2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案新人教A版選修1-1

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案新人教a版選修1-12020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案新人教a版選修1-1年級：姓名：23.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)2.能運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題3.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系.利用直觀想象提升邏輯推理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁基礎(chǔ)認(rèn)識知識點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，你認(rèn)為可以討論拋物線的哪些幾何性質(zhì)？提示：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等 知識梳理拋物線的幾何性質(zhì)設(shè)圖形中的p

2、1(x1，y1)，p2(x2，y2).標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yrx0，yrxr，y0xr，y0對稱軸x軸x軸y軸y軸焦半徑|p1f|x1|p1f|x1|p1f|y1|p1f|y1焦點(diǎn)弦|p1p2|p(x1x2)|p1p2|p(x1x2)|p1p2|p(y1y2)p1p2p(y1y2)頂點(diǎn)(0,0)離心率e1知識點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系知識梳理直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個(gè)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，若0，則直線與拋物線有2個(gè)不同的公共點(diǎn)；若0

3、，直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)；若0)上的一點(diǎn)，則下列點(diǎn)一定在拋物線上的是()a(a，b) b(a，b)c(a，b) d(b，a)答案：b3直線y2x1與拋物線x2y的位置關(guān)系是()a相切 b相交c相離 d不確定答案：c授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁探究一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用閱讀教材p60例3已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)m(2，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程題型：利用拋物線的幾何性質(zhì)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程方法步驟：根據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)m代入標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p的值寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于a，b兩點(diǎn)，

4、o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，aob的面積為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a(2,0)b(1,0)c(8,0) d(4,0)解析因?yàn)?，所以4，于是b23a2，則，故雙曲線的兩條漸近線方程為yx.而拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，所以a，b，則abp，又三角形的高為，則saobp，即p24.因?yàn)閜0，所以p2，故拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)答案b(2)已知雙曲線方程是1，求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程解析因?yàn)殡p曲線1的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，所以2，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x，其準(zhǔn)線方程為x2.方法技巧1.注意拋物線

5、各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對稱軸上，拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對稱軸的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對稱2解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中，通過定義的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)距離之間的轉(zhuǎn)化，簡化解題過程跟蹤探究1.已知拋物線的對稱軸在坐標(biāo)軸上，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)m(1，2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程解析：(1)當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2mx(m0)將點(diǎn)m(1，2)代入，得m4.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x；(2)當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2ny(n0)將點(diǎn)m(1，2)代入，得n.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x

6、2y.故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x或x2y.準(zhǔn)線方程為x1或y.探究二焦點(diǎn)弦問題閱讀教材p61例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y24x的焦點(diǎn)f，且與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)，求線段ab的長題型：焦點(diǎn)弦的計(jì)算方法步驟：寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而由點(diǎn)斜式求出直線l的方程直線與拋物線聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)而不求及根與系數(shù)的關(guān)系由焦點(diǎn)弦公式|ab|px1x2，求出弦ab的長例2已知拋物線方程為y22px(p0)，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，且|ab|p，求ab所在的直線方程解析由題意知焦點(diǎn)f，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，若abx軸，則|ab|2p0

7、，即k1，且k0時(shí)，l與c有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與c相交；當(dāng)0，即k1時(shí)，l與c有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與c相切；當(dāng)1時(shí)，l與c沒有公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與c相離綜上所述，當(dāng)k1或0時(shí)，l與c有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1時(shí)，l與c沒有公共點(diǎn)答案(1)b(2)見解析方法技巧設(shè)直線l：ykxb，拋物線：y22px(p0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合(2)若k20，當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x(

8、或y)的一元二次方程形式：ax2bxc0(或ay2byc0)相交：a.有兩個(gè)交點(diǎn)：b有一個(gè)交點(diǎn)：a0(直線與拋物線的對稱軸平行或重合，即相交)；相切：有一個(gè)公共點(diǎn)，即相離：沒有公共點(diǎn)，即直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，是直線與拋物線相切的必要不充分條件素養(yǎng)培優(yōu)1定點(diǎn)問題已知拋物線y28x的頂點(diǎn)為o，點(diǎn)a，b在拋物線上，且oaob，求證：直線ab經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)證明：設(shè)直線oa的斜率為k，則直線ob的斜率為，則直線oa的方程為ykx，由得a，同理可得b(8k2,8k)，于是直線ab的方程為y8k(x8k2)，整理可得y(x8)，因此直線ab經(jīng)過定點(diǎn)(8,0)方法技巧定點(diǎn)問題的常見解法(1)從特殊位置入手，找

9、出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意(2)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)2定值問題如圖所示，過拋物線y2x上一點(diǎn)a(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線ab，ac交拋物線于b，c兩點(diǎn)，求證：直線bc的斜率是定值證明：設(shè)直線ab的斜率為k(k0)因?yàn)橹本€ab，ac的傾斜角互補(bǔ)，所以直線ac的斜率為k(k0)又直線ab的方程是yk(x4)2.由方程組消去y整理得，k2x2(8k24k1)x16k216k40.因?yàn)閍(4,2)，b(xb，yb)是上述方程組的解，所以4xb，得xb，以k代替xb中的k，得xc