《變化率問題與導數(shù)的概念》導學案

1、第 1 課時 變化率問題與導數(shù)的概念a1. 通過物理中的變化率問題和瞬時速度引入導數(shù)的概念.2. 掌握利用求函數(shù)在某點的平均變化率的極限實現(xiàn)求導數(shù)的基本步驟.3. 通過構建導數(shù)概念 , 使學生體會極限思想 , 為將來學習極限概念積累學習經(jīng)驗 .4. 通過導數(shù)概念的教學教程 , 使學生體會到從特殊到一般的過程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的 重要過程 .借助多媒體播放 2012年倫敦奧運會中國跳水運動員陳若琳奪得女子單人10 米跳臺冠軍的視頻 .上節(jié)課我們已經(jīng)學習了平均變化率的問題 , 我們知道運動員的平均速度不一定能夠 反映她在某一時刻的運動狀態(tài) , 而運動員在不同時刻的運動狀態(tài)是不同的, 我們需要借助于

2、瞬時速度這樣的量來刻畫 , 那么我們如何才能求出運動員在某一時刻的瞬時速度呢 ?問題 1:根據(jù)以上情境 ,設陳若琳相對于水面的高度 h ( 單位:m)與起跳后的時間 t ( 單 位:s) 存在函數(shù)關系 h(t ) =-4. 9t 2+6. 5t+ 10, 如果用她在某段時間內的平均速度描述其運動 狀態(tài) , 那么 :(1) 在 0t 0. 5 這段時間里 , 運動員的平均速度 =(2) 在 1t 2這段時間里 , 運動員的平均速度 = .問題 2: 函數(shù) y=f (x) 從 x1到 x2的平均變化率公式是.如果用 x1與增量 x表示 ,平均變化率的公式是 .問題 3: 函數(shù) f( x) 在 x=

3、x0處的瞬時變化率的定義 : 一般地 , 函數(shù) y=f (x) 在 x=x0處的瞬時變化率是 = ,我們稱它為函數(shù) y=f ( x)在x=x0處的導數(shù) ,記作 f (x0)或y,即 f (x0)= .問題 4: 在導數(shù)的定義中 , 對 x0的理解是 : x0, xk2B.k 1=k2C.k 1k2D. 無法確定3.(1) 設 函 數(shù) y=f (x), 當自 變 量 x由 x0 變 化 到x0+x 時 , 函 數(shù) 值 的 改 變 量y為.(2) 設函數(shù)y=f ( x) =3x2,則y=f (1 +x) -f (1) =,=,=,f (1) =.4. 已知自由下落物體的運動方程是 s= gt (s

4、 的單位是 m,t 的單位是 s), 求 :(1) 物體在 t 0 到 t 0+ t 這段時間內的平均速度 ;(2) 物體在 t 0 時的瞬時速度 ;(3) 物體在 t 0=2 s 到 t 1=2.1 s 這段時間內的平均速度 ;(4) 物體在 t=2 s 時的瞬時速度 .3求函數(shù) f (x) =x3+2x+1 在 x0=1 處的導數(shù) f (1) .考題變式 （ 我來改編 ）:第一章 導數(shù)及其應用第 1 課時 變化率問題與導數(shù)的概念知識體系梳理問題 1:(1)=4. 05 m/s (2)=-8.2 m/s問題2:2:問題 3:問題 4: x0基礎學習交流 221.B x=2, x=0. 1,

5、y=f ( x+ x) -f (x)=f(2.1)-f (2) =(2 . 12+1) -(2 2+1) =0. 41.2.C =a+b x, f (x0) = ( a+b x) =a.2 2 23.8 s(2+t)-s(2) =2(2 +t ) 2- 222=2( t )2+8t,=(2 t+ 8) =8.2 2 24.解: y=2(3 + x) 2+4(3 + x) -(232+43)=2(x) 2+16 x,=2x+16,= (2 x+16) =16,即 y| x=3=16.重點難點探究 探究一:【解析】2 2 2(1) y=f( - 1+ x) -f (-1)=-( -1+x) 2+(

6、-1+x)-( -1)2+( -1) =-(x) 2+3 x, =- x+3(2) 因為 y=( x0+x) 2- , 所以 =2x0+x, 所以 y=x2在 x=x0附近的平均變化率為 2x0+ x.【小結】 1.本題需利用平均變化率的定義來解決,但要注意 x可正、可負、不可為零 , y 可正、可負、可為零 .2.求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關鍵是弄清自變量的增量 x 與函數(shù)值的增量 y, 求平均變化率的主要步驟是 :(1) 先計算函數(shù)值的改變量 y=f ( x1) -f ( x0).(2) 再計算自變量的改變量 x=x1-x 0.(3) 得平均變化率探究二 : 【解析】當

7、 t= 1時, s=3t 2+2,22s=s(t+t )-s(t ) =3(1 +t ) 2+2- (3 +2) =6 t+ 3( t )2,v= = (6 +3 t )=6.2當 t=4 時, s=29+3( t- 3) 2,2 2 2 s=s( t+ t ) -s ( t ) =29+3(4 + t- 3)2-29-3(4-3)2=3(t)2+6t,v= = (3 t+ 6) =6.物體在 t= 1 和 t=4 時的瞬時速度分別是 6 和 6.小結】1.(6 +3 t ) =6”中, “ t 0”指 t 趨近于零 ,即自變量的變化幾乎為零.2. 求物體瞬時速度的步驟 :(1) 設非勻速直線

8、運動的規(guī)律 s=s(t ) .(2) 求時間改變 t 時的位置改變量 s=s(t 0+t) -s( t0).(3) 求平均速率 = .(4) 計算瞬時速率 : 當 t0時, v( 常數(shù)) .探究三 : 【解析】由已知得 :=2,當 h0,2 h0, -4h 0,=2. 問題 上面的解答遵循導數(shù)的定義嗎 ?結論 沒有 , 在導數(shù)的定義形式中 , 增量 x的形式多種多樣 , 但是無論增量 x 選擇哪種形式, y 必須保持相應的形式 .即:f ( x0)= =(其中 a為非零常數(shù) ).于是 ,正確解答為=-4=-4=-4f( x0) =-8.【小結】對極限的理解和計算 , 也是對導數(shù)概念的準確理解

9、. 通過此題可以看出學生是否 掌握了導數(shù)的概念 .思維拓展應用應用一 :20 +5x 因為 y=5(2+x)2+6-522-6=20x+5(x)2,所以平均變化率 =20+5 x.應用二 : s=s(2 + t ) -s (2) =a(2 + t ) 2+1- a22- 1=4a t+a ( t ) 2, =4a+a t ,=4a,即 4a=8, a=2.應用三 :44 -2f (x)=22(3x2+3x x+x2- 8)=3x2-8, f (2) =4.=f (2) =4.=f(2) =4.=-=-基礎智能檢測1.A 由平均變化率的定義可知應選 A., 應選 D.2.D 因為 x 可正、可負不可為 0, 所以 k1與 k2大小關系不確定3.(1) f (x0+x)-f (x0) (2) 6 x+3(x)2 6+3 x 6 6 4. 解 :(1) 平均速度為=gt0+ gt.(2) 瞬時速度為= (gt0+gt)=gt0.(3) 由(1) 得物體在 t