2017-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二(浙江專版)學(xué)案：4.3空間直角坐標(biāo)系Word版含答案

1、4.3空間直角坐標(biāo)系4. 3.1 &4.3.2空間直角坐標(biāo)系空間兩點間的距離公式課前口主學(xué)刖.竝穗才能樓亦一預(yù)習(xí)課本P134137，思考并完成以下問題 1.在空間直角坐標(biāo)系中怎樣確定空間中任一點的坐標(biāo)?2 .空間中線段的中點坐標(biāo)公式是什么?3 空間中兩點間的距離公式是什么?新知初探1空間直角坐標(biāo)系(1) 空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點引三條兩兩垂直，且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2) 相關(guān)概念：點 0叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.2 .右手直角坐標(biāo)系在空

2、間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3 .空間一點的坐標(biāo)空間一點 M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點 M 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作Mx，y，z).其中乞叫點M的橫坐標(biāo)，y叫點M的縱坐標(biāo)，z叫點M的豎坐標(biāo).點睛空間直角坐標(biāo)系的畫法(1) x軸與y軸成135 (或45 )，x軸與z軸成135 (或45 ).1(2) y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長相等，x軸上的單位長則等于 y軸單位長的？.4 .空間兩點間的距離公式(1)點P(x，y，z)到坐標(biāo)原點 00,

3、0,0)的距離| Op = /x2 + y2+ z2.(2)任意兩點 P(xi, yi, zi) , F2(X2, y2, Z2)間的距離| PF2| = Xi X22+ yi y22+ zi Z22.點睛 空間兩點間的距離公式可以類比平面上兩點間的距離公式，只是增加了對應(yīng)的豎坐標(biāo)的運算.（2）空間中點坐標(biāo)公式:設(shè) A(xi, yi ,zi), B(X2, y2, Z2),則 AB中點yi + y22 ，Zi + Z2.小試身手i .判斷下列命題是否正確.（正確的打錯誤的打“x” ）（i）空間直角坐標(biāo)系中,在x軸上的點的坐標(biāo)一定是（0, b, c）的形式（）（2）空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面

4、內(nèi)的點的坐標(biāo)一定是（a, 0, c）的形式（）（3）空間直角坐標(biāo)系中， 點（i ,3, 2）關(guān)于yOz平面的對稱點為（一i,2）（）答案：x V （3） V2 .在空間直角坐標(biāo)系中，點R3,4,5）與Q3 , 4, 5）兩點的位置關(guān)系是（）A.關(guān)于x軸對稱B .關(guān)于xOy平面對稱C.關(guān)于坐標(biāo)原點對稱D .以上都不對解析：選A 點F（3,4,5）與Q3 , 4, 5）兩點的橫坐標(biāo)相同，而縱、豎坐標(biāo)互為相反 數(shù)，所以兩點關(guān)于 x軸對稱.3. 空間兩點Fi(i,2,3), F2(3,2,i)之間的距離為解析：| PiP2| = ./2 + 02 + 22= 2 2.答案：2 2諜堂講嫌設(shè)計舉-能通襄

5、題題型一空間中點的坐標(biāo)的求法典例 在棱長為1的正方體 ABCDABCD中，E, F分別是DD, BD的中點，G在棱CD 1上，且CG= 4CD H為CG的中點，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E, F, G H的坐標(biāo).解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.點E在z軸上，它的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)均為0，而E為DD的中點，故其坐標(biāo)為 0, 0, 1 .由F作FMILAD FN丄DC垂足分別為 M N1 i由平面幾何知識知 FM= , FN= ,故F點坐標(biāo)為1, 1, 0 .匕2丿點G在y軸上，其x, z坐標(biāo)均為0,又GD=孑，故G點坐標(biāo)為0, 3, 0 .由H作HK1CG于 K,由于H為CG的中點.皿 117故 HK

6、= 2，CK= 8，二 DK= 8,故H點坐標(biāo)為(0, 8， 2 .(1) 建立空間直角坐標(biāo)系時，要考慮如何建系才能使點的坐標(biāo)簡單、便于計算，一般是要 使盡量多的點落在坐標(biāo)軸上.(2) 對于長方體或正方體，一般取相鄰的三條棱所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；確定點的坐標(biāo)時，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度，即將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與軸平行的線段長度，同時要注意坐標(biāo)的符號，這也是求空間點坐標(biāo)的關(guān)鍵.活學(xué)活用如圖，在長方體 ABCDA BC D中，| AB = 12, | AD = 8,| AA | = 5.以這個長方體的頂點 別為x軸、y軸和z軸的正半軸,A為坐標(biāo)原點，射線AB AD A

7、A建立空間直角坐標(biāo)系， 求長方體個頂點的坐標(biāo).分各x軸、解：因為|AB = 12, |AD = 8, |AA| = 5,點A為坐標(biāo)原點，且點B, D, A分別在y軸和z軸上，所以它們的坐標(biāo)分別為A(0,0,0) , B(12,0,0) , D(0,8,0) , A (0,0,5).點C,B, D分別在xOy平面、xOz平面、yOz平面內(nèi)，坐標(biāo)分別為 C(12,8,0) , B (12,0,5),D (0,8,5).點C在三條坐標(biāo)軸上的射影分別是B, D, A,故點C的坐標(biāo)為(12,8,5).空間兩點間距離公式及應(yīng)用典例 已知點 M3,2,1) , N(1,0,5)，求：(1)線段MN勺長度；

8、到M N兩點的距離相等的點P(x, y, z)的坐標(biāo)滿足的條件.解(1)根據(jù)空間兩點間的距離公式得線段 MN的長度| MN =.:.M 2+ D 2+ I 2 = 2,6,所以線段MNI勺長度為2 6.(2)因為點F(x, y, z)到M N兩點的距離相等，所以有下面等式成立:x ；!2+ y-22+z1= x -1+ y + Z,化簡得 x+ y- 2z+ 3= 0,因此，至U M N兩點的距離相等的點P(x, y, z)的坐標(biāo)滿足的條件是x + y-2z + 3= 0.利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟為:活學(xué)活用已知直三棱柱 ABGABC1 中，/ BAG= 90, AB=

9、 AC= AA= 4, M為BG的中點，N為AiB的中點，求| MN解：如圖，以 A為原點，AB AG AA分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 B(4,0,0), G(0,4,4) , Ai (0,0,4),B (4,0,4).因為M為BG的中點,所以由中點公式得0 + 42 ，字；,即 M2,2,2)的中點，所以N(2,0,4).所以由兩點間的距離公式得|MN = . 2-2 2+ I 2+2 = 2 2.題型三空間中點的對稱典例(1 )點A1 ,2 , - 1 )關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及x軸的對稱點的坐標(biāo)分別是 .(2)已知點只2,3 , - 1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點為

10、 P,點P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱 點為P2,點P2關(guān)于z軸的對稱點為P3,則點P3的坐標(biāo)為 .解析(1)如圖所示，過 A作AMIL xOy交平面于M并延長到C, 使AM= CM則A與C關(guān)于坐標(biāo)平面 xOy對稱且C的坐標(biāo)為(1,2,1).過 A作ANL x軸于N并延長到點 B,使ANh NB貝U A與B關(guān)于x軸對稱且 B的坐標(biāo)為(1 , - 2,1). A(1,2 , - 1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱的點C的坐標(biāo)為(1,2,1); A(1,2 , - 1)關(guān)于x軸的對稱點B的坐標(biāo)為(1 , - 2,1).(2)點P(2,3 , - 1)關(guān)于坐標(biāo)平面 xOy的對稱點P1的坐標(biāo)為(2,3,1)，點R

11、關(guān)于坐標(biāo)平面 yOz的對稱點F2的坐標(biāo)為(一2,3,1)，點P2關(guān)于z軸的對稱點P3的坐標(biāo)是(2 , - 3,1).答案(1)(1,2,1), (1 , - 2,1)(2 , - 3,1)ODD在空間直角坐標(biāo)系中，點F(x, y, z)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對稱點的坐標(biāo)特點如下：(1) 關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為F( x, - y,- z);(2) 關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點為F2(x, - y,- z);(3) 關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點為F3( x, y,- z);(4) 關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點為F4( - x, - y, z);(5) 關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點為 Ps(x, y,- z);(

12、6) 關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為 F6( - x, y, z);(7) 關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對稱點為 F7(x, - y, z).其中的記憶方法為“關(guān)于誰誰不變，其余的相反”.如關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).活學(xué)活用M的坐標(biāo)是(4,7,6)，則點M關(guān)于y軸對稱的點在 xOz平面上的在空間直角坐標(biāo)系中，點射影的坐標(biāo)為()A. (4,0,6)B . ( - 4,7 , - 6)C. ( - 4,0，- 6)D . ( - 4,7,0)解析：選C點M關(guān)于y軸對稱的點是 M ( 4,7 ,

13、 - 6)，點M在xOz平面上的射影的 坐標(biāo)為(一4,0，- 6).課后一層級訓(xùn)練.歩歩提升陡力1.點P(a, b, c)到坐標(biāo)平面xOy的距離是()層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)A. a2+ b2B . |a|C. |b|D. |c|解析：選D點P在xOy平面的射影的坐標(biāo)是P(a, b,0)，所以| PP | = | c|.2 已知A(1,1,1),巳一3, - 3, - 3)，則線段 AB的長為()A. 4 3B . 2 3C. 4 2D 3 2解析：選 A |AB =1 + 22+1 + 22+1+32= 43.3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點R3,1,5)關(guān)于平面xOz對稱的點的坐標(biāo)為()A. (3

14、, - 1,5)B . ( 3, - 1,5)C. (3 , - 1,- 5)D . ( - 3,1 , - 5)解析：選A由于點關(guān)于平面 xOz對稱，故其橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即對稱點坐標(biāo)是(3 , - 1,5).4. 若點P( -4,- 2,3)關(guān)于xOy平面及y軸對稱的點的坐標(biāo)分別是 (a, b, c), (e, f,d)，則c與e的和為()A. 7B . - 7C. 1D . 1解析：選D由題意，知點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標(biāo)為(4, 2,- 3)，點P關(guān) 于y軸對稱的點的坐標(biāo)為 (4 , - 2,- 3)，故c =- 3, e= 4,故c+ e=- 3 + 4 =

15、 1.5 .點P(1 ,2,3)為空間直角坐標(biāo)系中的點，過點P作平面xOy的垂線，垂足為 Q則點Q的坐標(biāo)為()A.(0,0 ,. 3)B .(0 ,2,3)C.(1,0 ,3)D.(1 ,. 2, 0)解析：選D由空間點的坐標(biāo)的定義，知點Q的坐標(biāo)為(1 , - 2, 0).6 .空間點M 1,- 2,3)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是 .解析：點 M 1,- 2,3)關(guān)于x軸對稱，由空間中點P(x, y, z)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為(x, y, z)知，點M關(guān)于x軸的對稱點為(一1,2 , 3).答案：(1,2 , - 3)7 .在空間直角坐標(biāo)系中，點(一1, b, 2)關(guān)于y軸的對稱點是(a, 1

16、, c - 2)，則點P(a,b, c)到坐標(biāo)原點的距離|PQ =.解析：由點(x, y, z)關(guān)于y軸的對稱點是點(一x, y,- z)可得一1 = - a, b=- 1, c- 2=- 2,所以 a= 1, c = 0,故所求距離 |PQ = . 12+1 2+ 02= 2.答案：.28 .在空間直角坐標(biāo)系中，點M 2,4 , - 3)在xOz平面上的射影為點 M,則點M關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是解析：由題意，知點M的坐標(biāo)為（一2,0 , 3），點M關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（2,0,3）.答案：（2,0,3）9.如圖，已知長方體ABCDABCD的對稱中心在坐標(biāo)原點,交于同一頂點的三個面分別平

17、行于三個坐標(biāo)平面，頂點A（ 2， 3， 1），求其他七個頂點的坐標(biāo).解：由題意，得點 B與點A關(guān)于xOz平面對稱,故點B的坐標(biāo)為（一2,3 , 1）;1)；點D與點A關(guān)于yOz平面對稱，故點 D的坐標(biāo)為（2 , 3,點C與點A關(guān)于z軸對稱，故點C的坐標(biāo)為（2,3 , 1）;由于點A , B, C, D分別與點A, B, C, D關(guān)于xOy平面對稱,故點 A, B , C, D 的坐標(biāo)分別為 A( 2, 3,1) , B( 2,3,1) , C(2,3,1), D(2 , 3,1).10.如圖，在長方體 ABCDABCD 中，| AB = | AQ = 2, | AA| = 4，點 在AC上，|

18、MC = 2|AM| , N在DC上且為DC的中點，求 M N兩點間的離.解析：由已知條件，得 |AQ| = 22.由|MC = 2| AM，得丨AM2 0)，代入 x2+ (y+ 10) 2= 100,解得 x= 51,水面寬度| A B | = 2百米.2 27.過點(3,1)作圓(x 1) + y = 1的兩條切線，切點分別為AB,則直線AB的方程為()A. 2x + y 3= 0B. 2x y 3= 0C. 4x y 3= 0D. 4x+y 3= 0解析：選A 設(shè)點P(3,1)，圓心C(1,0).已知切點分別為A,B,則P,代C,B四點共圓，且PC為圓的直徑.故四邊形PACB的外接圓圓

19、心坐標(biāo)為2, 2 ,半徑長為g ,：. 1 2+ 0故此圓的方程為(x 2)2 + y- 2=彳.2 2圓C的方程為(x 1) + y = 1.一得2x+ y 3 = 0,此即為直線 AB的方程.8 .已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+ y2= 2y + 3,直線I經(jīng)過點(1,0)且與直線x y + 1 = 0垂直，若直線I與圓C交于A, B兩點，則 OAB勺面積為()A. 1 B. 2C. 2D. 2 22 2解析：選A由題意，得圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x + (y+ 1) = 4，圓心為(0， 1)，半徑r =2.因為直線l經(jīng)過點(1,0)且與直線x y+ 1 = 0垂直，所以直線

20、l的斜率為1,方程為y 0|0 1 1|廠=(x 1)，即為x + y 1 = 0.又圓心(0， 1)到直線l的距離d =2，所以弦2長| AB =2寸r2 cf = 24 2 = 2邊.又坐標(biāo)原點 O到弦AB的距離為|0 + 0 1|，所以 OAB解析：由題意知圓心坐標(biāo)為(2 , - 3)，半徑r H 2+- 3 +9 2= 5 ,圓C2 2的方程為(X 2) + (y+ 3) = 5.答案：(x 2)2+ (y + 3)2= 510. 已知空間直角坐標(biāo)系中三點A, B, M點A與點B關(guān)于點M對稱，且已知 A點的坐標(biāo)為(3,2,1), M點的坐標(biāo)為(4,3,1)，則B點的坐標(biāo)為 .x + 3

21、 y + 2 z + 1解析：設(shè) B點的坐標(biāo)為(x, y, z)，則有一尹 =4，廠 =3, 廠 =1,解得 x = 5, y = 4,z= 1,故B點的坐標(biāo)為(5,4,1).答案：(5,4,1)11. 圓O x2+ y2 2x 2y + 1= 0上的動點Q到直線I : 3x+ 4y+ 8 = 0的距離的最大值是解析：圓 0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2 + (y 1)2 = 1，圓心(1,1)至U直線I的距離為|3 X 1 + 4X 1+ 8|r22一L = 31,二動點 Q到直線I的距離的最大值為 3+ 1 = 4.3 + 4答案：412. 已知過點(1,1)的直線l與圓C： x2 + y2 4

22、y + 2 = 0相切，則圓C的半徑為 ,直線l的方程為.解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+ (y 2) 2= 2,則圓C的半徑為2，圓心坐標(biāo)為(0,2).1點(1,1)在圓C上，則直線l的斜率k = 1,2 10 1則直線l的方程為y=x，即x y = 0.答案：乜：2 x y= 02 213. 已知圓C： (x 1) + y = 25與直線l : mx+ y+2= 0,若圓C關(guān)于直線I對稱，則m=；當(dāng)m=時，圓C被直線l截得的弦長最短.解析：當(dāng)圓C關(guān)于I對稱時，圓心(1,0)在直線 m灶y + m+ 2= 0上，得m= 1.直線I :n(x+ 1) + y+ 2= 0恒過圓C內(nèi)的點M 1, 2)

23、，當(dāng)圓心到直線I的距離最大，即 MCL I時，一 2 0圓C被直線l截得的弦長最短，kM= 1 1 = 1,由(一 m X 1 = 1,得m= 1.答案：1114. 已知點M(2,1)及圓x2 + y2= 4，則過M點的圓的切線方程為 ，若直線ax y+ 4= 0與該圓相交于 A B兩點，且|AB = 2萌，貝y a=.解析：若過 M點的圓的切線斜率不存在，則切線方程為x = 2,經(jīng)驗證滿足條件若切線I 一 2k+1|斜率存在，可設(shè)切線方程為y= k（x 2） + 1,由圓心到切線的距離等于半徑得2= 2,屮2+ 133解得k =- 4，故切線方程為 y = 4（x 2） + 1,即卩3x+

24、4y 10= 0.綜上，過M點的圓的切線方程為 x = 2或3x + 4y 10= 0.由- a 14 3 2得 a= 15.答案：x = 2 或 3x + 4y 10= 0 土 152 2 2 2 2 215. 已知兩圓 C： x + y 2ax+ 4y+ a 5= 0 和 C2： x + y + 2x 2ay+ a 3 = 0，則兩圓圓心的最短距離為 ，此時兩圓的位置關(guān)系是 .（填“外離、相交、外切、內(nèi) 切、內(nèi)含”中的一個）解析：將圓 C： x2+ y2 2ax+4y+ a2 5= 0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x a）2+ （y+ 2）2= 9,圓心 為 C（a, 2），半徑為1 = 3，將圓 C2

25、： x2+ y2+ 2x 2ay + a2 3= 0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x +1）2+ (y a)2 = 4,圓心為 C2( 1, a),半徑為=2a2 + 6a + 5=J2 a+c 2+小所以當(dāng)r 2= 2.兩圓的圓心距 d = a+a= 3 時，dminh#，此時-#13 2|，所以兩圓內(nèi)含.答案：-2內(nèi)含三、解答題（本大題共5小題，共74分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分14分）已知正四棱錐P-ABCD勺底面邊長為4，側(cè)棱長為3, G是PD的中點，求| BG.解：正四棱錐正四棱錐的高為1.以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB, BC所在的直線分別為 y

26、軸、x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐的頂點B, D, P的坐標(biāo)分別為B（2,2,0）,Q 2, 2,0） , P（0,0,1）. G點的坐標(biāo)為G 1, - 1, 2.|BG =32+ 32+ ：=#17. (本小題滿分15分)已知從圓外一點 P(4,6)作圓O x2+ y2= 1的兩條切線，切點分別 為A, B(1) 求以0P為直徑的圓的方程；(2) 求直線AB的方程.解：(1) I所求圓的圓心為線段0P的中點(2,3),半徑為孑 op = 2 .17 + (57 2= .13,以0P為直徑的圓的方程為(x 2)2+ (y 3)2= 13. 2 2(2) PA PB是圓o x +

27、 y = 1的兩條切線，OAL PA OBL PB A, B兩點都在以0P為直徑的圓上.產(chǎn) 2|2“x + y = 1,由*2n 2得直線AB的方程為4X+ 6y 1 = 0.X2 + y=13,18. (本小題滿分15分)已知圓過點A(1 , 2),耳1,4).(1) 求周長最小的圓的方程；(2) 求圓心在直線 2x y 4 = 0上的圓的方程.解：(1)當(dāng)線段AB為圓的直徑時，過點 A B的圓的半徑最小，從而周長最小，1 即以線段AB的中點(0,1)為圓心，r = IAB = .10為半徑.則所求圓的方程為 x2 + (y 1)2= 10.4(2)法一：直線 AB的斜率k =_ 1 ；=

28、3,1則線段AB的垂直平分線的方程是y 1 = 3X,3即 x 3y+ 3= 0.x 3y + 3= 0,x= 3 ,由*解得12x y 4= 0 ,ly= 2 ,即圓心的坐標(biāo)是C(3,2).2 2 2 2 r = | AC = (3 1) + (2 + 2) = 20.所求圓的方程是(x 3)2+ (y 2)2= 20.法二：設(shè)圓的方程為(x a)2+ (y b) 2=巨1 a 2+ 2 b 2=戌則 一1 a 2+4 b 2= R2,2a b 4= 0a= 3,? b= 2,氏=20.2所求圓的方程為(x 3) + (y 2)2219.(本小題滿分 15 分)已知圓 x + y 4ax+ 2ay+ 20a 20 = 0.2=20.(1) 求證：