2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 第2課時(shí) 一元二次不等式及其解法學(xué)案新人教A版必修5

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 第2課時(shí) 一元二次不等式及其解法學(xué)案新人教a版必修52020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 第2課時(shí) 一元二次不等式及其解法學(xué)案新人教a版必修5年級(jí)：姓名：第2課時(shí)一元二次不等式及其解法內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)解可化為一元二次不等式(組)的簡(jiǎn)單分式不等式2.會(huì)對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式分類討論3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯思維應(yīng)用直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第57頁(yè)基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)一分式不等式的解法(1)若a，br，0與ab0，0與ab0是否等價(jià)？0與ab0，0與ab0呢？提示：0ab0，

2、0ab0.0與ab0不等價(jià)，0與ab0不等價(jià)(2)0與(x3)(x2)0等價(jià)嗎？將0變形為(x3)(x2)0，有什么好處？提示：0(x3)(x2)0x3或x2. 知識(shí)梳理解分式不等式的同解變形法則(1)0f(x)g(x)0；(2)0；(3)a0.知識(shí)點(diǎn)二不等式恒成立知識(shí)梳理不等式x2x10的解集為r，即x2x10在r上恒成立(1)一元二次不等式恒成立的情況：ax2bxc0(a0)恒成立；ax2bxc0(a0)恒成立.(2)一般地，若函數(shù)yf(x)，xd既存在最大值，也存在最小值，則：af(x)，xd恒成立af(x)max；af(x)，xd恒成立af(x)min.自我檢測(cè)1不等式0的解集為_答案

3、：(，0)(1，)2不等式x2ax40對(duì)任意xr恒成立，則a的取值范圍為_答案：(4,4)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第58頁(yè)探究一簡(jiǎn)單的分式不等式例1(1)不等式2的解集為()ax|x2brc dx|x2或x2解析因?yàn)閤2x120，所以原不等式可化為x22x22(x2x1)，化簡(jiǎn)得x24x40，即(x2)20，所以原不等式的解集為x|x2答案a(2)求下列不等式的解集0；1.解析原不等式可化為解得所以3x，所以原不等式的解集為.原不等式可化為或解得或所以3x，所以原不等式的解集為.方法技巧(1)對(duì)于0，若已知g(x)的正、負(fù)可直接去分母g(x)如本例(1)若不知正負(fù)，可轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)0.(

4、2)對(duì)于a，可轉(zhuǎn)化a0求解跟蹤探究1.已知關(guān)于x的不等式0的解集是(，1)，則a_.解析：0等價(jià)于(ax1)(x1)0，由題意得a0，且1和是方程的兩個(gè)根，所以0，所以a2.答案：22解不等式2，解析：法一：移項(xiàng)，得20，左邊通分并化簡(jiǎn)，得0，即0，它的同解不等式為x2或x5.原不等式的解集為x|x2或x5法二：原不等式可化為0.此不等式等價(jià)于或解，得x5.解，得x2.原不等式的解集為x|x2或x5探究二解含參數(shù)的一元二次不等式例2解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.解析(1)當(dāng)a0時(shí)，不等式化為x10，x1.當(dāng)a0時(shí)，不等式化為(x1)(ax1)0(2)若a0，不等式化為(x1)(x)0當(dāng)

5、a1時(shí)，1得x1當(dāng)a1時(shí)，不等式無(wú)解當(dāng)0a1時(shí)，1得1x(3)若a0，不等式化為(x1)(x)01得x1或x.綜上，當(dāng)a0時(shí)，解集為；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)0a1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為.延伸探究1.將本例的不等式變?yōu)椋航怅P(guān)于x的不等式(ar)：x2(aa2)xa30.解析：將不等式x2(aa2)xa30變形為(xa)(xa2)0.當(dāng)a0時(shí)，有aa2，所以不等式的解集為x|xa或xa2；當(dāng)a0時(shí)，aa20，所以不等式的解集為x|xr，且x0；當(dāng)0a1時(shí)， 有aa2，所以不等式的解集為x|xa2或xa；當(dāng)a1時(shí)，aa21，所以不等式的解集為x|xr，且x1；當(dāng)a1時(shí)，

6、有aa2，所以不等式的解集為x|xa或xa2方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟探究三不等式恒成立問題教材p103 a組第3題當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？探究：由題意得由得3k0，3k0.例3設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)0恒成立，求m的取值范圍(2)對(duì)于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解析(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，顯然10，滿足題意；若m0，4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，

7、所以g(x)maxg(3)7m60，所以0m；當(dāng)m0時(shí)，60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)；所以g(x)maxg(1)m60，得m6，所以m0.綜上m.方法技巧處理不等式恒成立問題的常用方法(1)一元二次不等式恒成立的情況：ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)若函數(shù)yf(x)，xd既存在最大值，也存在最小值，則：af(x)，xd恒成立af(x)max；af(x)，xd恒成立af(x)min.(3)a0時(shí)，f(x)0在區(qū)間，上恒成立(4)a0時(shí)，f(x)0在區(qū)間，上恒成立延伸探究2.例3(1)中改為“對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)mx2mx10恒成立”，則m的取

8、值范圍是_解析：當(dāng)m0時(shí)，10恒成立當(dāng)m0時(shí)，得0m4綜上0m43例3(1)中“函數(shù)f(x)mx2mx1”改為“f(x)mx2mx1，x2，)”，結(jié)論又是什么？解析：要使m2m60在2，)上恒成立當(dāng)m0時(shí)，60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)m(x)2m60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在2，)時(shí)為增函數(shù)，無(wú)最大值綜上m0.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第59頁(yè)課后小結(jié)1解分式不等式時(shí)，一定要等價(jià)變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解當(dāng)不等式含有等號(hào)時(shí)，分母不為零2對(duì)于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法這是因?yàn)閷?shù)分離后，問題往往會(huì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決當(dāng)然，這必須以參數(shù)容

9、易分離作為前提分離參數(shù)時(shí)，經(jīng)常要用到以下簡(jiǎn)單結(jié)論：(1)若f(x)有最大值f(x)max，則af(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則af(x)恒成立af(x)min.3含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a0，a0，a0.(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根(0)，兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根(0)，無(wú)根(0)(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1x2，x1x2，x1x2.素養(yǎng)培優(yōu)1忽視二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況致誤關(guān)于x的不等式(1m)x2mxmx21對(duì)xr恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍易錯(cuò)分析錯(cuò)解中，忽視了對(duì)二次項(xiàng)次系數(shù)m0是否符合題意的討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤自我糾正原不等式可化為mx2mx(m1)0，若m0，則不等式化為10，符合題意；若m0，則應(yīng)有m0.綜上，m的取值范圍為m0.2忽視對(duì)參數(shù)的分類討論致誤解關(guān)于x的不等式x22ax30(ar)易錯(cuò)分析錯(cuò)解中，沒有考慮到方程沒有實(shí)數(shù)根和只有一個(gè)實(shí)數(shù)根的情況，導(dǎo)致錯(cuò)誤自我糾正當(dāng)4a2120，即a或a時(shí)，方程x22ax30有兩個(gè)不相等的實(shí)