初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、4pm=初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)（含例題、練習(xí)及答案）此時(shí)qn=3154所以cq=cn+qn=4+15314=4pd=所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.（3）如圖5，如圖2，在pdq中，tanqpd=qddn3dm=4ca=關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想在abc中，tanc=ba34所以qpdc本文將初一至二學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行歸類復(fù)習(xí)，希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。一、等腰三角形類：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1：（2013年上海市虹口區(qū)

2、中考模擬第25題）如圖1，在abc中，a90，ab6，ac8，點(diǎn)d為邊bc的中點(diǎn)，debc交邊ac于點(diǎn)e，點(diǎn)p為射線ab上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)q為邊ac上的一動(dòng)點(diǎn)，且由pdq90，cde90，可得pdfcdq因此pdfcdq當(dāng)pdf是等腰三角形時(shí)，cdq也是等腰三角形如圖5，當(dāng)cqcd5時(shí)，qncqcn541（如圖3所示）3qn=pdq90（1）求ed、ec的長；此時(shí)pm=443所以bp=bm-pm=3-453=3cq，可得cq=8=（2）若bp2，求cq的長；（3）記線段pq與線段de的交點(diǎn)為，若pdf為等腰三角形，求bp的長如圖6，當(dāng)qcqd時(shí)，由cosc=ch所以qncncq4-2578（如圖2

3、所示）524255=83qn=圖1備用圖此時(shí)pm=477256所以bp=bm+pm=3+6=6思路點(diǎn)撥1第（2）題bp2分兩種情況2解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形pdf時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形cdq解答：（1）在abc中，ab6，ac8，所以bc10不存在dpdf的情況這是因?yàn)閐fpdqpdpq（如圖5，圖6所示）4=在cde中，cd5，所以ed=cdtanc=53154，ec=2546（2）如圖2，過點(diǎn)d作dmab，dnac，垂足分別為m、n，那么dm、dn是abc的兩條中位線，dm4，dn3由pdq90

4、，mdn90，可得pdmqdn因此pdmqdn圖5圖6考點(diǎn)伸展：如圖6，當(dāng)cdq是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到bdp也是等腰三角形，pb在bdp中可以直接求解bp=25qn=3所以qn=3x+4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為b、c，點(diǎn)a的坐所以pmdmdn=4344pm，pm=3qn二、直角三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例2：（2008年河南省中考第23題）如圖1，直線y=-4圖2圖3圖4如圖3，當(dāng)bp2，p在bm上時(shí)，pm1標(biāo)是（-2，0）（）試說明abc是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)m從a出發(fā)沿x軸向點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)n從點(diǎn)b出發(fā)沿線段bc向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長度當(dāng)

5、其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)m運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，mon的面積為s求s與t的函數(shù)關(guān)系式；4pm=此時(shí)qn=334所以cq=cn+qn=4+3194=4設(shè)點(diǎn)m在線段ob上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在s4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說如圖4，當(dāng)bp2，p在mb的延長線上時(shí)，pm5明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)mon為直角三角形時(shí)，求t的值1/7t=所以5-t35解得t=2588或者t=5時(shí)，mon為直角三角形3x+4與x軸的交點(diǎn)為b（3，0）、與y軸的交點(diǎn)c（0，4）圖1思路點(diǎn)撥：1第（）題說明abc是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)m、n同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論m在ao上還是在ob上，用含有t的式

6、子表示om邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示om要分類討論3將s4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解讀式，解關(guān)于t的方程分類討論mon為直角三角形，不存在onm90的可能解答：（1）直線y=-4boc中，ob3，oc4，所以bc5點(diǎn)a的坐標(biāo)是（-2，0），所以ba5因此bc，所以abc是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點(diǎn)n作nhab，垂足為h如圖5，當(dāng)omn90時(shí)，n與c重合，t=5不存在onm90的可能所以，當(dāng)t=25圖4圖5考點(diǎn)伸展：在本題情景下，如果mon的邊與ac平行，求t的值如圖6，當(dāng)on/ac時(shí)，t3；如圖7，當(dāng)mn/ac時(shí)，t2.55，所以nh=在bnh中，bnt，sinb=4如圖2，當(dāng)m在a

7、o上時(shí)，om2t，此時(shí)45ts=omnh=1142422(2-t)5t=-5t2+5t定義域?yàn)?t2如圖3，當(dāng)m在ob上時(shí)，omt2，此時(shí)圖6圖7三、平行四邊形問題：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例3：（2010年山西省中考第26題）在直角梯形oabc中，cb/oa，coa90，cb3，oa6，ba2omnh=s=114242(t-2)5t=5t2-5t定義域?yàn)?t535分別以oa、oc邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)b的坐標(biāo)；（2）已知d、e分別為線段oc、ob上的點(diǎn)，od5，oe2eb，直線de交x軸于點(diǎn)f求直線de的解讀式；（3）點(diǎn)m是（2）中直線de上的一個(gè)動(dòng)

8、點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)n，使以o、d、m、n為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)n的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由如圖4，當(dāng)omn90時(shí)，在bnm中，bnt，bm=5-t，cosb=3圖2圖32424把s4代入s=t2-t，得t2-t=45555解得t=2+11，t=2-11（舍去負(fù)值）12因此，當(dāng)點(diǎn)m在線段ob上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在s4的情形，此時(shí)t=2+115，圖1圖2思路點(diǎn)撥：1第（1）題和第（2）題蘊(yùn)含了ob與df垂直的結(jié)論，為第（3）題討論菱形提供了計(jì)算基礎(chǔ)2討論菱形要進(jìn)行兩次（兩級(jí)）分類，先按照do為邊和對(duì)角線分類，再進(jìn)行二級(jí)分類，do與dm、do與dn為鄰邊解答：(1)如圖2

9、，作bhx軸，垂足為h，那么四邊形bcoh為矩形，ohcb32/7在abh中，ah3，ba35，所以bh6因此點(diǎn)b的坐標(biāo)為(3,6)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)g的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)f到達(dá)點(diǎn)c（即點(diǎn)f與點(diǎn)c重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止3x=2，y=3b(2)因?yàn)閛e2eb，所以x=e22bey=4，e(2,4)運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，ebf關(guān)于直線ef的對(duì)稱圖形是ebf設(shè)點(diǎn)e、f、g運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（1）當(dāng)t=s時(shí)，四邊形ebfb為正方形；2k+b=4.解得k=-2x+5設(shè)直線de的解讀式為ykxb，代入d(0,5)，e(2,4)，得b=5,線de的解讀式為y=-112，b=5所以直（2

10、）若以點(diǎn)e、b、f為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)f，c，g為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)b與點(diǎn)o重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由1(3)由y=-x+5，知直線de與x軸交于點(diǎn)f(10,0)，of10，df552如圖3，當(dāng)do為菱形的對(duì)角線時(shí)，mn與do互相垂直平分，點(diǎn)m是df的中點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(5,552)，點(diǎn)n的坐標(biāo)為(5,2)如圖4，當(dāng)do、dn為菱形的鄰邊時(shí)，點(diǎn)n與點(diǎn)o關(guān)于點(diǎn)e對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)n的坐標(biāo)為(4,8)如圖5，當(dāng)do、dm為菱形的鄰邊時(shí)，no5，延長mn交x軸于p由npodof，得np10=do=pononpof=df，即5=po555解得np=

11、5，po=25此思路點(diǎn)撥：（1）利用正方形的性質(zhì)，得到be=bf，列一元一次方程求解即可；（2ebffcg相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；（3）本問為存在型問題假設(shè)存在，則可以分別求出在不同時(shí)點(diǎn)n的坐標(biāo)為(-25,5)圖3圖4考點(diǎn)伸展如果第（3）題沒有限定點(diǎn)n在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形圖5圖6四、相似三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例4：（2013年蘇州中考28題）如圖，點(diǎn)o為矩形abcd的對(duì)稱中心，ab=10cm，bc=12cm，點(diǎn)e、f、g分別從a、b、c三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)e的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)f的運(yùn)條件下的t值，它們互

12、相矛盾，所以不存在解答：（1）若四邊形ebfb為正方形，則be=bf，即：10t=3t，解得t=2.5；（2）分兩種情況，討論如下：ebffcg，則有，即，解得：t=2.8；ebfgcf，則有，即，解得：t=142（不合題意，舍去）或t=14+2當(dāng)t=2.8s或t=（14+2）s時(shí)，以點(diǎn)e、b、f為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)f，c，g為頂點(diǎn)的三角形相似（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)b與點(diǎn)o重合如圖，過點(diǎn)o作ombc于點(diǎn)m，則在ofm中，of=bf=3t，fm=bcbf=63t，om=5，由勾股定理得：om2+fm2=of2，即：52+（63t）2=（3t）2解得：t=；過點(diǎn)o作onab于點(diǎn)n，則在oen

13、中，oe=be=10t，en=bebn=10t5=5t，on=6，由勾股定理得：on2+en2=oe2，即：62+（5t）2=（10t）2解得：t=3.93.9，不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)b與點(diǎn)o重合考點(diǎn)伸展：本題為運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對(duì)稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)題目并不復(fù)雜，但需要仔細(xì)分析題意，認(rèn)真作答第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在拓展練習(xí)：1、如圖1，梯形abcd中，adbc，b=90，ab=14cm,ad=18cm,bc=21cm,點(diǎn)p從a開始沿ad邊以1cm/秒的速

14、度移動(dòng)，點(diǎn)q從c開始沿cb向點(diǎn)b以2cm/秒的速度移動(dòng)，如果p，q分別從a，c同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。3/7當(dāng)t=時(shí)，四邊形是平行四邊形；當(dāng)t=時(shí)，四邊形是等腰梯形.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)e是邊bc上（除b，c外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ae=ef”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)e是bc的延長線上（除c點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“ae=ef”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理

15、由（1題圖）備用圖2、如圖2，正方形abcd的邊長為4，點(diǎn)m在邊dc上，且dm=1，n為對(duì)角線ac上任意一點(diǎn)，則dn+mn的最小值為。6、如圖,射線mb上,mb=9,a是射線mb外一點(diǎn),ab=5且a到射線mb的距離為3,動(dòng)點(diǎn)p從m沿射線mb方向以1個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，設(shè)p的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.求（）pab為等腰三角形的t值；（）pab為直角三角形的t值；（3）若ab=5且abm=45，其他條件不變，直接寫出pab為直角三角形的t值。3、如圖，在rtabc中，acb=90b=60，bc=2點(diǎn)o是ac的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線l從mmdm(1)當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：adcceb；de=a

16、dbe；(2)當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖n2的位置時(shí)，求證：de=ad-be；(3)當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問de、ad、be具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)ebababe圖2n圖3efepfepfabc中，mc厘m，bc=8厘（2題圖）（3題圖），與ac重合的位置開始，繞點(diǎn)o作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交ab邊于點(diǎn)d過點(diǎn)c作ceab交直線l于點(diǎn)e，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為a（1）當(dāng)a=度時(shí)，四邊形edbc是等腰梯形，此時(shí)ad的長為；當(dāng)a=度時(shí)，四邊形edbc是直角梯形，此時(shí)ad的長為；（2）當(dāng)a=90時(shí)，判斷四邊形edbc是否為菱形，并說明理由4、在abc中，acb=90，ac=bc，直線mn經(jīng)

17、過點(diǎn)c，且admn于d，bemn于e.cced系，并加以證明.ad1n圖5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形abcd是正方形，點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)aef=90，且ef交正方形外角dcg的平行線cf于點(diǎn)f，求證：ae=ef經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取ab的中點(diǎn)m，連接me，則am=ec，易證ameecf，所以ae=ef7、如圖1，在等腰梯形abcd中，adbc，e是ab的中點(diǎn)，過點(diǎn)e作efbc交cd于點(diǎn)fab=4，bc=6，b=60.求：（1）求點(diǎn)e到bc的距離；（2）點(diǎn)p為線段ef上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過p作pmef交bc于點(diǎn)m，過m作mnab交折線adc于點(diǎn)n，連結(jié)pn，設(shè)ep

18、=x.當(dāng)點(diǎn)n在線段ad上時(shí)（如圖2pmn的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出pmn的周長；若改變，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)n在線段dc上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)p，使pmn為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由adandad8、如圖，已知nab=ac=10bcbcb圖1m圖2圖3ad（第25題）adm，點(diǎn)d為abefef4/7bcbc圖4（備用）圖5（備用）的中點(diǎn)(1）如果點(diǎn)p在線段bc上以3cm/s的速度由b點(diǎn)向c點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)q在線段ca上由c點(diǎn)向a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參考答案：1、解：（1）要使四邊形pqcd為平行四邊形，則pd=cq，ad=18cm，即18-t=2t，解得：t=

19、6；（2）設(shè)經(jīng)過ts，四邊形pqcd是等腰梯形過q點(diǎn)作qead，過d點(diǎn)作dfbc，四邊形pqcd是若點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，bpd與cqp是否全等，請(qǐng)說明理由；等腰梯形，pq=dc又adbc，b=90，ab=eq=dfeqpfdcfc=ep=bc-ad=21-18=3又ae=bq=21-2t，ep=t-ae，ep=ap-ae=t-（21-2t）=3得：t=8若點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使bpd與cqp全經(jīng)過8s，四邊形pqcd是等腰梯形2、5；3、解：（1）30，1；60，1.5；等？（2）若點(diǎn)q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)c出發(fā)，點(diǎn)p以

20、原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)b同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿abc（2）當(dāng)=900時(shí)，四邊形edbc是菱形.=acb=900，bc/ed.ce/ab,四邊形edbc是平行四邊形在abc中，acb=900，b=600,bc=2,a=300.三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次在abc的哪條邊上相遇？1ab=4,ac=23.ao=2ac=3.在rtaod中，a=300，ad=2.（8題圖）（9題圖）9、如圖所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef為正三角形，點(diǎn)e、f分別在菱形的邊bccd上滑動(dòng)，且e、f不與bcd重合（1）證明不論e、f在bccd上如何滑動(dòng)，總有be=cf；（2）當(dāng)點(diǎn)e、f在bcc

21、d上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形aecf和cef的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担?0、如圖，在aob中，aob=90oa=ob=6，c為ob上一點(diǎn)，射線cdob交ab于點(diǎn)d，oc=2點(diǎn)p從點(diǎn)a出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿ab方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿cd方向運(yùn)動(dòng)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)p到達(dá)到點(diǎn)b時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q也隨之停止過點(diǎn)p作peoa于點(diǎn)e，pfob于點(diǎn)f，得到矩形peof以點(diǎn)q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形qmn，斜邊mnob，且mn=qc設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）（1）求t=1時(shí)fc的長度（2）求mn=pf時(shí)t的值（3qm

22、n和矩形peof有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積s與t的函數(shù)關(guān)系式（4）直接寫出qmn的邊與矩形peof的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值bd=2.bd=bc.又四邊形edbc是平行四邊形，四邊形edbc是菱形4、解：（1）acd=acb=90cad+acd=90bce+acd=90cad=bceac=bcadccebadccebce=ad，cd=bede=ce+cd=ad+be(2)adc=ceb=acb=90acd=cbe又ac=bcacdcbece=ad，cd=bede=ce-cd=ad-be(3)當(dāng)mn旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，de=be-ad(或ad=be-de，be=ad+de等)adc=

23、ceb=acb=90acd=cbe，又ac=bc，acdcbe，ad=ce，cd=be，de=cd-ce=be-ad.5、解：（1）正確c證明：在ab上取一點(diǎn)m，使am=e，連接mebm=bebme=45，ame=135cf是外角平分線，dcf=45，ecf=135ame=ecfaeb+bae=90，aeb+cef=90，bae=cefamebcf（asa）ae=ef（2）正確=f證明：在ba的延長線上取一點(diǎn)n使an=ce，連接nebn=ben=pce=45四邊形abcd是正方形，adbedae=beanae=cefaneecf（asa）aee6、解：解：（1）作aebm于e。則ae=3，ab

24、=5，be=（ab-ae）=4mp=t,bp=9-t若ap=ab,9-t=24t=1若pa=pb，bp/(1/2ab)=ab/bp（9-t)=1/2*5*5t=9-5/2(9+5/2舍去）若ba=bp，|9-t|=5t=4、14綜上，t=1、4、9-5/2、145/7()（2）若apb=909-t=4t=5若pab=90bp/ba=ba/be(9-t)/5=5/4t=11/4綜上，t=5、11/4。綜上所述，當(dāng)x=2或4或5-3時(shí)，pmn為等腰三角形8、解：解：（1）t=1秒，bp=cq=31=3厘m，a7、解：（1）如圖1，過點(diǎn)e作egbc于點(diǎn)ge為ab的中點(diǎn)，2ab=2be=1ab=10厘

25、m，點(diǎn)d為ab的中點(diǎn)，bd=5厘mdq在rtebg中，b=60，beg=302bg=1be=1，eg=22-12=3又pc=bc-bp，bc=8厘m，pc=8-3=5厘m，pc=bd又ab=ac，b=c，bpdcqpbpc即點(diǎn)e到bc的距離為3（2）當(dāng)點(diǎn)n在線段ad上運(yùn)動(dòng)時(shí)，pmn的形狀不發(fā)生改變advpvq，bpcq，又bpdcqp，b=c，則bp=pc=4，cq=bd=5，gcnmc=b=60，pmh=30ph=12mh=pmcos30=則nh=mn-mh=4-352=2ep523rtpnh中，pn=nh2+ph2=+=7h22gmcv=cq4=154t=t=bp4x=3x+210x=80

26、點(diǎn)p共運(yùn)動(dòng)了3厘m80=228+24，點(diǎn)p、點(diǎn)q在ab邊上相遇，2mn=2mr=3mnc是等邊三角形，mc=mn=3pmef，egef，pmegefefbc，ep=gm，pm=eg=3同理mn=ab=4如圖2，過點(diǎn)p作phmn于h，mnab，b3圖12pm=and322f在bpmn的周長=pm+pn+mn=3+7+4圖2當(dāng)點(diǎn)n在線段dc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，pmn的形狀發(fā)生改變，但mnc恒為等邊三角形當(dāng)pm=pn時(shí)，如圖3，作prmn于r，則mr=nr類似，mr=3此時(shí)，x=ep=gm=bc-bg-mc=6-1-3=25q點(diǎn)p，點(diǎn)q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間3=3秒，3厘m/秒。15（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次相遇

27、，由題意，得4，解得3秒803=8080經(jīng)過3秒點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次在邊ab上相遇9、解：（1）證明：如圖，連接ac，四邊形abcd為菱形，bad=120，bae+eac=60，fac+eac=60，bae=fac。bad=120，abf=60。abc和acd為等邊三角形。，acf=60，ac=ab。abe=afc。在abe和acf中，bae=facab=ac，abe=afc，abeacf（asa）。be=cf。s=s11四邊形aecfdabc=bcah=bcab2-bh2=43。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形aef的邊則又因當(dāng)mp=mn時(shí)，如圖4，這時(shí)mc=mn=mp=3此時(shí)，x=ep=gm=6-1-3=5-3當(dāng)np=nm時(shí)，如圖5，npm=pmn=30pmn=120，mnc=60，pnm+mnc=180此點(diǎn)p與f重合，pmc為直角三角形mc=pmtan30=1此時(shí)，x=ep=gm=6-1-1=4（2）四邊形aecf的面積不變，cef的面積發(fā)生變化。理由如下