2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示（2）教案 新人教A版必修第一冊

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示（2）教案 新人教a版必修第一冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示（2）教案 新人教a版必修第一冊年級：姓名：113.1.2 函數(shù)的表示法課本從引進(jìn)函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法函數(shù)的不同表示方法能豐富對函數(shù)的認(rèn)識，幫助理解抽象的函數(shù)概念特別是在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn)，使學(xué)生通過函數(shù)的學(xué)習(xí)更好地體會數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想方法因此，在研究函數(shù)時(shí)，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用在研究圖象時(shí)，又要注意

2、代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性課本將映射作為函數(shù)的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念，同時(shí)，也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程課程目標(biāo)1、明確函數(shù)的三種表示方法；2、在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3、通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)解析法及能由條件求出解析式；2.邏輯推理：由條件求函數(shù)解析式；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)解析式求值及函數(shù)解析式的計(jì)算；4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像表示函數(shù)；5.數(shù)學(xué)建模：由實(shí)際問題構(gòu)建合理的函數(shù)模型。重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法

3、，分段函數(shù)的概念.難點(diǎn)：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)的表示及其圖象教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的三種表示法：列表法、圖像法、解析法，那么這三種表示法定義是？優(yōu)缺點(diǎn)是？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本67-68頁，思考并完成以下問題1.表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法有幾種？分別是什么？2.函數(shù)的各種表示法各有什么特點(diǎn)？3.什么是分段函數(shù)？分段函數(shù)是一個(gè)還是幾個(gè)函數(shù)？4.怎樣求分段函數(shù)的值？如何畫分段函數(shù)的圖象？要求：學(xué)生獨(dú)

4、立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、 新知探究1函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法定義用表格的形式把兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法用圖像把兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法一個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以用自變量的解析式表示出來的方法優(yōu) 點(diǎn)不必通過計(jì)算就能知道兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，比較直觀可以直觀地表示函數(shù)的局部變化規(guī)律，進(jìn)而可以預(yù)測它的整體趨勢能叫便利地通過計(jì)算等手段研究函數(shù)性質(zhì)缺 點(diǎn)只能表示有限個(gè)元素的函數(shù)關(guān)系有些函數(shù)的圖像難以精確作出一些實(shí)際問題難以找到它的解析式2.分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)(2)分段函

5、數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集點(diǎn)睛(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的如y其“段”是不等長的四、典例分析、舉一反三題型一 函數(shù)的定義例1 某種筆記本的單價(jià)是5元，買x (x1，2， 3，4，5)個(gè)筆記本需要y元試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x) 【答案】見解析【解析】這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集1，2， 3，4，5.用解析法可將函數(shù)y=f（x）表示為 y=5x, x1，2， 3，4，5用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為用圖像法可將函數(shù)y=f(x)表示為解題技巧：

6、（表示函數(shù)的注意事項(xiàng)）1. 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2. 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 .圖象法：是否連線；4. 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征跟蹤訓(xùn)練一1已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出x123f(x)211x123g(x)321則f ( g(1)的值為_；當(dāng)g ( f (x)2時(shí)，x_.【答案】1 1【解析】由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g (1)3，f ( g(1)f (3)1.由于g (2)2，f (x)2，x1.題型二 分段函數(shù)求值例2已知函數(shù)f (x)(1)求ffx 的

7、值；(2)若f(x)13 ，求x的值【答案】(1) (2) 【解析】(1)因?yàn)閒 2，所以f f .(2)f(x)，若|x|1，則|x1|2，得x或x.因?yàn)閨x|1，所以x的值不存在；若|x|1，則，得x，符合|x|1.所以若f(x)，x的值為.解題技巧：(分段函數(shù)求值問題)1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.（2）代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0) 的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.求某條件下自變量的值的方法先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練二1. 【答案】或10【解析】解析：當(dāng)x0

8、2時(shí)，f(x0)x28，即x6，x0或x0(舍去)；當(dāng)x02時(shí)，f(x0)x0，x010.綜上可知，x0或x010.題型三 求函數(shù)解析式例3 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).【答案】見解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)= x2-3x+2,得f(t)= t-12-3(t-1)+2=t2-5t+6,f(x)= x2-5x+6.(方法二)f(x+1)

9、= x2 -3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=x+12-5(x+1)+6,f(x)= x2-5x+6.(2)設(shè)所求的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(a0).f(0)=1,c=1,則f(x)=ax2+bx+1.f(x+1)-f(x)=2x對任意的xr都成立,ax+12+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質(zhì),得2a=2,a+b=0,a=1,b=-1.所求二次函數(shù)為f(x)=x2-x+1.(3)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3

10、x-23 .解題技巧：（求函數(shù)解析式的四種常用方法）1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接將g(x)代入即可.2.待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(或方程組),通過解方程(組)求出待定系數(shù),進(jìn)而求出函數(shù)解析式.3.換元法(有時(shí)可用“配湊法”):已知函數(shù)f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x)中求出f(t),從而求出f(x).4.解方程組法或消元法:在已知式子中,含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù),而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系,這時(shí)就要依據(jù)

11、兩個(gè)變量的關(guān)系,建立一個(gè)新的關(guān)于兩個(gè)變量的式子,由兩個(gè)式子建立方程組,通過解方程組消去一個(gè)變量,得到目標(biāo)變量的解析式,這種方法叫做解方程組法或消元法.跟蹤訓(xùn)練三1.已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x)=2x-1,求f(x)的解析式; 2.已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式; 3.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f1x=x(x0),求f(x).【答案】見解析【解析】(1)f(x)為一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a0).f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.a2=2,ab+b=-1,解得a=2,b=1-2或a=-2,b=1+2.故f(x)=2

12、x+1-2或f(x)=-2x+1+2.(2)(方法一)f(x+1)=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,其中x+11,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x1.(方法二)令x+1=t,則x=(t-1)2,且t1,函數(shù)f(x+1)=x+2x可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x1. (3)因?yàn)閷θ我獾膞r,且x0都有f(x)+2f1x=x成立,所以對于1xr,且1x0,有f1x+2f(x)=1x,兩式組成方程組f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x,2-得,f(x)=132x-x.題型四 函數(shù)的圖像及應(yīng)用例4

13、1. 函數(shù)f(x)|x1|的圖象是()2.給定函數(shù)fx=x+1,gx=x+12,xr (1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)fx,gx的圖像；（2）xr,用mx表示fx,gx中的較大者，記為mx=maxfx,gx.請分別用圖像法和解析法表示函數(shù)mx.【答案】1.b 2.見解析【解析】1.法一：函數(shù)的解析式可化為y畫出此分段函數(shù)的圖象，故選b.法二：由f(1)2，知圖象過點(diǎn)(1,2)，排除a、c、d，故選b.2. （1）同一直角坐標(biāo)系中函數(shù)fx,gx的圖像（2）結(jié)合mx的定義，可得函數(shù)mx的圖像由x+12=x+1,得xx+1=0.解得x=1，或x=0.由圖易知mx的解析式為mx=x+12，x+1，x+

14、12x-1-10解題方法（函數(shù)圖像問題處理措施）（1）若y=f（x）是已學(xué)過的基本初等函數(shù)，則描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍.（2）若y=f（x）不是所學(xué)過的基本初等函數(shù)之一，則要按：列表；描點(diǎn)；連線三個(gè)基本步驟作出y=f（x）的圖象.（3）作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.跟蹤訓(xùn)練四1已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是_2若定義運(yùn)算ab則函數(shù)f(x)x(2x)的值域?yàn)開【答案】1.f(x)2. (，1

15、【解析】1. 由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當(dāng)1x0時(shí)，設(shè)f(x)axb，將(1,0)，(0,1)代入解析式，則當(dāng)0x1時(shí)，設(shè)f(x)kx，將(1，1)代入，則k1.2.由題意得f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(，1題型五 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例5下表是某校高一（1）班三位同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測試的成績及班級及班級平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次王 偉988791928895張 城907688758680趙 磊686573727582班平均分882783854803757826請你對這三們同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析【答案】見解析【解析】從表可以知道每位同學(xué)在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學(xué)的成績變化情況。如果將每位同學(xué)的“成績”與“測試序號”之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象（均為6個(gè)離散的點(diǎn)）表示出來，如圖3.1-6，那么就能直觀地看到每位同學(xué)成績變化的情況，這對我們的分析很有幫助.從圖3.1-6可以看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終高于班級平均水平，