)n2k1(kn)時(shí)正確，再推出n2k1時(shí)正確故選b.12對(duì)于不等式n1(nn)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(n2)的過(guò)程中，由nk遞推到nk1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)_和_，減少了一項(xiàng)_nk時(shí)，左邊為，nk1時(shí)，左邊為，比較可知增加了兩項(xiàng)：和，減少了一項(xiàng).14已知f(n)1(nn*)，證明不等式f(2n)時(shí)，f(2k1)比f(wàn)(2k)多的項(xiàng)數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)2k觀(guān)察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(wàn)(2k)多了2k項(xiàng)15設(shè)函數(shù)yf(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(nn)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200f(0)0.(2)f(1)1，f(2)f(11)1124，f(3)f(21)412219，f(4)f(31)9123116.(3)猜想f(n)n2，下面用數(shù)學(xué)歸