《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末考試試題及解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題及解答1、 填空題（每小題3分，共15分）1 設(shè)事件僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.3，且，則至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為_. 答案：0.3解：即 所以 .2 設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，且，則_.答案： 解答： 由 知 即 解得 ，故 3 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，則隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)的概率密度為_.答案： 解答：設(shè)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為，密度為則 因?yàn)?，所以，?故 另解 在上函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為所以4 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則_，=_.答案：， 解答： ，故 .5 設(shè)總體的概率密度為 .是來(lái)自的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量為_.答案： 解答：

2、似然函數(shù)為 解似然方程得的極大似然估計(jì)為 .2、 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)為三個(gè)事件，且相互獨(dú)立，則以下結(jié)論中不正確的是 （A）若，則與也獨(dú)立. （B）若，則與也獨(dú)立. （C）若，則與也獨(dú)立. （D）若，則與也獨(dú)立. （ ）答案：（D）. 解答：因?yàn)楦怕蕿?的事件和概率為0的事件與任何事件獨(dú)立，所以（A），（B），（C）都是正確的，只能選（D）.SABC 事實(shí)上由圖 可見A與C不獨(dú)立. 2設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的值為 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 所以 應(yīng)選（A）.3設(shè)隨機(jī)變量和不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是 （A）與獨(dú)立. （B）. （

3、C）. （D）. （ ） 答案：（B）解答：由不相關(guān)的等價(jià)條件知，應(yīng)選（B）.4設(shè)離散型隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布為 若獨(dú)立，則的值為 （A）. （A）. （C） （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 若獨(dú)立則有YX ， 故應(yīng)選（A）.5設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望為為來(lái)自的樣本，則下列結(jié)論中 正確的是 （A）是的無(wú)偏估計(jì)量. （B）是的極大似然估計(jì)量. （C）是的相合（一致）估計(jì)量. （D）不是的估計(jì)量. （ ） 答案：（A） 解答： ，所以是的無(wú)偏估計(jì)，應(yīng)選（A）.3、 （7分）已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02，求

4、（1）一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率； （2）一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率. 解：設(shè)任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品 任取一產(chǎn)品確是合格品則（1） （2） .4、 （12分） 從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5. 設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)， 求的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差. 解：的概率分布為 即 的分布函數(shù)為 .5、 （10分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域 上服從均勻分布. 求（1）關(guān)于的邊緣概率密度；（2）的分布函數(shù)與概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度為 （2）利用公式

5、 其中 當(dāng) 或時(shí)xzz=x 時(shí) 故的概率密度為 的分布函數(shù)為 或利用分布函數(shù)法 6、 （10分）向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相互獨(dú)立，且均服從分布. 求（1）命中環(huán)形區(qū)域的概率；（2）命中點(diǎn)到目標(biāo)中心距離的數(shù)學(xué)期望.xy012 解： （1） ； （2） . 七、（11分）設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：cm），今抽取容量為16的樣本，測(cè)得樣本均值，樣本方差. （1）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)假設(shè)（顯著性水平為0.05）. （附注） 解：（1）的置信度為下的置信區(qū)間為 所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.7868，10.2132） （2）的拒絕域

6、為. ， 因?yàn)?，所以接受.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題（A） 專業(yè)、班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 一、 單項(xiàng)選擇題(每題3分 共18分)1D 2A 3B 4A 5A 6B題 號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總成績(jī)得 分一、單項(xiàng)選擇題(每題3分 共18分)（1）（2）設(shè)隨機(jī)變量X其概率分布為 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 則（ ）。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) （3）設(shè)事件與同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致事件發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A） （B）（C） （D）（4）（5）設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中未知，則（ ）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 (A) (B) (C) (D) （

7、6）設(shè)樣本來(lái)自總體未知。統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 則所用統(tǒng)計(jì)量為（ ）(A) (B) (C) (D)二、填空題(每空3分 共15分)（1）如果，則 .（2）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則的密度函數(shù) ， .（3）（4）設(shè)總體和相互獨(dú)立,且都服從，是來(lái)自總體的樣本，是來(lái)自總體的樣本，則統(tǒng)計(jì)量 服從 分布（要求給出自由度）。二、填空題(每空3分 共15分)1. 2. , 3. 4. 三、(6分) 設(shè) 相互獨(dú)立，求.解： 0.88= = (因?yàn)橄嗷オ?dú)立).2分 = 3分 則 .4分 6分四、（6 分）某賓館大樓有4部電梯，通過(guò)調(diào)查，知道在某時(shí)刻T，各電梯在運(yùn)行的概率均為0.7，求在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率。解：用

8、表示時(shí)刻運(yùn)行的電梯數(shù)， 則 .2分所求概率 4分 =0.9919 .6分 五、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 ，求隨機(jī)變量Y=2X+1的概率密度。解：因?yàn)槭菃握{(diào)可導(dǎo)的，故可用公式法計(jì)算 .1分 當(dāng)時(shí)， .2分由， 得 4分從而的密度函數(shù)為 .5分= .6分 五、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 ，求隨機(jī)變量Y=2X+1的概率密度。解：因?yàn)槭菃握{(diào)可導(dǎo)的，故可用公式法計(jì)算 .1分 當(dāng)時(shí)， .2分由， 得 4分從而的密度函數(shù)為 .5分= .6分六、（8分） 已知隨機(jī)變量和的概率分布為 而且.(1) 求隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布;(2)判斷與是否相互獨(dú)立?解：因?yàn)?，所?1)根據(jù)邊緣概率與聯(lián)合概率之間的關(guān)

9、系得出 -1 0 101000 .4分(2) 因?yàn)?所以 與不相互獨(dú)立 8分七、（8分）設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）；（2）求的邊緣密度。解：（1） .2分 = = .4分（2） .6分 .8分八、（6分）一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命（以年計(jì)）服從參數(shù)為的指數(shù)分布。工廠規(guī)定，出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。若工廠售出一臺(tái)設(shè)備盈利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，求工廠出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利的期望。解： 因?yàn)?得 .2分用表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈盈利 3分則 .4分所以 （元） .6分九、（8分）設(shè)隨機(jī)變量與的數(shù)學(xué)期望分別為和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為，求。解：已知?jiǎng)t

10、.4分 .5分 .6分=12 .8分十、（7分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1 000戶居民用電，各戶用電情況相互獨(dú)立。已知每戶每日用電量（單位：度）服從0，20上的均勻分布，利用中心極限定理求這1 000戶居民每日用電量超過(guò)10 100度的概率。（所求概率用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值表示）.解：用表示第戶居民的用電量，則 2分則1000戶居民的用電量為，由獨(dú)立同分布中心極限定理 3分= 4分 .6分= 7分十一、（7分）設(shè)是取自總體的一組樣本值，的密度函數(shù)為其中未知，求的最大似然估計(jì)。解: 最大似然函數(shù)為 .2分= .3分則 .4分令 .5分于是的最大似然估計(jì)：。 .7分十二、（5分）某商店每天每百元投資的

11、利潤(rùn)率服從正態(tài)分布，均值為，長(zhǎng)期以來(lái)方差 穩(wěn)定為1，現(xiàn)隨機(jī)抽取的100天的利潤(rùn)，樣本均值為，試求的置信水平為95%的置信區(qū)間。（ ） 解： 因?yàn)橐阎?，?1分故 2分依題意 則的置信水平為95%的置信區(qū)間為 4分即為 4.801,5.199 5分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程期末考試試題（B）專業(yè)、班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 題 號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總成績(jī)得 分一、單項(xiàng)選擇題(每題3分 共15分)（1）（2）（3）連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度為 則隨機(jī)變量X落在區(qū)間 (0.4, 1.2) 內(nèi)的概率為( ).(A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.（4）（5）二、填空

12、題(每空2分 共12分)（1）（2）（3）（4）三、(7分) 已知，條件概率.四、(9分) .設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為， 求:（1）常數(shù),；（2）；（3）隨機(jī)變量的密度函數(shù)。五、(6分) 某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第1車間的次品率為0.15，第2車間的次品率為0.12.兩個(gè)車間生產(chǎn)的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中，假設(shè)1、2車間生產(chǎn)的成品比例為2：3，今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提臺(tái)產(chǎn)品，求該產(chǎn)品合格的概率.六、(8分) 已知甲、乙兩箱裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求乙箱中次品件數(shù)的分布律及分布函數(shù).七、(7分) 設(shè)

13、隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的函數(shù) 的密度函數(shù)。八、(6分) 現(xiàn)有一批鋼材，其中80%的長(zhǎng)度不小于3 m，現(xiàn)從鋼材中隨機(jī)取出100根，試用中心極限定理求小于3 m的鋼材不超過(guò)30的概率。(計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表示)九、(10分) 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）；（2）求,的邊緣密度;（3）判斷與是否相互獨(dú)立十、(8分) 設(shè)隨機(jī)變量（）的聯(lián)合密度函數(shù)為求, 進(jìn)一步判別與是否不相關(guān)。十一、(7分) .設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，總體的密度函數(shù)為求的矩估計(jì)量。十二、（5分）總體測(cè)得樣本容量為100的樣本均值，求的數(shù)學(xué)期望的置信度等于0.95的置信區(qū)間。（ 一、 單項(xiàng)選擇題：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、 填空題：（12分）1、;2、-13、更4、，;三、