曲線(xiàn)和方程教案

1、課 堂 教 學(xué) 設(shè) 計(jì)課題：曲線(xiàn)和方程（1）一：教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)（1） 了解曲線(xiàn)上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2） 初步領(lǐng)會(huì)“曲線(xiàn)的方程”與“方程的曲線(xiàn)”的概念；（3） 學(xué)會(huì)根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。過(guò)程與方法目標(biāo)（1）通過(guò)直線(xiàn)方程的復(fù)習(xí)引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線(xiàn)上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的直觀(guān)認(rèn)識(shí)；（2）在形成曲線(xiàn)和方程概念的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察，分析，討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀(guān)點(diǎn)；（3）能用所學(xué)知識(shí)理解新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題，從中體會(huì)轉(zhuǎn)化

2、化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。情感與態(tài)度目標(biāo)（1）通過(guò)概念的復(fù)習(xí)引入，從特殊到一般，讓學(xué)生感受事物的發(fā)展規(guī)律；（2）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠體驗(yàn)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究，真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具； （3）學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、分析、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性。二：教材分析1、教學(xué)分析：因?yàn)閷W(xué)生已有了用方程（有時(shí)用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線(xiàn)的感性認(rèn)識(shí)（特別是二元一次方程表示直線(xiàn)），現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲線(xiàn)和含有兩個(gè)變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀(guān)表象上升到抽象概念的過(guò)程。所以本節(jié)課采用了復(fù)習(xí)引入課題，從特殊到一般的方法讓學(xué)生易于接受。

3、在概念的探索過(guò)程中采用了舉反例的方法來(lái)揭示概念的內(nèi)涵。在概念的應(yīng)用即例題的設(shè)計(jì)方面，著重鞏固對(duì)概念的兩個(gè)條件的認(rèn)識(shí)。2、教學(xué)重點(diǎn)“曲線(xiàn)的方程”與“方程的曲線(xiàn)”的概念。（本節(jié)課是由直觀(guān)表象上升到抽象概念的過(guò)程，學(xué)生容易對(duì)定義中為什么要規(guī)定兩個(gè)關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延。由于學(xué)生已經(jīng)具備了用方程表示直線(xiàn)，拋物線(xiàn)等實(shí)際模型，積累了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，所以可用舉反例的方法來(lái)解決困惑，通過(guò)反例，揭示“兩者缺一”與直覺(jué)的矛盾，從而又促使學(xué)生對(duì)概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索，自然地得出定義。為強(qiáng)化其認(rèn)識(shí)，又決定用集合相等的概念來(lái)解釋曲線(xiàn)和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以此為工具來(lái)分析實(shí)例，這將有助于學(xué)生

4、的理解，有助于學(xué)生通其法、知其理。） 3、教學(xué)難點(diǎn)怎樣利用定義驗(yàn)證曲線(xiàn)是方程的曲線(xiàn)、方程是曲線(xiàn)的方程。（因?yàn)閷W(xué)生在作業(yè)中容易犯想當(dāng)然的錯(cuò)誤，通常在已知曲線(xiàn)建立方程的時(shí)候，不驗(yàn)證方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線(xiàn)上，就斷然得出所求的是曲線(xiàn)的方程。為了突破難點(diǎn)，本節(jié)課設(shè)計(jì)了三種有層次的例題：例3是概念的直接運(yùn)用，例4是證明曲線(xiàn)的方程，例5是概念的逆向運(yùn)用。通過(guò)這些例題讓學(xué)生再一次體會(huì)“二者”缺一不可。）三：學(xué)情分析此前，學(xué)生已知，在建立了直角坐標(biāo)系后平面內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，已有了用方程（有時(shí)用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線(xiàn)的感性認(rèn)識(shí)（特別是二元一次方程表示直線(xiàn)），現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲

5、線(xiàn)和含有兩個(gè)變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀(guān)表象上升到抽象概念的過(guò)程，對(duì)學(xué)生有相當(dāng)大的難度。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易產(chǎn)生的問(wèn)題是，不理解“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”和“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)”這兩句話(huà)在揭示“曲線(xiàn)和方程”關(guān)系時(shí)各自所起的作用。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)也只能是初步領(lǐng)會(huì)，要求學(xué)生能答出曲線(xiàn)和方程間必須滿(mǎn)足兩個(gè)關(guān)系時(shí)才能稱(chēng)作“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”兩者缺一不可，并能借助實(shí)例指出兩個(gè)關(guān)系的區(qū)別。四：教學(xué)方法1、教法：教學(xué)過(guò)程是教師和學(xué)生共同參與的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，并為

6、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我采用如下的教學(xué)方法：(1)引導(dǎo)探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過(guò)學(xué)生觀(guān)察坐標(biāo)系中的曲線(xiàn)和方程之間的關(guān)系，來(lái)得出曲線(xiàn)和方程的概念，這能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性。(2)嘗試指導(dǎo)法，以學(xué)生為主體，以訓(xùn)練為主線(xiàn)。這樣更能突出重點(diǎn)、解決難點(diǎn)，使學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力得到進(jìn)一步的提高。2、學(xué)法：教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要，本節(jié)課注重調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：(1)觀(guān)察分析：讓學(xué)生要學(xué)會(huì)觀(guān)察問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。(2)練習(xí)鞏固：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在運(yùn)用，從而鞏固對(duì)概念的理解，找出未掌握的內(nèi)容及其差距。五：教學(xué)活動(dòng)程

7、序1、承上啟下，提出課題師：在本節(jié)課之前，我們研究過(guò)直線(xiàn)的各種方程，建立了二元一次方程與直線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)二元一次方程來(lái)表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線(xiàn)。下面看一個(gè)具體的例子：例1：畫(huà)出方程表示的直線(xiàn)y(1) （2）借助多媒體讓學(xué)生再一次從直觀(guān)上深刻體會(huì)：必須同時(shí)滿(mǎn)足（1）直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解和（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是直線(xiàn)上的點(diǎn)，即方程的解的集合與直線(xiàn)上所有點(diǎn)的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么直線(xiàn)（圖形） 方程（數(shù)量）。類(lèi)比方程與如圖所示的拋物線(xiàn)。這條拋物線(xiàn)是否與這個(gè)二元方程 也能建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？ （按照例1的分析方

8、式的得出答案是肯定的.）推廣：那么對(duì)任意的曲線(xiàn)和二元方程是否都能建立這種等價(jià)關(guān)系呢？這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容：曲線(xiàn)和方程。（板書(shū)課題） 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考這樣的問(wèn)題：?方程的解與曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系，就能用方程表示曲線(xiàn)C，同時(shí)曲線(xiàn)C也表示著方程,為什么要具備這些條件？（將問(wèn)題重述一遍，使每個(gè)學(xué)生聽(tīng)清楚。學(xué)生思考，討論，口答）（說(shuō)明：運(yùn)用學(xué)生熟知的舊知識(shí)，由特殊到一般，既提出了課題，又為形成曲線(xiàn)和方程的概念提供了實(shí)際模型。但是如果就此而由教師直接給出結(jié)論，那就不僅會(huì)失去開(kāi)發(fā)學(xué)生思維的機(jī)會(huì)，影響學(xué)生的理解，而且會(huì)使教學(xué)變得枯燥乏味，抑制學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。要啟動(dòng)學(xué)生的思維，就要有一個(gè)

9、明確的可供思考的問(wèn)題，使學(xué)生的思維有明確的指向。這里提出的思考題是以相信學(xué)生對(duì)用方程表示曲線(xiàn)的事實(shí)已有了初步的認(rèn)識(shí)為前提，它可以說(shuō)是本節(jié)課的中心議題，應(yīng)引導(dǎo)全班學(xué)生積極思維，讓多一點(diǎn)學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)，形成“高潮”。在思考題的后面加上了“為什么”的問(wèn)題。是為了給那些還記著“直線(xiàn)的方程”的定義的學(xué)生提供思考余地，增大思考題的跨度。）2、 運(yùn)用反例，揭示內(nèi)涵師：剛才的討論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”；有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)”；還有的同學(xué)雖用了不同的提法，但意思不外乎這兩個(gè)。現(xiàn)在的問(wèn)題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一

10、個(gè)事實(shí)？有何區(qū)別？究竟用怎樣的關(guān)系才能把例1中曲線(xiàn)和方程的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來(lái)？為了弄清這些問(wèn)題，我們來(lái)研究下列例題。（說(shuō)明：在討論中，學(xué)生會(huì)有各種不同的意見(jiàn)，教師應(yīng)予鼓勵(lì)，并隨時(shí)補(bǔ)正糾錯(cuò)，但不要急著把兩個(gè)關(guān)系并列起來(lái)拋出定義，中斷學(xué)生的探索性思維，而是再提出問(wèn)題，深入探索。）例2:用下列方程表示如圖所示的曲線(xiàn)C，對(duì)嗎？為什么？（1） （2）（3） （學(xué)生思考，回答）師：方程（1），（2），（3）都不是表示曲線(xiàn)C的方程。第（1）題中曲線(xiàn)C上的點(diǎn)不全是方程的解。例如點(diǎn)，等，即不符合“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第（2）題中，盡管“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，但是以方程的解為

11、坐標(biāo)的點(diǎn)卻不全在曲線(xiàn)C上。例如、等，即不符合“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上”這一結(jié)論；第（3）題中，則既有以方程的解坐標(biāo)的點(diǎn)，如、等不在曲線(xiàn)C上，又有曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，如、等的坐標(biāo)不是方程的解。事實(shí)上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲線(xiàn)應(yīng)該是如圖所示的三種情況。 (1) (2) (3)師：上面我們既觀(guān)察、分析了完整地用方程表示曲線(xiàn)，用曲線(xiàn)表示方程的例1；又觀(guān)察、分析了例2中所出現(xiàn)的方程與曲線(xiàn)間所建立的不完整的對(duì)立關(guān)系。假如我們把例1這種能完整地表示曲線(xiàn)的方程稱(chēng)為“曲線(xiàn)的方程”的話(huà)，我們完全有條件自己給“曲線(xiàn)的方程”下個(gè)定義了。（說(shuō)明：在概念教學(xué)中，通過(guò)反例的反襯，常常起著幫助學(xué)生理解

12、概念的作用。反例一般應(yīng)用在學(xué)生對(duì)概念有了初步的正面了解之后，這里卻用在給出概念的定義之前，那是出于這樣的考慮：（1）相信學(xué)生已經(jīng)有了用方程表示曲線(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)，已能從直覺(jué)上識(shí)別哪個(gè)方程能表示哪條曲線(xiàn)（當(dāng)然是簡(jiǎn)單的例子），哪個(gè)方程不能表示哪條曲線(xiàn)，缺少的只是用邏輯形式確切地加以陳述，給概念以定義；（2）將反例中出現(xiàn)的不完整性與直觀(guān)引起矛盾，避免曲線(xiàn)和方程之間關(guān)系的不完整性，尋求作出必要的規(guī)定，這就是產(chǎn)生“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的定義的過(guò)程。）3、 討論歸納，得出定義師：在下定義時(shí)，針對(duì)例2（1）中“曲線(xiàn)上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)”，以及（2）中“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線(xiàn)上”的情況，對(duì)“曲線(xiàn)

13、的方程”應(yīng)作何規(guī)定？（學(xué)生口答）師：為了不使曲線(xiàn)上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)，必須規(guī)定“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”（板書(shū)）；為了防止以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，必須規(guī)定“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)”（板書(shū)）這樣我們可以對(duì)“曲線(xiàn)的方程”、“方程的曲線(xiàn)”下這樣的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1） 曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2） 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。那么，這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程；這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)。（說(shuō)明：在辨析反例之后，有了關(guān)于對(duì)象所共有的本質(zhì)屬性的正確認(rèn)識(shí)，給對(duì)象以明確的定義已是水到渠成，這里單獨(dú)

14、列出作為一個(gè)教學(xué)步驟，是想突出這個(gè)中心環(huán)節(jié)，并有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生依據(jù)知覺(jué)的分散的已知知識(shí)給概念下定義的創(chuàng)造能力。）4、變換表達(dá)，強(qiáng)化理解師：大家熟知，曲線(xiàn)可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C；一個(gè)二元方程的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作F。請(qǐng)大家思考：如何用集合C和F間的關(guān)系來(lái)表述“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”定義中的兩個(gè)關(guān)系？進(jìn)而重新認(rèn)識(shí)“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”定義。（說(shuō)明：這是本節(jié)課第二個(gè)思維的“熱點(diǎn)”，將促使學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)和方程關(guān)系的理解得到強(qiáng)化，是認(rèn)識(shí)上的再一次抽象，其結(jié)果將使學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)和方程的關(guān)系的理解與記憶都趨于簡(jiǎn)化。）（學(xué)生思考、口答）師：關(guān)系（1）指點(diǎn)

15、集C是點(diǎn)集F的子集；關(guān)系（2）指點(diǎn)集F是點(diǎn)集C的子集。這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來(lái)定義“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”，即（板書(shū)） =。5：初步應(yīng)用，反復(fù)辨析。（說(shuō)明：數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中的以鞏固，通過(guò)運(yùn)用與練習(xí)，可以糾正錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，促使對(duì)概念的正確理解，通過(guò)反復(fù)重現(xiàn)，可以不斷領(lǐng)悟，加強(qiáng)識(shí)記。這里安排的“初步應(yīng)用”，目的也在于幫助學(xué)生正確理解概念，通過(guò)解題辨析“兩個(gè)關(guān)系”，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，為此，題目中的“曲線(xiàn)”與“方程”都力求簡(jiǎn)單。）例3：下列各題中，圖所示的曲線(xiàn)C的方程為所列方程，對(duì)嗎？如果不對(duì)，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系（2）？曲線(xiàn)C為的中線(xiàn) 曲線(xiàn)C是到坐標(biāo)軸距離相

16、等的點(diǎn)組成的直線(xiàn)方程 方程曲線(xiàn)C是過(guò)點(diǎn)（4，1）的反比例函數(shù)圖象 方程學(xué)生回答：（1）錯(cuò)。不符合定義中的（2），即; （2）錯(cuò)。不符合定義中的（1），即; （3）錯(cuò)。不符合定義中的（1）和（2），即;例4：解答下列問(wèn)題，并說(shuō)出各依據(jù)了曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)定義中的哪一個(gè)關(guān)系？（1） 點(diǎn)是否在方程為的圓上？（2） 已知方程為的圓過(guò)點(diǎn)，求的值。（學(xué)生練習(xí)、回答，老師糾錯(cuò)、小結(jié)。）師；依據(jù)關(guān)系（2），可知點(diǎn)在圓上；依據(jù)關(guān)系（1），可知點(diǎn)不在圓上；依據(jù)關(guān)系（2），求得； 例5：證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是。（說(shuō)明：課本上原有例題：證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是，并判斷點(diǎn)。處理時(shí)將有些要求分散到了例3與例4中，例5的要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領(lǐng)會(huì)上，對(duì)證明過(guò)程中在表述上遇到的一些困難，留在這里解決，層層深入。）師：（學(xué)生練習(xí)過(guò)程中，適時(shí)插話(huà)。）與剛才判定時(shí)一樣，證明也要緊扣定義分兩步進(jìn)行；關(guān)系（1）、（2）中，“點(diǎn)”與“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，我們只要用表示“任意一個(gè)”，以此代表“全體”即可，這種方法為數(shù)學(xué)證明中常用。證明：（略）三：小結(jié)師：本節(jié)課我們通過(guò)對(duì)實(shí)例的研究，掌握了“曲線(xiàn)的方程”、“方程的曲線(xiàn)”的定義，在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系（1）、（2）兩者缺一不可，它們都