DVD在線租賃數(shù)學(xué)建模論文

1、國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組2005 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽的題目是：b 題：dvd 在線租

2、賃我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜簢揽拼髤①愱?duì)員 (打印并簽名) ：1.劉健2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人張?jiān)瓢怖顚毦?打印并簽名)： 指導(dǎo)教師組日期：2005年 9 月 19 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)1國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組2005 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

3、全國一等獎(jiǎng)2國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢玻笇?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組dvd 在線租賃摘要本問題是一個(gè) dvd 在線租賃中，網(wǎng)站方如何對(duì)于市場(chǎng)進(jìn)行需求預(yù)測(cè)、如何對(duì) dvd進(jìn)行分配才能同時(shí)最好的實(shí)現(xiàn)其經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。第一問中，基于需求預(yù)測(cè)基礎(chǔ)上的 dvd 購買方案設(shè)計(jì)中，我們分別考慮了悲觀情況和均值情況。為了保證希望看到某種 dvd 的會(huì)員中，有 50%以上在一個(gè)月內(nèi)能看到該 dvd，在悲觀情況下，各種 dvd 的購買量分別為：9000，4500，2250，1125，450。在均值情況下，各種 dvd 的購買量分別為：6250，3125，1563，720，313。為了保證在三個(gè)月內(nèi) 95%以上

4、的會(huì)員能夠看到，在悲觀情況下，各種 dvd 的購買量分別為：4500，2250，1125，563，225。在均值情況下，各種 dvd 的購買量分別為：3959，1980，990，495，198。最后，不考慮具體的會(huì)員的借還 dvd 時(shí)間，我們使用概率的方法解決了該問題。結(jié)果與均值情況相近。對(duì)于第二問，對(duì)于當(dāng)前訂單的分配方案確定。我們建立了 0-1 規(guī)劃模型，求得此時(shí)的最大滿意度為 24746，我們給出了此時(shí)的最優(yōu)分配方案。第三問，是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問題，既要考慮使得會(huì)員的滿意度盡量大，還要使得網(wǎng)站所購買的總的 dvd 數(shù)目最少，在具體處理時(shí)，我們讓會(huì)員滿意度在一定的范圍內(nèi)變動(dòng)，給出各種情況下使得

5、總 dvd 數(shù)最少的方案。其中當(dāng)會(huì)員相對(duì)滿意度為 0.8 時(shí)的最少 dvd 總數(shù)為 2059 張。分析第三問的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)了有趣的雙峰現(xiàn)象，并對(duì)其合理性進(jìn)行了闡述。同時(shí)，我們還可以發(fā)現(xiàn)，會(huì)員相對(duì)滿意度與最少 dvd 之間呈現(xiàn)總數(shù)近似線性的關(guān)系。如下表所示：對(duì)于網(wǎng)站而言，其經(jīng)營管理的目的是獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，不同的租賃模式設(shè)置下網(wǎng)站會(huì)得到不同的經(jīng)濟(jì)效益，第四問中我們討論網(wǎng)站經(jīng)營管理的最優(yōu)模式。求得了在一種情況下，限定每月最多租賃兩次的情況下，得到使得網(wǎng)站的效益達(dá)到最大時(shí)，應(yīng)該限定每個(gè)會(huì)員每次租賃最多 2 張 dvd。同時(shí)討論了對(duì)于限定每次最多租賃 3 張 dvd 的情況下，最佳的租賃次數(shù)限制。

6、本文論證嚴(yán)密，所給出的結(jié)果具有啟發(fā)性和借鑒意義。2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)3相對(duì)滿意度0.50.60.70.80.91.0所需 dvd 數(shù)120214861760205925673098國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組一 問題重述隨著信息時(shí)代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度，面向其會(huì)員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項(xiàng)服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢(shì)，包括傳播范圍廣泛、直達(dá)核心消費(fèi)群、強(qiáng)烈的互動(dòng)性、感官性強(qiáng)、成本相對(duì)低廉等，為顧客提供更為周到的服務(wù)?？紤]如下的

7、在線 dvd 租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會(huì)員，訂購 dvd租賃服務(wù)。會(huì)員對(duì)哪些 dvd 有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的訂單包括多張 dvd，這些 dvd 是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的 dvd 數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過 2 次，每次獲得 3 張 dvd。會(huì)員看完 3 張 dvd 之后，只需要將 dvd 放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。請(qǐng)考慮以下問題：1）網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的 dvd，通過問卷調(diào)查 1000 個(gè)會(huì)員，得到了愿意觀看這些dvd 的人數(shù)（表 1 給出了

8、其中 5 種 dvd 的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會(huì)員每月租賃 dvd 兩次，而另外的 40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有 10 萬個(gè)會(huì)員，對(duì)表1 中的每種 dvd 來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該 dvd 的會(huì)員中至少 50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該 dvd？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少 95%的會(huì)員能夠看到該 dvd 呢？2）表 2 中列出了網(wǎng)站手上 100 種 dvd 的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的 1000 位會(huì)員的在線 訂 單 （ 表2的 數(shù) 據(jù) 格 式 示 例 如 下 表2 ， 具 體 數(shù) 據(jù) 請(qǐng) 從 下載），如何對(duì)這些 dvd 進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿意度？請(qǐng)具體列

9、出前 30 位會(huì)員（即 c0001c0030）分別獲得哪些 dvd。3）繼續(xù)考慮表 2，并假設(shè)表 2 中 dvd 的現(xiàn)有數(shù)量全部為 0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種 dvd 的購買量，以及如何對(duì)這些 dvd 進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi) 95%的會(huì)員得到他想看的 dvd，并且滿意度最大？4）如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在 dvd 的需求預(yù)測(cè)、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請(qǐng)明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)4國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組二背景介紹dvd 在線租賃業(yè)務(wù)是一項(xiàng)近年來在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)高度發(fā)

10、展的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的新業(yè)務(wù)。1998 年，成立于美國的 nexfix 是目前炙手可熱的 dvd 在線租賃商。該公司有多種 dvd 出租業(yè)務(wù)。其中，典型的是一種這樣的：顧客每月繳納 19.9 美元成為會(huì)員。定購 dvd 租賃服務(wù)。顧客對(duì)哪些 dvd 感興趣，只須在線提交訂單，網(wǎng)站收到顧客的訂單之后，會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的 dvd 數(shù)量和會(huì)員的訂單盡可能將 dvd 以快遞的方式投遞給會(huì)員。一般情況下，在一天之內(nèi)，網(wǎng)站即可將會(huì)員所需的 dvd 送到會(huì)員手中，會(huì)員每次最多得到 3 張 dvd。每個(gè)月訂購的次數(shù)是有限的，顧客拿到這些 dvd 之后可以無限期的保留這些 dvd，前提是在這段時(shí)期內(nèi)，他仍然是該網(wǎng)站的會(huì)

11、員。如果會(huì)員想拿進(jìn)行下一次租賃，則它必須首先將手上的 dvd 放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回。之后，即可進(jìn)行下一次租賃。三 問題分析本問題是一個(gè)在 dvd 租賃業(yè)務(wù)中，網(wǎng)站方如何進(jìn)行 dvd 需求預(yù)測(cè)、如何購置新dvd、如何將手頭的 dvd 分配給會(huì)員，從而可以保證會(huì)員滿意而同時(shí)又使自己收到良好的經(jīng)濟(jì)效益的問題。第一問中，1000 個(gè)會(huì)員的調(diào)查表即是 10 萬個(gè)會(huì)員的需求預(yù)測(cè)。由于具體會(huì)員訂單的不可確知性，無法考慮“每個(gè)會(huì)員每次最多獲得 3 張 dvd”的約束，同時(shí)各種 dvd之間的橫向數(shù)量約束也無法考慮。故計(jì)算時(shí)，對(duì)于每種 dvd 的購買量可單獨(dú)考慮。此時(shí)，由于每月租賃兩次 dvd 會(huì)員的不確定性

12、，我們可以以均值情況估計(jì)和最悲觀情況估計(jì)。第二問中，網(wǎng)站給出了網(wǎng)站手上 100 種 dvd 的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的 1000 位會(huì)員的再現(xiàn)訂單。要求我們給出一個(gè)使得會(huì)員總的滿意度最大的分配方案。顯然這是一個(gè)大規(guī)模的 01 規(guī)劃問題。第三問中綜合考慮一個(gè)月內(nèi) dvd 的購買分配方案，這其實(shí)是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃的問題。從網(wǎng)站的經(jīng)濟(jì)效益角度考慮看，在保證所有會(huì)員中 95%以上的會(huì)員一個(gè)月內(nèi)看到自己想看的 dvd 的情況下，希望購買的 dvd 盡量少，但是從其社會(huì)效應(yīng)來看，則要盡可能地考慮讓所有會(huì)員的總的滿意度最大。這時(shí)，可以使用多種方式將多目標(biāo)規(guī)劃變?yōu)閱文繕?biāo)規(guī)劃，以求得一個(gè)經(jīng)濟(jì)效益與社會(huì)效益的綜合最

13、優(yōu)。具體的 1000 位會(huì)員中到底會(huì)有哪些會(huì)員是可能會(huì)在一個(gè)月內(nèi)租賃兩次 dvd，這個(gè)數(shù)據(jù)我們無從得知。我們可以隨機(jī)地從 1000 名會(huì)員中選擇 600 名。認(rèn)為這些會(huì)員將會(huì)在一個(gè)月內(nèi)兩次租賃 dvd，由于所給數(shù)據(jù)的均勻性，無論是哪 600 名會(huì)員將會(huì)兩次租賃 dvd，對(duì)目標(biāo)影響并不會(huì)很大。對(duì)于網(wǎng)站而言，其經(jīng)營管理的目的是獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，不同的租賃模式設(shè)置下網(wǎng)站會(huì)得到不同的經(jīng)濟(jì)效益，第四問中我們討論網(wǎng)站經(jīng)營管理的最優(yōu)模式。2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)5國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組四 符號(hào)說明cij第 i 名會(huì)員獲得第 j 張 dvd 時(shí)的滿意度。

14、xij第 i 名會(huì)員獲得第 j 張 dvd 時(shí)，xij = 1，反之為 0dib jc ：di = 1時(shí)，第 i 名會(huì)員在該月兩次租賃 dvd，反之為 0網(wǎng)站第 j 種 dvd 的擁有量網(wǎng)站每月收向每位會(huì)員取的月費(fèi)。xij1：第 i 名會(huì)員第一次分配時(shí)獲得第 j 張 dvd 時(shí)，xij1 = 1，反之為 0xij 2：第 i 名會(huì)員第一次分配時(shí)獲得第 j 張 dvd 時(shí)，xij 2 = 1，反之為 0五 基本假設(shè)1網(wǎng)站對(duì) 1000 名會(huì)員的調(diào)查結(jié)果足以反映網(wǎng)站的 10 萬名會(huì)員對(duì)于各種 dvd 的需求及喜好2會(huì)員中總是有 60%的會(huì)員每月租賃 dvd 兩次，40%的會(huì)員每月租賃 dvd 一次3

15、會(huì)員只有在需要再次租賃 dvd 時(shí)，才會(huì)將將上次租賃的 dvd 歸還。4因?yàn)?60%的會(huì)員每月租賃 2 次 dvd，40%的會(huì)員每月租賃 1 次 dvd，所以假設(shè)每位會(huì)員每月至少會(huì)租賃 1 次。5如果會(huì)員對(duì)某種 dvd 感興趣，但是本次提交訂單后，并沒有得到該 dvd 則他的下一份訂單中仍然會(huì)有興趣觀看該 dvd6網(wǎng)站對(duì)于會(huì)員歸還 dvd 的期限不作限制。7對(duì)于每一類被租賃出去的 dvd總是有 60%分布在每個(gè)月會(huì)租賃兩次 dvd的會(huì)員中，40%分布在每月租賃一次 dvd 的會(huì)員中。8會(huì)員在一個(gè)月內(nèi)只要看到一張他想看到的 dvd 就認(rèn)為他看到了想看的 dvd.2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

16、全國一等獎(jiǎng)6國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組六、模型的建立與求解61dvd 購置方案的確定通過對(duì) 1000 個(gè)會(huì)員的調(diào)查問卷，網(wǎng)站可以獲得其 10 萬個(gè)會(huì)員對(duì)于各種 dvd 的需求狀況，在制定訂購方案時(shí)，可以不用考慮每個(gè)會(huì)員每次最多租賃 3 張 dvd 的限制。同時(shí)不考慮各種 dvd 數(shù)量之間的橫向聯(lián)系，而對(duì)每種 dvd 單獨(dú)考慮其購買量。我們稱每個(gè)月內(nèi)只租賃一次 dvd 的會(huì)員為 1 類會(huì)員，每個(gè)月內(nèi)租賃兩次 dvd 的會(huì)員為 2 類會(huì)員。此時(shí)，由于每個(gè)月內(nèi)會(huì)兩次租賃 dvd 會(huì)員的不確定性，在制定 dvd的購買方案時(shí)我們分別考慮悲觀情況估計(jì)及均值估計(jì)兩種方式。611

17、 悲觀情況估計(jì)a）50%情形對(duì)于某種 dvd，如 dvd1，假設(shè)其購買量為 m，而希望看到 dvd1 的會(huì)員有 2 萬人，假設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間的租賃后，dvd1 都已被租賃出去，這 m 張 dvd 可能在占總會(huì)員 60%的該月將要租賃兩次 dvd 的人的手中，也可能在另外 40%該月只租賃一次 dvd 的會(huì)員手中。如果在前者手中，則一個(gè)月內(nèi)該 dvd 還可被其余會(huì)員看到，但是如果在 40%的人手中時(shí)，則該 dvd 在這個(gè)月內(nèi)不會(huì)再被其余會(huì)員看到?？紤]一種悲觀情況，m 的一部分首先被占總會(huì)員 40%的會(huì)員借走了，這部分人借了就不會(huì)在該月再還。為了保證至少有 50%的會(huì)員在一個(gè)月內(nèi)能看到該 dvd,那

18、么此時(shí)總的碟數(shù)應(yīng)該滿足：40% *20000 + (m - 40% * 20000) *250% * 20000上式的意義是：在悲觀情況下，占想看到 dvd1 的會(huì)員 40%的會(huì)員令其都租賃到dvd1，并且在一個(gè)月內(nèi)不還，另外 60%的會(huì)員中有部分租到 dvd1 并且在一個(gè)月內(nèi)該dvd 只被第二個(gè)會(huì)員看到。此時(shí)m 9000同理，對(duì)于其他的 dvd 也有類似的表達(dá)式。此時(shí)為保證一個(gè)月內(nèi)至少 50%的會(huì)員看到他想看到的 dvd，則每種 dvd 的購買量為：表 1b) 95%情形基于上述悲觀情況，要使三個(gè)月內(nèi) 95%的會(huì)員能夠看到該 dvd，則（以 dvd1 為例）：m + (2m - 40% *

19、2000) *2 + (40% *20000 - m) + 2m95% * 20000求得m 4500同理，對(duì)于其他的各種 dvd，要保證三個(gè)月內(nèi)至少 95%的會(huì)員看到他想看得 dvd,則每種 dvd 的購買量為：表 22005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)7dvd 種類dvd1dvd2dvd3dvd4dvd5購買量9000450022501125450dvd 種類dvd1dvd2dvd3dvd4dvd5購買量450022501125563225國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組612 均值情況估計(jì)現(xiàn)實(shí)情況是這樣的，dvd 在線租賃是一個(gè)實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的業(yè)務(wù)，在每個(gè)月的

20、每一天內(nèi)，都會(huì)有顧客提交訂單，同時(shí)也會(huì)有會(huì)員歸還已借的 dvd。這種會(huì)員訂單的提交以及 dvd的歸還是服從參數(shù)為 l 的泊松分布的。但是考慮一種平均的情況我們可以認(rèn)為：所有的會(huì)員在每個(gè)月的某天（不妨假設(shè)為 1 號(hào)）要提交訂單，同時(shí)那些需要租賃兩次 dvd 的人也集中在 15 號(hào)的時(shí)候歸還已租賃的 dvd 并提交下一份訂單。如果認(rèn)為會(huì)員租賃、歸還的時(shí)間服從泊松分布，對(duì)該分布進(jìn)行長(zhǎng)期考察，可以發(fā)現(xiàn)上述的簡(jiǎn)化不過是泊松分布時(shí)的平均情況。因而，我們?cè)谔幚頃r(shí)可以不必考慮每個(gè)會(huì)員的具體租賃、歸還 dvd 的時(shí)間，而只考慮每個(gè)月內(nèi)兩次的分配方案，即 1 號(hào)和 15 號(hào)的分配方案。同時(shí)，在 dvd 被租賃出去

21、后，對(duì)于某種 dvd，從平均意義上看，應(yīng)該是均勻的分布在每月只租賃 1 次 dvd 的會(huì)員和每月租賃兩次 dvd 的會(huì)員中，即是說在 15 號(hào)，該dvd 將有 60%被歸還。a)50%情形在上述所說的網(wǎng)站運(yùn)營模式下，設(shè) dvd1 有 m 張，則在 1 號(hào)時(shí)被分配出去，在 15 號(hào)時(shí)，又有 0.6m 張被歸還。這樣，為保證 1 個(gè)月內(nèi)至少 50%的會(huì)員時(shí)看到該 dvd 則應(yīng)滿足：1.6m 50% 20000 m 6250即 dvd 至少準(zhǔn)備 6250 張。同理可得其余 dvd 應(yīng)該準(zhǔn)備的數(shù)量。此時(shí)結(jié)果為：表 3b)95%情形對(duì)于要使 3 個(gè)月內(nèi)希望看到該 dvd 的會(huì)員中 95%看到該 dvd

22、則考慮一下過程：2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)8時(shí)間已看到該 dvd 的會(huì)員數(shù)想看到但并未看到的會(huì)員數(shù)1 月 1 日m20000 - m1 月 15 日m2 = m + min(0.6m, 0.6 (20000 - m)20000 - m22 月 1 日m3 = m2 + min(m, 20000 - m2 )20000 - m32 月 15 日m4 = m3 + min(0.6m, 0.6 (20000 - m3 )20000 - m43 月 1 日m5 = m4 + min(m, 20000 - m4 )20000 - m53 月 15 日m6 = m5 + min(0.6m

23、, 0.6 (20000 - m5 )20000 - m6dvd 種類dvd1dvd2dvd3dvd4dvd5購買量625031251563782313國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組要使三個(gè)月內(nèi)希望看到某種 dvd 的會(huì)員中至少 95%的會(huì)員能夠看到該 dvd，則要使：20000 - m6 20000 5%此時(shí)，計(jì)算得m 3959同理，求得為使三個(gè)月內(nèi)希望看到該 dvd，則每種 dvd 的購買數(shù)量如下表所示：613 理論證明事實(shí)上，不必認(rèn)為所有的人都在 1 號(hào)的時(shí)候來借 dvd，我們可以從理論求解該問題。假設(shè)某種 dvd 一個(gè)月內(nèi)被看到一次的概率為 0.4，被看到兩次

24、的概率為 0.6，則其服從分布：1 2 為使希望看到該 dvd 的會(huì)員中至少 50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該 dvd，即是要求ni=1i 50% * 20000為保證希望看到該 dvd 的會(huì)員中至少 50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該 dvd，則要使得上成立的概率盡可能大，不妨取：ni=1n由于 xi 是獨(dú)立同分布的，且 n 的數(shù)量很大，由中心極限定理知，i =1將其化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即為：i近似服從正態(tài)分布。p(1n*n0.4*0.610000 - 1.6nn * 0.4*0.6)0.95查表可得：10000 -1.6nn * 0.4*0.6 -1.645解得n (0.25 + 0.252 + 6250

25、) 2 6250同理亦可推出均值情況下的其他解。2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)9名稱dvd1dvd2 dvd3dvd4dvd5數(shù)量（張）39591980 990495198 0.4 0.6 xp( xi 50% *20000) 95% x=i 1 (xi -1.6)國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組62100 種 dvd 對(duì)于 1000 個(gè)會(huì)員在線訂單的分配621 模型建立在問題 2 中，網(wǎng)站當(dāng)前需要處理 1000 位會(huì)員的在線訂單。網(wǎng)站手上現(xiàn)有數(shù)量有限的 100種 dvd 進(jìn)行分配，并使所有會(huì)員的滿意度最高。在此先對(duì)滿意度的定義給一說明，設(shè)第 i 個(gè)會(huì)員對(duì)

26、第 j 種 dvd 感興趣，并且在他的訂單中，給出的偏愛程度為aij,則第 i個(gè)會(huì)員獲得第 j種 dvd 時(shí)的滿意度為cij = 11 - aij。此時(shí)，在最好情況下每個(gè)會(huì)員的滿意度最大為 27，定義第 i 個(gè)人的個(gè)人相對(duì)滿意度為：ci =其中, ci 表示第 i 個(gè)人的滿意度。建立如下的 01 規(guī)劃模型：ci27max1000 100i=1 j =1ij ijc員的訂單中，給出的偏愛程度為 a，則相應(yīng)的s.t每個(gè)會(huì)員每次最多獲得 3 張 dvd100 3ijj =1每種碟的總數(shù)的約束：1000 bjiji =101 的約束：1000= 0或者1iji =12005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全

27、國一等獎(jiǎng)cij為 11-a,其余為 010 c x其中， ij 以喜好程度表示的會(huì)員的滿意度，對(duì)于會(huì)員感興趣的 dvd 如果在會(huì) x x x國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組622 模型求解使用 lingo 軟件求解上述模型，得到使得所有會(huì)員滿意度最大的分配方案。在該方案下，所有會(huì)員的滿意度為 24746。給出分配后，前 30 位會(huì)員獲得的 dvd 情況如表 4：表 42005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)11會(huì)員c0001c0002c0003c0004c0005dvd編號(hào)008041098006044062032050080007018041011066068序號(hào)

28、10481097791010988109會(huì)員c0016c0017c0018c0019c0020dvd編號(hào)010084097047051067041060078066084086045061089序號(hào)71099810109871091089會(huì)員c0006c0007c0008c0009c0010dvd編號(hào)019053066008026081031100041055085019053序號(hào)1097981071089598會(huì)員c0011c0012c0013c0014c0015dvd編號(hào)059063066002031041021078096023052089013052085序號(hào)1097910489109

29、1051078會(huì)員c0021c0022c0023c0024c0025dvd編號(hào)045050053038055057029081095037041076009069081序號(hào)96108910981079101097會(huì)員c0026c0027c0028c0029c0030dvd編號(hào)022068095050058078008034082026030055037062098序號(hào)10987104109879109106國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組下圖給出 1000 位會(huì)員的個(gè)人滿意度統(tǒng)計(jì)情況：fig1上圖中，橫軸表示個(gè)人滿意度，縱軸表示相應(yīng)個(gè)人滿意度的會(huì)員?？梢?，絕大部分的會(huì)員

30、其滿意度都在 0.8 以上?？梢?，該分配方案是很好的。63一個(gè)月的 dvd 分配方案631 模型建立前述 6.2 中只討論了 1 次分配的最優(yōu)性問題，下面，我們來考慮一個(gè)月內(nèi)如何分配，如何購置 dvd 才能使得會(huì)員的滿意度最大。并且滿足 95%的會(huì)員得到他想看到的dvd。這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃的問題。從自己的經(jīng)濟(jì)利益出發(fā)，網(wǎng)站希望所需購買的 dvd 越少越好，而從自己的社會(huì)效應(yīng)出發(fā)，網(wǎng)站希望盡可能提高會(huì)員的滿意度。我們考慮如前 6.1 所述的均值情況，即所有的會(huì)員均在每月的 1 號(hào)租賃 dvd，對(duì)于當(dāng)月只租賃 1 次 dvd 的會(huì)員，他們將 dvd 保留到下一個(gè)月，對(duì)于當(dāng)月租賃兩次的會(huì)員，均在當(dāng)月

31、的 15 號(hào)歸還，同時(shí)租賃第二次。這樣，在一個(gè)月內(nèi)，我們只需考慮對(duì)所有 dvd 做兩次分配即可。即 1 號(hào)分配方案和 15 號(hào)分配方案。由于占會(huì)員 60%的該月租賃兩次 dvd 的人員無法確切預(yù)知，我們采取從 1000個(gè)會(huì)員中隨機(jī)選取 600 名讓其該月租賃兩次 dvd。由于題目中所給訂單數(shù)據(jù)的均勻值，不會(huì)出現(xiàn)選取不同的 600 名會(huì)員時(shí)，最終結(jié)果偏差很大的情況，我們認(rèn)為這樣做是合理的。同時(shí)，當(dāng)這種隨即的選取數(shù)次之后，一個(gè)平均的結(jié)果可以認(rèn)為是合理的。對(duì)于滿意度的定義，我們考慮一個(gè)相對(duì)滿意度的概念，在最理想的概念，在最理想的情況下，第一次分配時(shí)兩個(gè)會(huì)員都獲得自己最滿意的 3 張 dvd，在第二次

32、分配時(shí)，2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)12國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組參與分配的每個(gè)會(huì)員都獲得此時(shí)自己最滿意的 3 張 dvd。在第二次分配時(shí)，參與分配的每個(gè)會(huì)員都獲得此時(shí)自己最滿意的 3 張 dvd。這種情況下的總體滿意度為600 45 + 400 27 = 37800假設(shè)某種分配方案的總體滿意度為 c ，則定義其相對(duì)滿意度為c =c37800基于上述幾點(diǎn)考慮，該問題轉(zhuǎn)化為如下的 01 規(guī)劃模型：max1000 100i=1 j =1ij ij11000 100i=1 j=1min其中：100j =1jxij1 = 0xij 2 = 0第1次分配時(shí)第

33、i名會(huì)員獲得第j張dvd第1次分配時(shí)第i名會(huì)員未獲得第j張dvd第2次分配時(shí)第i名會(huì)員獲得第j張dvd第2次分配時(shí)第i名會(huì)員未獲得第j張dvds.t.第 1 次分配時(shí) dvd 總數(shù)約束：100j =1ij1 b j第 1 次分配時(shí)每名會(huì)員最多獲得 n 張 dvd100j =1ij1 n第 2 次分配時(shí)，dvd 總數(shù)的約束：100j =1ij 2 b j 其中，b j 表示第 2 次分配時(shí)，網(wǎng)站擁有第 j 種 dvd 的數(shù)量1000i=1c j表示第 2 次分配時(shí)占總數(shù) 60%的會(huì)員歸還的第 j 種 dvd 的數(shù)量1000i=12005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)13 c x+ cij

34、xij 2 b11 x x xb j = bj - xij1 + c jc j = xij1di國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組其中， di 隨機(jī)生成，為 1 表示第 i 個(gè)人在該月內(nèi)兩次租賃 dvd，反之為 0。有一部分人未借第二次的約束：xij 2 di第一次已看到的 dvd 第二次就不再租賃了的約束：xij1 + xij 2 1e1i xij1e2i xij 21000 100i=1 j=11000 100i=1 j =10 eki 1上式中， eki =1 表示第 k 次分配時(shí)第 i 個(gè)人在一個(gè)月內(nèi)至少可以看到一張 dvd，反之為 0xij1 = 1或0xij

35、2 = 1或0di = 1或02005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)14e1i xij1e2i xij 2國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組632 模型求解上述為多目標(biāo)規(guī)劃，具體處理時(shí)，可采用線性加權(quán)法等經(jīng)典方法，將多目標(biāo)規(guī)劃變?yōu)榱藛文繕?biāo)規(guī)劃處理。在此，我們將相對(duì)滿意度在一定的范圍內(nèi)變化，分別求出一組在各種滿意度下所需的最少 dvd 數(shù)即相應(yīng)的 dvd 分配方案。我們得到在相對(duì)滿意度在 0.51 之間變化時(shí)，所需最少 dvd 數(shù)如下表所示：表 5從上可以看出，要使?jié)M意度不低于 0.5 至少需要 1202 張 dvd,而要使得總的滿意度達(dá)到 1.0,則至少要 3098

36、 張 dvd.要達(dá)到最好的滿意度，則至少需要 3098 張 dvd.此時(shí)，相對(duì)滿意度和所需 dvd 總數(shù)的關(guān)系圖如下：fig2上圖中橫坐標(biāo)表示會(huì)員總的相對(duì)滿意度，縱坐標(biāo)表示達(dá)到這個(gè)滿意度時(shí)的購買 dvd總數(shù)。從上圖可以看出：隨著滿意度的增加，所需的 dvd 總數(shù)近似線性的增加。這表明：如果要增加總體滿意度，必須以多購買 dvd 為代價(jià)，而且，滿意度的增加與 dvd 總數(shù)的增加近似成一定的比例。2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)15相對(duì)滿意度0.50.60.70.80.91.0所需 dvd 數(shù)120214861760205925673098國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：

37、指導(dǎo)教師組當(dāng)滿意度為 0.9 時(shí)所需的 dvd 購買量：表 62005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)16dvd 種類購買量dvd 種類購買量dvd 種類購買量d00122d03420d06726d00228d03530d06832d00329d03629d06926d00428d03720d07026d00522d03824d07126d00629d03926d07228d00724d04025d07321d00826d04135d07420d00927d04230d07525d01024d04328d07620d01128d04424d07722d01226d04533d07827d0

38、1324d04620d07925d01427d04725d08026d01518d04825d08123d01633d04927d08219d01730d05023d08317d01827d05129d08421d01933d05222d08528d02032d05333d08620d02124d05422d08728d02227d05526d08819d02331d05628d08923d02422d05727d09021d02523d05823d09131d02625d05924d09224d02724d06029d09323d02820d06124d09427d02823d06227d0

39、9527d03028d06330d09620d03129d06434d09731d03224d06528d09828d03324d06630d09918d10027國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢?，指?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組下表給出前 30 位會(huì)員月初（1 號(hào)）時(shí)分配方案表 72005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國一等獎(jiǎng)17會(huì)員c0016c0017c0018c0019c0020dvd編號(hào)084097047067041060081084086045033089序號(hào)10991010961091069會(huì)員c0001c0002c0003c0004c0005dvd編號(hào)00808200604405008000

40、7018041066068序號(hào)1091099101098109會(huì)員c0011c0012c0013c0014c0015dvd編號(hào)059063019002031098078096023052089013052088序號(hào)1098910691091051079會(huì)員c0006c0007c0008c0009c0010dvd編號(hào)019053008026081071099010053100005060067序號(hào)109981010951096107會(huì)員c0021c0022c0023c0024c0025dvd編號(hào)045053086055057029086095041076009069094序號(hào)9107910971

41、09101098會(huì)員c0026c0027c0028c0029c0030dvd編號(hào)022068008050058042008034033030055037062070序號(hào)1095710910969109107國防科技大學(xué)：李寶娟、劉健、張?jiān)瓢玻笇?dǎo)教師：指導(dǎo)教師組相應(yīng)的此時(shí)，會(huì)員的個(gè)人滿意度的分布如下圖所示：fig3對(duì)比 fig1 和 fig3，我們可以發(fā)現(xiàn)，在 fig3 中出現(xiàn)了一個(gè)很奇怪的現(xiàn)象，即會(huì)員的個(gè)人滿意度集中的分布在 0.7 左右和 1 左右。這是為什么呢？其實(shí)在總的 dvd 數(shù)量有限的情況下，為了使得總體的滿意度最大，分配時(shí)總是傾向于讓每月租賃兩次的會(huì)員（稱2 類會(huì)員）盡量多拿到 dvd，這樣才可以保證 dvd 最大限度的利用。那么在此時(shí)，總是首先考慮月內(nèi)租賃兩次的會(huì)員，讓他們得到 3 張 dvd,而其余的人呢只能得到小于 3張的 dvd，這樣，2 類會(huì)員的滿意度總是大約為 1，而 1 類會(huì)員的滿意度總是集中一個(gè)小一些的數(shù)上。從上圖也可以看到，這兩者的比例大致為