2016年四川省高考數(shù)學理科試題含答案

1、2016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學（理工類）本試卷分第 I 卷（選擇題）和第 II 卷（非選擇題） ，第 I 卷 1 至 2 頁，第 II 卷 3 至 4 頁，共 4 頁，滿分 150 分，考試時間 120 分鐘，考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿上答題無效，考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共第10 小題，每小題I 卷（選擇題5 分，共50共50分）分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。1. 設集合A x | 2x2 ， Z 為整數(shù)集，則AZ中元素的個數(shù)是（）（ A）3（ B） 4（C） 5（ D） 62. 設 i

2、 為虛數(shù)單位，則( xi) 6 的展開式中含x4 的項為（）（ A） 15x4（ B） 15x4（ C） 20i x 4（D） 20i x 43. 為了得到函數(shù) yysin 2x 的圖象上所有的點（）sin(2 x) 的圖象，只需把函數(shù)3（ A）向左平行移動個單位長度（ B）向右平行移動個單位長度33（ C）向左平行移動個單位長度（ D）向右平行移動個單位長度664. 用數(shù)字1， 2， 3，4， 5 組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）（ A） 24（ B） 48（C） 60（D） 725. 某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入. 若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130 萬元

3、，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200 萬元的年份是 （）（參考數(shù)據(jù)：lg 1.12 0.05 ， lg 1.3 0.11，lg2 0.30 ）（ A ） 2018 年（ B） 2019 年（ C） 2020 年（ D）2021 年6. 秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法. 如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n， x 的值分別為3， 2，則輸出v 的值為（）（ A）9（B）18（C）20（ D）35yx1,221x

4、, 則 p 是 q 的（）7. 設 p：實數(shù) x， y 滿足 ( x 1) +( y 1)2， q：實數(shù) x， y 滿足 yy1,（ A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件8. 設 O 為坐標原點， P 是以 F 為焦點的拋物線y22 px(p0) 上任意一點， M 是線段 PF 上的點，且PM =2 MF , 則直線 OM的斜率的最大值為（）（ A）3 （B） 2 （C）2 （D）13329. 設直線l1，2 分別是函數(shù)f(x)=ln x,0x1,圖象上點1， 2 處的切線，l1 與l2 垂直相交于點P，且lln x, x1,PPl ， l2分別與 y

5、 軸相交于點 A， B，則 PAB的面積的取值范圍是（）1（ A） (0,1)（ B） (0,2)（C）(0,+ )（D） (1,+ )10. 在平面內，定點 A， B， C， D滿足 DA = DB = DC , DADB = DB DC = DC DA =-2 ，動點 P， M滿足 AP =1， PM =MC ，則 BM2的最大值是（）（A） 43 （B） 49 （C） 376 3（D）37 2 334444第 II 卷（非選擇題 100 分）二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。11.cos 2 sin 2=.8812. 同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬

6、幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2 次試驗中成功次數(shù) X 的均值是.13. 已知三棱錐的四個面都是腰長為2 的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是。133正視圖14. 已知函數(shù)f （ x）是定義在R 上的周期為2 的奇函數(shù)，當0 x1 時， f （x） = 4x ，則 f （）+ f （ 1）( x2y, x2x=。15在平面直角坐標系中， 當 P( x，y) 不是原點時， 定義 P 的“伴隨點” 為 Py2y2 ) ；當 P 是原點時，定義 P 的“伴隨點“為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C 定義為曲線 C的“伴隨曲線” . 現(xiàn)有下列命題：若點 A

7、 的“伴隨點”是點 A ，則點 A 的“伴隨點”是點A單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線 C關于 x 軸對稱，則其“伴隨曲線”C 關于 y 軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是_ （寫出所有真命題的序列）.三、解答題：本大題共6 小題，共75 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16. （本小題滿分 12 分）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x （噸）、一位居民的月用水量不超過x 的部分按平價收費，超出x 的部分按議價收費. 為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100 位居民

8、每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 0,0.5) ， 0.5,1)， ， 4,4.5)分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.頻率組距0.520.40a0.160.120.080.0400.511.522.533.544.5月均用水量（噸）（ I ）求直方圖中a 的值；（ II ）設該市有30 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)，并說明理由；（ III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x （噸），估計 x 的值，并說明理由.17. （本小題滿分 12 分）在 ABC中，角 A, B,C所對的邊分別是a, b, c, 且 cos AcosBsin C

9、 .abc（ I ）證明： sin A sin Bsin C ；（ II ）若 b2c2a26 bc ，求 tan B .518. （本小題滿分 12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中， AD BC，1ADC= PAB=90， BC=CD= AD.E 為棱 AD 的中點，異面直線2PA 與 CD所成的角為90 .PBCADE（ I ）在平面PAB內找一點M，使得直線CM平面 PBE，并說明理由；(II) 若二面角 P-CD-A 的大小為 45，求直線 PA與平面 PCE所成角的正弦值 . 19. （本小題滿分 12 分）已知數(shù)列 an 的首項為1， Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項和， Sn 1

10、qSn1 ，其中 q0， nN * .（ I ）若 2a2 , a3, a22 成等差數(shù)列，求 an 的通項公式；(ii) 設雙曲線 x2y21的離心率為 en ，且 e25e24n3nan2，證明： e1en33n 1.20. （本小題滿分 13 分）已知橢圓 E：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3 個頂點， 直線 l : y=- x+3與橢圓 E 有且只有一個公共點T.（ I ）求橢圓E 的方程及點T 的坐標；（ II）設O是坐標原點，直線l 平行于OT, 與橢圓E 交于不同的兩點A、 B，且與直線l 交于點P. 證明：存在常數(shù)，使得PT 2= PAPB，并求的值.21. （本小題

11、滿分14 分）設函數(shù) f ( x)= ax2- a-ln x，其中 a R.（I ）討論f ( x) 的單調性；（ II）確定a 的所有可能取值，使得f (x)1e1 x 在區(qū)間（1，+）內恒成立(e=2.718 為自然對數(shù)的底x數(shù) ) 。2016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學（理工類）試題參考答案一、選擇題1C2A3D4D5B6B 7A 8 C 9A 10B二、填空題1121231322三、解答題16（本小題滿分12 分）3 14 2 15 3（）由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5) 中的頻率為 0.08 0.5=0.04 ，同理，在 0.5,1) ，1.5,2)，

12、2,2.5) ， 3,3.5) ， 3.5,4) ， 4,4.5) 中的頻率分別為0.08 ，0.20 ， 0.26 ，0.06 ， 0.04 ， 0.02 由 0.04+0.08+0.5 a+0.20+0.26+0.5 a+0.06+0.04+0.02=1 ，解得 a=0.30 （）由（） ， 100 位居民每人月均用水量不低于3 噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30 萬居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)為300 000 0.12=36 000 （）因為前6 組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880

13、.85，而前 5 組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85，所以 2.5 x0)sin Bsin C則 =sin， =sin， = sina kA b kB c kC代入 cos A + cosB = sin C 中，有abccos A +cos B =sin C ，變形可得k sin Ak sin Bk sin Csinsin=sincos+cossin=sin(+ ) ABABABA B在中，由+ +=，有 sin(+ ) =sin( )=sin，ABCA B CA BCC所以 sinAsinB=sinC2226（）由已知，b +c a =bc，根據(jù)

14、余弦定理，有cos A= b2c2a2= 3 2bc5所以 sin A= 1cos2 A =4 5由（），sinsin=sincos+cossin，ABABAB所以 4 sinB= 4 cos B+ 3 sinB，555故 tan B= sin B =4cos B18. （本小題滿分 12 分）（）在梯形ABCD中， AB與 CD不平行 .延長 AB，DC，相交于點M（ M平面 PAB），點 M即為所求的一個點. 理由如下：由已知， BC ED，且 BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形 .從而 CMEB.又 EB 平面 PBE， CM 平面 PBE，所以 CM平面 PBE.（說明：延長A

15、P至點 N，使得 AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（）方法一：由已知， CD PA， CD AD， PAAD=A，所以 CD平面 PAD.從而 CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A 的平面角 .所以PDA=45.設 BC=1，則在 Rt PAD中， PA=AD=2.過點 A 作 AH CE，交 CE的延長線于點H，連接 PH.易知 PA平面 ABCD，從而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面PCE平面 PAH.過 A 作 AQ PH于 Q，則 AQ平面 PCE.所以APH是 PA與平面 PCE所成的角 .在 Rt AEH中， AEH=45， AE=1，所以 AH=2

16、 .2在 Rt PAH中， PH=PA2AH 2=3 2 ，2所以 sinAPH=AH= 1 .PH3方法二：zPMyBCADxE由已知， CD PA， CD AD， PAAD=A，所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.從而PDA是二面角P-CD-A 的平面角 .所以PDA=45.由 PA AB，可得 PA平面 ABCD.設 BC=1，則在 Rt PAD中， PA=AD=2.作 Ay AD，以 A 為原點， 以 AD, AP 的方向分別為 x 軸， z 軸的正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz ，則 A（ 0,0,0）， P（ 0,0,2）， C(2,1,0) ，E(1,0,0)

17、，所以 PE =（ 1,0,-2）， EC =（ 1,1,0 ）， AP =（ 0,0,2 ）設平面 PCE的法向量為 n=(x,y,z)，nPE0,x2z0,設 x=2，解得 n=(2,-2,1).由得xy0,nEC0,設直線 PA與平面 PCE所成角為，則 sin = | n AP |=21 .| n | | AP |222( 2)2123所以直線 PA 與平面 PCE所成角的正弦值為1 .319. （本小題滿分 12 分）（）由已知，Sn 1 qSn 1,Sn 2 qSn 1 1, 兩式相減得到 an 2 qan 1, n 1 .又由 S2 qS1 1得到 a2qa1 ，故 an 1 q

18、an 對所有 n1都成立 .所以，數(shù)列 an 是首項為1，公比為 q 的等比數(shù)列 .n 1從而 an =q .由 2a2，a3， a2 +2成等差數(shù)列，可得 2a3 =3a2 2 ，即 2q20 ，=3q 2, ，則 (2 q+ 1)(q 2)由已知 , q0 ，故q=2 .所以 ann 1*2(nN ) .（）由（）可知，anqn 1 .2所以雙曲線 x2y 21 的離心率 en1an21q2( n 1) .an由 e21q5 解得 q4 .233因為 1+q2( k1)2( k 1)，所以1+q2( k 1)k 1*qq（kN ）.于是 e1e2en1+qqn 1qn1 ，q1故 e1 e

19、24n3nenn 1.320. （本小題滿分13 分）（ I ）由已知， a2b ，則橢圓 E的方程為x2y21 .2b2b2x2y21, 得 3x2(18 2b2 )有方程組 2b2b212x0 . yx3,方程的判別式為=24( b23)，由=0 ，得 b2 =3 ，此時方程的解為x=2 ，所以橢圓 E 的方程為 x2y21 .63點 T 坐標為（ 2,1）.（ II ）由已知可設直線 l的方程為 y1 x m( m0) ，21xm，x22m ，y3有方程組2可得2m .yx3，y12m ,138 m2所以 P 點坐標為（ 22m）， PT.2339設點 A， B的坐標分別為A(x1 , y1)， B(x2 , y2 ) .x2y2，63122由方程組可得12)0 . 13x4mx (4 mx，ym2方程的判別式為=16(92m2 ) ，由0 ，解得3 2m3 2.22由得 x1x2 =4m , x1 x24m212.33所以 PA(22mx )2(12my )25 22mx，3131231同理 PB52m22x2 ，3所以 PAPB5 (22mx1)(22mx2 )4335 (22m )2(22m )( x1x2 ) x1x24335 (22m)2(22m)( 4m)4m2124333310 m2 .94 ，使